\(0.\overline{27}=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\) है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार अनंत होते हुए भी यह परिमेय है। परीक्षा में याद रखें: आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होता है। / \(0.\overline{27}=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), so it is rational despite being non-terminating. \(\sqrt7\) and \(\pi\) are irrational. Exam tip: every repeating decimal is rational.
0.101001000100001… में प्रत्येक अगले 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार न समाप्त होता है और न आवर्ती है। अतः यह अपरिमेय है। 0.121212… आवर्ती है, इसलिए परिमेय है। परीक्षा-टिप: समाप्त या आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होता है। / In 0.101001000100001…, the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so the decimal neither terminates nor repeats. Hence it is irrational. 0.121212… repeats and is rational. Exam tip: every terminating or recurring decimal is rational.
रीमा ने संख्या \(0.101001000100001\ldots\) लिखी, जिसमें प्रत्येक 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है। इस संख्या के बारे में कौन-सा निष्कर्ष सही है?
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
क्रम \(1,01,001,0001,\ldots\) में शून्यों के समूह बढ़ते रहते हैं, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता। अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / The blocks \(1,01,001,0001,\ldots\) keep changing, so no fixed repeating block occurs. A non-terminating, non-repeating decimal is irrational. Exam tip: a repeating decimal always represents a rational number.
अपरिमेय दशमलव असांत और अनावर्ती होता है। चौथे विकल्प में निश्चित दोहराने वाला खंड नहीं है। / An irrational decimal is non-terminating and non-repeating. The fourth option has no fixed repeating block.
A. इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती होता है/Its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार अनंत व अनावर्ती होता है, इसलिए A सही है। B गलत है क्योंकि \((\sqrt{2})^2=2\) परिमेय है। परीक्षा टिप: अनंत आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / An irrational number has a non-terminating, non-repeating decimal expansion, so A is correct. B fails since \((\sqrt{2})^2=2\) is rational. Exam tip: repeating decimals are rational.
D. दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती होता है/The decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार अनंत चलता है और किसी निश्चित अंक-क्रम की पुनरावृत्ति नहीं करता। इसके विपरीत \(1/8=0.125\) समाप्त होता है, इसलिए परिमेय है। परीक्षा में ‘अनंत-अनावर्ती’ पहचानें। / An irrational number has an endless decimal expansion with no repeating block. In contrast, \(1/8=0.125\) terminates, so it is rational. Exam tip: choose non-terminating, non-repeating decimals.
