Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. सममित है पर स्वतुल्य नहीं है/It is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((1,3)) के साथ ((3,1)) मौजूद हैं। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((1,3)) has ((3,1)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) अपना उल्टा खुद ही है, इसलिए वह समस्या नहीं बनाता। / ((2,2)) is its own reverse, so it creates no issue.
Step 3
Exam Tip
सममितता के लिए केवल मौजूद युग्मों के उल्टे जाँचें, अनुपस्थित युग्मों की चिंता न करें। / For symmetry, check reverses of existing pairs only, not pairs that are absent.
सममित विस्तार में दिए गए सभी युग्म बने रहते हैं और जिनके उल्टे नहीं हैं, वे जोड़े जाते हैं। / A symmetric extension keeps all given pairs and adds only the missing reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) का उल्टा ((4,2)) अनुपस्थित है, जबकि बाकी गैर-समान युग्मों के उल्टे मौजूद हैं। / The reverse of ((2,4)) is ((4,2)), and it is missing, while other unequal pairs already have reverses.
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटा विस्तार पूछे जाने पर केवल आवश्यक उल्टे युग्म ही जोड़ें। / For the smallest extension, add only the compulsory reverse pairs.
स्वतुल्य होने से सभी विकर्ण युग्म निश्चित रूप से संबंध में होंगे। / Reflexivity forces all diagonal pairs to be included.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता में केवल (n(n-1)/2) गैर-विकर्ण जोड़ी समूहों को चुनना होता है, इसलिए संख्या \(2^{\frac{6\cdot5}{2}}=2^{15}\) होगी। / For symmetry, we choose from (n(n-1)/2) unordered off-diagonal pair groups, so the count is \(2^{\frac{6\cdot5}{2}}=2^{15}\).
Step 3
Exam Tip
स्वतुल्य शर्त होने पर विकर्ण युग्मों के लिए अलग चुनाव नहीं बचता। / When reflexivity is fixed, do not count diagonal choices separately.
कोई विकर्ण युग्म नहीं होने का अर्थ है कि ((a,a)) जैसे सभी युग्म अनुपस्थित रहेंगे। / No diagonal pair means every pair of the form ((a,a)) is absent.
Step 2
Why this answer is correct
अब केवल (5) अवयवों के \(5\cdot4/2=10\) गैर-विकर्ण जोड़ी समूहों में चुनाव बचेगा। / Only the \(5\cdot4/2=10\) unordered off-diagonal pair groups remain optional.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंध में गैर-विकर्ण युग्म अकेले नहीं, अपने उल्टे के साथ चुने जाते हैं। / In symmetric relations, off-diagonal pairs are selected together with their reverses.
A. (S) का सममित होना आवश्यक नहीं है/(S) need not be symmetric
Step 1
Concept
बड़े संबंध के सममित होने से उसके हर उपसंबंध में उल्टे युग्म अपने-आप नहीं रहते। / A symmetric relation can have a subset that does not contain all reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए \(R=\{(1,2),(2,1)\}\) सममित है, लेकिन \(S=\{(1,2)\}\) सममित नहीं है। / For example, \(R=\{(1,2),(2,1)\}\) is symmetric, but \(S=\{(1,2)\}\) is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय वाले प्रश्न में यह न मानें कि सभी गुण नीचे चले जाते हैं। / Do not assume that every property passes to subsets.
A. (R-S) हमेशा सममित होगा/(R-S) will always be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R-S\), तो \((a,b)\in R\) और \((a,b)\notin S\) होगा। / If \((a,b)\in R-S\), then \((a,b)\in R\) and \((a,b)\notin S\).
Step 2
Why this answer is correct
(R) सममित है इसलिए \((b,a)\in R\), और (S) सममित होने से यदि \((b,a)\in S\) होता तो \((a,b)\in S\) भी होता, जो असत्य है। / Since (R) is symmetric, \((b,a)\in R\), and since (S) is symmetric, \((b,a)\in S\) would imply \((a,b)\in S\), which is false.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाले प्रमाण में शामिल और अनुपस्थित दोनों शर्तों को साथ जाँचें। / In difference proofs, handle membership and non-membership together.
उल्टे संबंध के नियम से (\(R\circ S\)^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1}) होता है। / For inverse relations, (\(R\circ S\)^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1}).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) सममित हैं, इसलिए \(R^{-1}=R\) और \(S^{-1}=S\), अतः (\(R\circ S\)^{-1}=S\circ R)। / Since (R) and (S) are symmetric, \(R^{-1}=R\) and \(S^{-1}=S\), so (\(R\circ S\)^{-1}=S\circ R).
Step 3
Exam Tip
यदि \(R\circ S=S\circ R\), तो संयुक्त संबंध अपने उल्टे के बराबर होकर सममित हो जाएगा। / If \(R\circ S=S\circ R\), then the composite equals its inverse and is symmetric.
यदि (a+b=0), तो क्रम बदलने पर (b+a=0) भी सत्य होगा। / If (a+b=0), then after swapping the order, (b+a=0) is also true.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी है। / Hence \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
योग वाले नियम में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए सममितता जल्दी पहचानी जा सकती है। / In sum-based rules, the order does not change the sum, so symmetry is often easier to detect.
