Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि (a) और (b) को (2) से भाग देने पर समान शेषफल आता है, तो (b) और (a) के लिए भी वही बात सत्य है। / If (a) and (b) have the same remainder on division by (2), the same statement holds for (b) and (a).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होगा। / Hence ((a,b)) implies ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
समानता या समान वर्ग पर आधारित संबंधों में सममितता ध्यान से पहचानें। / Relations based on sameness or common class are good candidates for symmetry.
विकर्ण से बाहर कोई भी युग्म ((a,b)) आने पर उसका उल्टा ((b,a)) भी आता है। / Any off-diagonal pair ((a,b)) must appear with its reverse pair ((b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए विकर्ण से बाहर के युग्म हमेशा जोड़ों में गिने जाते हैं। / So off-diagonal pairs are counted in pairs.
Step 3
Exam Tip
अतः उनकी संख्या सम होगी, चाहे कुल युग्मों की संख्या विषम ही क्यों न हो। / Hence, their number must be even, even if the total number of relation pairs is odd.
A. नहीं, क्योंकि \(m_{12}\ne m_{21}\)/No, because \(m_{12}\ne m_{21}\)
Step 1
Concept
आव्यूह से सममितता के लिए \(m_{ij}=m_{ji}\) होना चाहिए। / For symmetry in a relation matrix, we need \(m_{ij}=m_{ji}\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(m_{12}=1\) है जबकि \(m_{21}=0\), इसलिए शर्त टूट गई। / Here \(m_{12}=1\) but \(m_{21}=0\), so the condition fails.
Step 3
Exam Tip
केवल विकर्ण देखकर निर्णय न करें, विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ मिलाएँ। / Do not decide by the diagonal alone; compare entries on both sides of it.
यदि \(a\cdot b\) सम है, तो \(b\cdot a\) भी वही संख्या होगी। / If \(a\cdot b\) is even, then \(b\cdot a\) is the same product.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होगा। / Hence, \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
गुणन आधारित ऐसे संबंधों में क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता, इसलिए सममिति आसानी से सिद्ध होती है। / For product-based relations, changing order does not change the product, which helps prove symmetry.
यदि \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), तो यह युग्म (R) में या \(R^{-1}\) में होगा। / If \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), then the pair is in (R) or in \(R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों ही स्थितियों में उल्टा युग्म ((b,a)) दूसरे भाग में मिल जाएगा। / In either case, the reverse pair ((b,a)) is found in the other corresponding part.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\cup R^{-1}\) किसी भी संबंध का सममित विस्तार देता है। / Therefore, \(R\cup R^{-1}\) is always a symmetric extension of (R).
\(R^{-1}\) में हर युग्म उल्टा होकर आता है। / \(R^{-1}\) contains the reverse of every pair in (R).
Step 2
Why this answer is correct
सममित संबंध में हर युग्म का उल्टा पहले से (R) में होता है, इसलिए \(R^{-1}=R\)। / In a symmetric relation, every reverse pair is already in (R), so \(R^{-1}=R\).
Step 3
Exam Tip
सममितता को उल्टे संबंध की भाषा में भी याद रखें। / It is useful to remember symmetry through inverse relations as well.
सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है। / For a symmetric relation, \(R^{-1}=R\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(R\cap R^{-1}=R\cap R\) होगा। / Hence, \(R\cap R^{-1}=R\cap R\).
Step 3
Exam Tip
किसी समुच्चय का स्वयं से प्रतिच्छेद वही समुच्चय होता है, इसलिए उत्तर (R) है। / The intersection of a set with itself is the same set, so the answer is (R).
