पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तभी जब (a-b), (4) से विभाज्य हो। (0) का तुल्यता वर्ग क्या होगा?
On integers, (aRb) if (a-b) is divisible by (4). What is the equivalence class of (0)?
#equivalence class
#modulo 4
#relations
A (4) के गुणज / Multiples of (4)
B विषम संख्याएँ / Odd numbers
C सभी धनात्मक संख्याएँ / All positive numbers
D केवल (0) / Only (0)
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Correct Answer
A. (4) के गुणज / Multiples of (4)
Step 1
Concept
(0) से संबंधित संख्याओं के लिए (a-0), (4) से विभाज्य होना चाहिए। / Numbers related to (0) must satisfy (a-0) divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि (a), (4) का गुणज है। / This means (a) is a multiple of (4).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले संबंध में वर्ग वही संख्याएँ रखता है जिनका शेष समान हो। / In same-remainder relations, a class contains numbers with the same remainder.
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पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तभी जब (a-b), (4) से विभाज्य हो। (1) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On integers, (aRb) if (a-b) is divisible by (4). Which is the equivalence class of (1)?
#modulo relation
#equivalence classes
#class 12
A वे संख्याएँ जिनका (4) से भाग देने पर शेष (1) हो / Numbers leaving remainder (1) on division by (4)
B वे संख्याएँ जिनका शेष (0) हो / Numbers leaving remainder (0)
C सिर्फ (1) / Only (1)
D सभी सम संख्याएँ / All even numbers
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Correct Answer
A. वे संख्याएँ जिनका (4) से भाग देने पर शेष (1) हो / Numbers leaving remainder (1) on division by (4)
Step 1
Concept
(a), (1) से संबंधित है जब (a-1), (4) से विभाज्य हो। / (a) is related to (1) when (a-1) is divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि (a) को (4) से भाग देने पर शेष (1) आता है। / This means (a) leaves remainder (1) when divided by (4).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग को शेष के आधार पर पहचानना आसान रहता है। / Equivalence classes are easy to identify by remainders.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और (aRb) तभी जब (a) और (b) का (3) से भाग देने पर समान शेष हो, तो कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?
If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and (aRb) if (a) and (b) have the same remainder on division by (3), how many equivalence classes are formed?
#equivalence classes
#modulo 3
#partition
A (2)
B (3)
C (4)
D (6)
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Step 1
Concept
(3) से भाग देने पर शेष (0,1,2) हो सकते हैं। / On division by (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में तीनों प्रकार के शेष वाले अवयव हैं। / The given set contains elements of all three remainder types.
Step 3
Exam Tip
समान शेष का प्रत्येक समूह एक तुल्यता वर्ग बनाता है। / Each same-remainder group forms one equivalence class.
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उपरोक्त समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) में (3) से समान शेष वाले संबंध के लिए (2) का वर्ग कौन-सा है?
In \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), for the same-remainder modulo (3) relation, what is the class of (2)?
#equivalence class
#modulo relation
#mcq
A ({2,5})
B ({1,4})
C ({3,6})
D ({2,3})
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Correct Answer
A. ({2,5})
Step 1
Concept
(2) को (3) से भाग देने पर शेष (2) आता है। / (2) leaves remainder (2) on division by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(5) को भी (3) से भाग देने पर शेष (2) आता है। / (5) also leaves remainder (2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (2) का तुल्यता वर्ग ({2,5}) है। / Hence the equivalence class of (2) is ({2,5}).
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यदि संबंध (R) सममित है और \((a,b)\in R\), तो कौन-सा कथन निश्चित रूप से सत्य है?
If relation (R) is symmetric and \((a,b)\in R\), which statement is definitely true?
#symmetric relation
#reverse pair
#concept
A \((b,a)\in R\)
B \((a,a)\in R\)
C \((b,b)\in R\)
D (R) संक्रमणीय है / (R) is transitive
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Correct Answer
A. \((b,a)\in R\)
Step 1
Concept
सममित संबंध की पहचान उल्टे युग्म से होती है। / A symmetric relation is identified by reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((a,b)) होने पर ((b,a)) अवश्य होना चाहिए। / If ((a,b)) is present, ((b,a)) must be present.
Step 3
Exam Tip
सममितता अपने युग्म या संक्रमणीयता की गारंटी नहीं देती। / Symmetry does not guarantee self-pairs or transitivity.
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यदि संबंध (R) विरोधी सममित है और \(a\ne b\), तो कौन-सी स्थिति संभव नहीं है?
If relation (R) is antisymmetric and \(a\ne b\), which situation is impossible?
#antisymmetric relation
#relation properties
#mcq
A \((a,b)\in R\) और \((b,a)\in R\) दोनों / Both \((a,b)\in R\) and \((b,a)\in R\)
B \((a,a)\in R\)
C \((b,b)\in R\)
D \((a,b)\notin R\)
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Correct Answer
A. \((a,b)\in R\) और \((b,a)\in R\) दोनों / Both \((a,b)\in R\) and \((b,a)\in R\)
Step 1
Concept
विरोधी सममितता असमान अवयवों के उल्टे युग्मों को साथ नहीं रहने देती। / Antisymmetry does not allow reverse pairs together for unequal elements.
Step 2
Why this answer is correct
\(a\ne b\) होने पर ((a,b)) और ((b,a)) दोनों नहीं हो सकते। / If \(a\ne b\), both ((a,b)) and ((b,a)) cannot occur.
Step 3
Exam Tip
अपने युग्म विरोधी सममितता को नहीं तोड़ते। / Self-pairs do not violate antisymmetry.
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कौन-सा संबंध सममित भी है और विरोधी सममित भी है?
Which relation is both symmetric and antisymmetric?
#symmetric antisymmetric
#identity relation
#types
A ({(1,1),(2,2)}) on ({1,2})
B ({(1,2),(2,1)}) on ({1,2})
C ({(1,2)}) on ({1,2})
D ({(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}) on ({1,2})
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Correct Answer
A. ({(1,1),(2,2)}) on ({1,2})
Step 1
Concept
केवल अपने युग्मों वाला संबंध सममित होता है, क्योंकि उल्टा युग्म वही रहता है। / A relation with only self-pairs is symmetric because each reverse is the same pair.
Step 2
Why this answer is correct
इसमें असमान अवयवों के उल्टे युग्म नहीं हैं, इसलिए विरोधी सममितता भी है। / It has no reverse pairs between unequal elements, so it is also antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
असमान उल्टे युग्म साथ मिलते ही विरोधी सममितता टूटती है। / Antisymmetry fails when reverse pairs of unequal elements occur together.
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यदि (R) स्वसम है और (S) स्वसम है, तो \(R\cup S\) कैसा होगा?
If (R) is reflexive and (S) is reflexive, what type is \(R\cup S\)?
#union of relations
#reflexive relation
#mcq
A स्वसम / Reflexive
B सममित अवश्य / Necessarily symmetric
C रिक्त अवश्य / Necessarily empty
D तत्समक अवश्य / Necessarily identity
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Correct Answer
A. स्वसम / Reflexive
Step 1
Concept
दोनों संबंधों में हर अपने युग्म ((a,a)) मौजूद है। / Both relations contain every self-pair ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
संघ में दोनों के सभी युग्म आ जाते हैं, इसलिए अपने युग्म भी रहेंगे। / The union contains all pairs from both relations, so self-pairs remain.
Step 3
Exam Tip
स्वसम संबंधों का संघ स्वसम रहता है। / The union of reflexive relations is reflexive.
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यदि (R) और (S) सममित संबंध हैं, तो \(R\cap S\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If (R) and (S) are symmetric relations, which statement is correct about \(R\cap S\)?
#intersection of relations
#symmetric relation
#class 12
A यह सममित होगा / It will be symmetric
B यह स्वसम अवश्य होगा / It will necessarily be reflexive
C यह सार्वत्रिक अवश्य होगा / It will necessarily be universal
D यह संक्रमणीय कभी नहीं होगा / It will never be transitive
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Correct Answer
A. यह सममित होगा / It will be symmetric
Step 1
Concept
\(R\cap S\) में वही युग्म होंगे जो दोनों में हैं। / \(R\cap S\) contains only pairs common to both relations.
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a,b)) दोनों में है, तो सममितता के कारण ((b,a)) भी दोनों में होगा। / If ((a,b)) is in both, symmetry gives ((b,a)) in both.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिच्छेद भी सममित रहता है। / Therefore the intersection is also symmetric.
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दो संक्रमणीय संबंधों का प्रतिच्छेद कैसा होता है?
What can be said about the intersection of two transitive relations?
#intersection transitive relations
#relation properties
#mcq
A हमेशा संक्रमणीय / Always transitive
B कभी संक्रमणीय नहीं / Never transitive
C हमेशा सममित / Always symmetric
D हमेशा रिक्त / Always empty
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Correct Answer
A. हमेशा संक्रमणीय / Always transitive
Step 1
Concept
प्रतिच्छेद में आने वाले जुड़े युग्म दोनों संबंधों में मौजूद होंगे। / Linked pairs in the intersection are present in both relations.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों संबंध संक्रमणीय हैं, इसलिए जरूरी तीसरा युग्म दोनों में होगा। / Since both relations are transitive, the required third pair is present in both.
Step 3
Exam Tip
इस कारण प्रतिच्छेद में भी तीसरा युग्म रहेगा और वह संक्रमणीय होगा। / Hence that third pair is also in the intersection, making it transitive.
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