Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
संक्रमण में यदि \((a,b) \in R\) और \((b,c) \in R\), तो \((a,c) \in R\) होना चाहिए। / In a transitive relation, if \((a,b) \in R\) and \((b,c) \in R\), then \((a,c) \in R\) must be present.
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((1,2)) और ((2,3)) हैं, साथ में ((1,3)) भी है। इसलिए शर्त पूरी होती है। / Here ((1,2)) and ((2,3)) are present, and ((1,3)) is also present. So the condition holds.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में हमेशा बीच वाले तत्व को मिलाकर तीसरी जोड़ी जांचें। / In exams, always check the missing direct pair after linking two pairs.
संक्रमण शर्त तभी जांची जाती है जब ((a,b)) और ((b,c)) जैसी जोड़ी मौजूद हो। / The transitivity condition is checked only when pairs like ((a,b)) and ((b,c)) exist.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में कोई जोड़ी नहीं है, इसलिए कोई विरोधी उदाहरण नहीं बनता। / The empty relation has no pair, so no counterexample can occur.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध को शून्य रूप से संक्रमण माना जाता है। / The empty relation is considered vacuously transitive.
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,4)) मौजूद है, और ((4,4)) कोई कमी नहीं बनाता। इसलिए संबंध संक्रमण है। / ((1,4)) is present, and ((4,4)) does not create any missing pair. Therefore the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
सभी श्रृंखलाओं को खोजकर आवश्यक अंतिम जोड़ी मिलाएं। / Find each chain and match the required final pair.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
बाकी दी हुई समान तत्व वाली जोड़ियां नई कमी नहीं बनातीं। इसलिए ((1,3)) जोड़ना होगा। / The given self-pairs do not create any other missing required pair. So ((1,3)) must be added.
Step 3
Exam Tip
संबंध को संक्रमण बनाने में सबसे पहले गुम सीधी जोड़ी खोजें। / To make a relation transitive, first locate the missing direct pair.
A. नहीं, सममित होना संक्रमण होने की गारंटी नहीं देता/No, being symmetric does not guarantee transitivity
Step 1
Concept
सममित में ((a,b)) से ((b,a)) की बात होती है। / Symmetry deals with ((a,b)) implying ((b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। दोनों शर्तें अलग हैं। / Transitivity needs ((a,b)) and ((b,c)) to imply ((a,c)). The conditions are different.
Step 3
Exam Tip
गुणों को अलग-अलग परिभाषा से जांचें। / Check each property by its own definition.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) मौजूद है; ((2,2)) के साथ बनने वाली जरूरतें भी दी हुई जोड़ियों से पूरी हैं। / ((1,3)) is present, and requirements created with ((2,2)) are also satisfied by given pairs.
Step 3
Exam Tip
समान तत्व वाली जोड़ी को भी जांचना न भूलें। / Do not forget to check self-pairs too.
यदि (1) संख्या (2) से अलग है और (2) संख्या (1) से अलग है, तो (1) संख्या (1) से अलग नहीं है। / (1) is different from (2), and (2) is different from (1), but (1) is not different from (1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए से अलग है संबंध संक्रमण नहीं है। / So the different-from relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
विरोधी उदाहरण बनाने से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / A counterexample is the fastest way to disprove transitivity.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) जरूरी है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
यह जोड़ी दी हुई नहीं है, इसलिए इसे जोड़ना पहली स्पष्ट जरूरत है। / This pair is not given, so it is the first clear requirement.
Step 3
Exam Tip
ध्यान दें कि आगे और भी जोड़ियां जरूरी हो सकती हैं, पर पहली श्रृंखला से ((1,3)) मिलता है। / More pairs may be needed later, but the first chain gives ((1,3)).
((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((2,1)) and ((1,3)) require ((2,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन ((2,3)) के बाद यदि कोई ((3,c)) नहीं है तो वहां कमी नहीं बनेगी; फिर ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), and ((2,1)) with ((1,2)) requires ((2,2)). Both are present.
Step 3
Exam Tip
अब ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) भी मौजूद है, इसलिए यहां गलत विकल्प नहीं चुनना चाहिए। / After checking all chains, the relation is actually transitive, so option A is the trap.
