Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
C. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(0)=f\(\sqrt{3}\))/(f) is not one-one because (f(0)=f\(\sqrt{3}\))
Step 1
Concept
एक-एकता को गलत सिद्ध करने के लिए दो अलग आगतों का समान मान दिखाना पर्याप्त है। / To disprove injectivity it is enough to show two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f\(\sqrt{3}\)=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), जबकि \(0\neq\sqrt{3}\)। / (f(0)=0) and (f\(\sqrt{3}\)=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), while \(0\neq\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
बहुपद में केवल घात देखकर निर्णय न करें, विशेष मानों से जांच करें। / Do not decide by degree alone; test special values.
A. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि \(f(2)=f\left(\frac{1}{2}\right)\)/(f) is not one-one because \(f(2)=f\left(\frac{1}{2}\right)\)
Step 1
Concept
समान मान देने वाले अलग आगत ढूंढें। / Look for different inputs giving the same value.
Step 2
Why this answer is correct
\(f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\) और \(f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\)। / \(f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\) and \(f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\).
Step 3
Exam Tip
अलग आगतों पर समान मान मिलने से फलन एक-एक नहीं रहता। / Same value at different inputs makes the function not one-one.
मान लीजिए कि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) फलन हैं। यदि संयुक्त फलन \(g\circ f:A\to C\) एक-एक है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा निष्कर्ष अनिवार्य रूप से सत्य है?
यदि \(f(x_1)=f(x_2)\), तो दोनों ओर \(g\) लगाने पर \((g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)\) प्राप्त होता है। चूँकि \(g\circ f\) एक-एक है, इसलिए \(x_1=x_2\) होगा। अतः \(f\) अवश्य एक-एक है। लेकिन \(g\) का एक-एक होना आवश्यक नहीं है, क्योंकि \(g\) उन तत्वों पर समान मान दे सकता है जो \(f\) के प्रतिचित्र में नहीं आते। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन के एक-एक होने से पहला फलन एक-एक होता है। / If \(f(x_1)=f(x_2)\), then applying \(g\) gives \((g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)\). Since \(g\circ f\) is one-one, we must have \(x_1=x_2\). Hence, \(f\) must be one-one. However, \(g\) need not be one-one because it may take equal values at elements outside the image of \(f\). Exam tip: injectivity of a composite function implies injectivity of the first function.
एक-एक फलन में (A) के पांच तत्वों के लिए (B) से पांच अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs five distinct images from (B) for the five elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
संख्या \(^{7}P_{5}=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520\) होगी। / The number is \(^{7}P_{5}=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520\).
Step 3
Exam Tip
एक-एक फलन की गिनती में क्रमचय का प्रयोग करें। / Use permutations for counting one-one functions.
एक-एक फलन में प्रांत के हर अलग तत्व को सहप्रांत का अलग तत्व चाहिए। / A one-one function needs a distinct codomain element for each distinct domain element.
Step 2
Why this answer is correct
यहां प्रांत में (6) तत्व हैं और सहप्रांत में केवल (4) तत्व हैं। / Here the domain has (6) elements but the codomain has only (4).
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत में तत्व अधिक हों, तो एक-एक फलन बनना असंभव है। / When the domain has more elements, a one-one function is impossible.
मान लें (g\(x_1\)=g\(x_2\))। / Suppose (g\(x_1\)=g\(x_2\)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (f(g\(x_1\))=f(g\(x_2\))), अर्थात (\(f\circ g\)\(x_1\)=\(f\circ g\)\(x_2\))। / Then (f(g\(x_1\))=f(g\(x_2\))), so (\(f\circ g\)\(x_1\)=\(f\circ g\)\(x_2\)).
Step 3
Exam Tip
\(f\circ g\) एक-एक है, इसलिए \(x_1=x_2\), अतः (g) एक-एक है। / Since \(f\circ g\) is one-one, \(x_1=x_2\), hence (g) is one-one.
