कौन सा विकल्प \(\phi\) और \({\phi}\) के बारे में सही है?
Which option about \(\phi\) and \({\phi}\) is correct?
#sets
#empty-set
#singleton-set
#nested-set
A \(\phi={\phi}\)
B \(\phi\) में एक अवयव है / \(\phi\) has one element
C \({\phi}\) में एक अवयव है / \({\phi}\) has one element
D दोनों रिक्त समुच्चय हैं / Both are empty sets
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Correct Answer
C. \({\phi}\) में एक अवयव है / \({\phi}\) has one element
Step 1
Concept
\(\phi\) रिक्त समुच्चय है, इसमें कोई अवयव नहीं होता। / \(\phi\) is the empty set and has no element.
Step 2
Why this answer is correct
\({\phi}\) में \(\phi\) स्वयं एक अवयव है, इसलिए इसमें एक अवयव है। / \({\phi}\) contains \(\phi\) itself as one element.
Step 3
Exam Tip
किसी समुच्चय को अवयव के रूप में रखने से नया समुच्चय रिक्त नहीं रहता। / Putting a set as an element makes a new set that is not empty.
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यदि \(S={x:x\in N,\ x\) (8) का गुणज है और (x<50}), तो (S) का रोस्टर रूप क्या है?
If \(S={x:x\in N,\ x\) is a multiple of (8) and (x<50}), what is the roster form of (S)?
#sets
#multiples
#natural-numbers
#roster-form
A \(S=\{8,16,24,32,40,48\}\)
B \(S=\{0,8,16,24,32,40,48\}\)
C \(S=\{8,16,24,32,40,48,56\}\)
D \(S=\{16,24,32,40,48\}\)
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Correct Answer
A. \(S=\{8,16,24,32,40,48\}\)
Step 1
Concept
(8) के धन गुणज \(8,16,24,32,40,48,\ldots\) हैं। / The positive multiples of (8) are \(8,16,24,32,40,48,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
(50) से छोटे गुणज (8,16,24,32,40,48) तक ही हैं। / The multiples less than (50) stop at (48).
Step 3
Exam Tip
धन प्राकृतिक गुणज में (0) शामिल नहीं किया जाता। / (0) is not included among positive natural multiples.
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समुच्चय \(T={x:x\in Z,\ x^2\le 4}\) में कितने अवयव हैं?
How many elements are there in \(T={x:x\in Z,\ x^2\le 4}\)?
#sets
#integers
#square-inequality
#cardinality
A (3)
B (4)
C (5)
D (6)
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Step 1
Concept
\(x^2\le 4\) के पूर्णांक मान (-2,-1,0,1,2) हैं। / The integer values satisfying \(x^2\le 4\) are (-2,-1,0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
ये कुल (5) अवयव बनाते हैं। / These form (5) elements.
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाली असमानता में शून्य और दोनों ओर के मान शामिल करें। / For square inequalities, include zero and values on both sides.
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यदि \(U={x:x\in N,\ 2x+1<12}\), तो (U) कौन सा है?
If \(U={x:x\in N,\ 2x+1<12}\), which set is (U)?
#sets
#inequality
#natural-numbers
#set-builder
A \(U=\{1,2,3,4,5\}\)
B \(U=\{0,1,2,3,4,5\}\)
C \(U=\{1,2,3,4\}\)
D \(U=\{2,3,4,5\}\)
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Correct Answer
A. \(U=\{1,2,3,4,5\}\)
Step 1
Concept
(2x+1<12) से (2x<11), इसलिए \(x<\frac{11}{2}\)। / From (2x+1<12), we get (2x<11), so \(x<\frac{11}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
प्राकृतिक मान (1,2,3,4,5) होंगे। / The natural values are (1,2,3,4,5).
Step 3
Exam Tip
असमानता में भिन्न सीमा आने पर पूर्णांक मान अलग से चुनें। / When an inequality gives a fractional boundary, choose integer values carefully.
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कौन सा विकल्प समुच्चय ({0,1,8,27,64}) को सही निर्माण रूप देता है?
Which option gives the correct set-builder form for ({0,1,8,27,64})?
#sets
#set-builder
#cubes
#whole-numbers
A \({x:x=n^3,\ n\in W,\ 0\le n\le 4}\)
B \({x:x=n^2,\ n\in W,\ 0\le n\le 4}\)
C \({x:x=3n,\ n\in W,\ 0\le n\le 4}\)
D \({x:x=2^n,\ n\in W,\ 0\le n\le 4}\)
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Correct Answer
A. \({x:x=n^3,\ n\in W,\ 0\le n\le 4}\)
Step 1
Concept
(0,1,8,27,64) क्रमशः \(0^3,1^3,2^3,3^3,4^3\) हैं। / (0,1,8,27,64) are \(0^3,1^3,2^3,3^3,4^3\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x=n^3,\ n\in W,\ 0\le n\le 4\) सही है। / Thus \(x=n^3,\ n\in W,\ 0\le n\le 4\) is correct.
Step 3
Exam Tip
घन और वर्ग के पैटर्न को अलग-अलग पहचानें। / Distinguish cube patterns from square patterns.
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यदि \(V={x:x\in N,\ x\) (9) और (12) का सामान्य गुणज है तथा \(x\le 100}\), तो (V) क्या है?
If \(V={x:x\in N,\ x\) is a common multiple of (9) and (12), and \(x\le 100}\), what is (V)?
#sets
#common-multiples
#lcm
#roster-form
A \(V=\{36,72\}\)
B \(V=\{9,12,36,72\}\)
C \(V=\{18,36,54,72,90\}\)
D \(V=\{72\}\)
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Correct Answer
A. \(V=\{36,72\}\)
Step 1
Concept
(9) और (12) का लघुत्तम सामान्य गुणज (36) है। / The least common multiple of (9) and (12) is (36).
Step 2
Why this answer is correct
(100) तक (36) के धन गुणज (36,72) हैं। / The positive multiples of (36) up to (100) are (36,72).
Step 3
Exam Tip
सामान्य गुणज में पहले लघुत्तम सामान्य गुणज निकालना तेज तरीका है। / For common multiples, first find the least common multiple.
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समुच्चय \(W={x:x\in Z,\ -4<x<4,\ x\) सम है(}) का रोस्टर रूप कौन सा है?
Which is the roster form of \(W={x:x\in Z,\ -4<x<4,\ x\) is even(})?
#sets
#even-integers
#integers
#roster-form
A \(W=\{-4,-2,0,2,4\}\)
B \(W=\{-2,0,2\}\)
C \(W=\{-3,-1,1,3\}\)
D \(W=\{-2,2\}\)
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Correct Answer
B. \(W=\{-2,0,2\}\)
Step 1
Concept
(-4) और (4) के बीच पूर्णांक (-3,-2,-1,0,1,2,3) हैं। / The integers between (-4) and (4) are (-3,-2,-1,0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
इनमें सम पूर्णांक (-2,0,2) हैं। / The even integers among them are (-2,0,2).
Step 3
Exam Tip
सम पूर्णांकों में (0) भी शामिल होता है। / (0) is also an even integer.
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यदि \(X={x:x\in N,\ x^2\) विषम है और (x<8}), तो (X) क्या है?
If \(X={x:x\in N,\ x^2\) is odd and (x<8}), what is (X)?
#sets
#odd-numbers
#squares
#natural-numbers
A \(X=\{1,3,5,7\}\)
B \(X=\{2,4,6\}\)
C \(X=\{1,2,3,4,5,6,7\}\)
D \(X=\{3,5,7\}\)
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Correct Answer
A. \(X=\{1,3,5,7\}\)
Step 1
Concept
किसी प्राकृतिक संख्या का वर्ग विषम तभी होता है जब संख्या स्वयं विषम हो। / The square of a natural number is odd exactly when the number itself is odd.
Step 2
Why this answer is correct
(8) से छोटी विषम प्राकृतिक संख्याएँ (1,3,5,7) हैं। / The odd natural numbers less than (8) are (1,3,5,7).
Step 3
Exam Tip
वर्ग की सम-विषम प्रकृति मूल संख्या जैसी रहती है। / The parity of a square matches the parity of the original integer.
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\(समुच्चय (A={x:x\) एक अभाज्य संख्या है और \(10<x<30}) को सूची रूप में लिखने पर कौन सा समुच्चय मिलेगा\)?
\(If (A={x:x\) is a prime number and \(10<x<30}), which set is obtained in roster form\)?
#sets
#roster
#set-builder
#prime-numbers
A \(A=\{11,13,17,19,23,29\}\)
B \(A=\{12,13,17,19,23,29\}\)
C \(A=\{11,15,17,21,23,29\}\)
D \(A=\{10,11,13,17,19,23,29,30\}\)
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Correct Answer
A. \(A=\{11,13,17,19,23,29\}\)
Step 1
Concept
दी गई शर्त में (10) और (30) के बीच की अभाज्य संख्याएँ लेनी हैं। / The condition asks for prime numbers strictly between (10) and (30).
Step 2
Why this answer is correct
(11,13,17,19,23,29) ही ऐसी संख्याएँ हैं जिनके केवल दो गुणनखंड हैं। / The required primes are (11,13,17,19,23,29).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में सीमा चिह्न ध्यान से देखें क्योंकि (10<x<30) में (10) और (30) शामिल नहीं होते। / In exams, check strict inequalities carefully because endpoints are not included.
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\(समुच्चय (B={x:x\in \mathbb{N}\) और \(x^2<50}) का सूची रूप क्या है\)?
\(What is the roster form of (B={x:x\in \mathbb{N}\) and \(x^2<50})\)?
#sets
#roster
#natural-numbers
#inequality
A \(B=\{1,2,3,4,5,6,7\}\)
B \(B=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}\)
C \(B=\{1,2,3,4,5,6\}\)
D \(B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)
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Correct Answer
A. \(B=\{1,2,3,4,5,6,7\}\)
Step 1
Concept
(x) प्राकृत संख्या है और \(x^2<50\) होना चाहिए। / (x) is a natural number and must satisfy \(x^2<50\).
Step 2
Why this answer is correct
\(7^2=49\) सही है लेकिन \(8^2=64\) सही नहीं है। / \(7^2=49\) works but \(8^2=64\) does not.
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाली शर्तों में अंतिम मान को जाँचकर ही सूची पूरी करें। / For square conditions, always test the boundary value before finalizing the roster form.
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