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Class 11 Mathematics - Sets - Power Set and Universal Set Expert Quiz

Mathematics Sets Power Set and Universal Set Expert Class 11 Level 25

Level 25 • 6/50 questions • 25 seconds per question.

Level readiness 6/50 Questions
Time Left 02:30 25 sec/question
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ModeClassic Quiz
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Question 1/6 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 11 Level 25

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध \(R=\{(a,b):a-b\equiv 0 \pmod{5}\}\) परिभाषित है। इस संबंध के अंतर्गत \([1]\) का तुल्यता वर्ग क्या है?

On the set \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), let \(R=\{(a,b):a-b\equiv 0 \pmod{5}\}\). What is the equivalence class \([1]\) under this relation?

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Correct Answer

A. \(\{1,6\}\)

Explanation

Simple Explanation

\([1]=\{x\in A:x-1\equiv 0 \pmod{5}\}\) होता है। समुच्चय \(A\) में केवल \(1\) और \(6\) के लिए यह शर्त सत्य है, क्योंकि \(1-1=0\) और \(6-1=5\), दोनों 5 से विभाज्य हैं। इसलिए \([1]=\{1,6\}\) है। विकल्प \(\{1,5\}\) गलत है, क्योंकि \(5-1=4\), जो 5 से विभाज्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: तुल्यता वर्ग निकालते समय दिए गए अवयव से सभी ऐसे अवयव चुनें जिनका अंतर मॉड्यूलो संख्या से विभाज्य हो। / The equivalence class is \([1]=\{x\in A:x-1\equiv 0 \pmod{5}\}\). Within \(A\), this condition holds only for \(1\) and \(6\), since \(1-1=0\) and \(6-1=5\) are both divisible by 5. Hence, \([1]=\{1,6\}\). The set \(\{1,5\}\) is incorrect because \(5-1=4\), which is not divisible by 5. Exam tip: To find an equivalence class, select all elements whose difference from the given element is divisible by the modulus.

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Question 2/6 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 11 Level 25

यदि समुच्चय \(A\) में 5 अवयव हैं, तो \(A\) पर कुल कितने संबंध संभव हैं?

If set \(A\) has 5 elements, how many total relations are possible on \(A\)?

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Correct Answer

C. \(2^{25}\)

Explanation

Simple Explanation

समुच्चय \(A\) पर प्रत्येक संबंध, \(A\times A\) का एक उपसमुच्चय होता है। यदि \(|A|=5\), तो \(|A\times A|=5^2=25\)। 25 अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चय \(2^{25}\) होते हैं, इसलिए कुल संबंधों की संख्या \(2^{25}\) है। \(2^{10}\) या \(2^{20}\) लेने का कोई आधार नहीं है; \(5^2\) केवल क्रमित युग्मों की संख्या है, संबंधों की संख्या नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(n\) अवयवों वाले समुच्चय पर संबंधों की संख्या सदैव \(2^{n^2}\) होती है। / Every relation on set \(A\) is a subset of \(A\times A\). Since \(|A|=5\), we have \(|A\times A|=5^2=25\). A set with 25 elements has \(2^{25}\) subsets, so the total number of relations is \(2^{25}\). The value \(5^2\) counts the ordered pairs in \(A\times A\), not the relations themselves. Exam tip: for an \(n\)-element set, the number of relations on it is always \(2^{n^2}\).

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Question 3/6 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 11 Level 25

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(a,b)\in A\times A: a+b\text{ सम है}\}\) परिभाषित है। इस तुल्यता संबंध के अंतर्गत \(1\) का तुल्यता वर्ग \([1]\) क्या होगा?

On the set \(A=\{1,2,3,4\}\), define the relation \(R=\{(a,b)\in A\times A: a+b\text{ is even}\}\). What is the equivalence class \([1]\) under this relation?

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Correct Answer

A. \(\{1,3\}\)

Explanation

Simple Explanation

\([1]=\{b\in A:(1,b)\in R\}\)। इसके लिए \(1+b\) सम होना चाहिए, जो तभी संभव है जब \(b\) विषम हो। \(A\) में विषम तत्व \(1\) और \(3\) हैं, इसलिए \([1]=\{1,3\}\)। विकल्प D केवल \(1\) को शामिल करता है और उससे संबंधित अन्य तत्व \(3\) को छोड़ देता है। परीक्षा-युक्ति: \([a]\) ज्ञात करने के लिए उन सभी \(b\) को चुनें जिनके लिए \((a,b)\in R\)। / By definition, \([1]=\{b\in A:(1,b)\in R\}\). Thus, \(1+b\) must be even, which happens exactly when \(b\) is odd. The odd elements of \(A\) are \(1\) and \(3\), so \([1]=\{1,3\}\). Option D is incorrect because it includes only 1 and omits the related element 3. Exam tip: To find \([a]\), list every \(b\) for which \((a,b)\in R\).

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Question 4/6 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 11 Level 25

यदि \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) और \(S=\{(2,1),(3,2),(3,1)\}\) हैं, तो \(S\), \(R\) के संबंध में क्या है?

If \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) and \(S=\{(2,1),(3,2),(3,1)\}\), what is \(S\) in relation to \(R\)?

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Correct Answer

A. \(R^{-1}\)

Explanation

Simple Explanation

किसी संबंध \(R\) का प्रतिलोम संबंध \(R^{-1}\) प्रत्येक क्रमित युग्म \((a,b)\) को \((b,a)\) में बदलकर बनता है। यहाँ \((1,2),(2,3),(1,3)\) के उलटे युग्म क्रमशः \((2,1),(3,2),(3,1)\) हैं, जो ठीक \(S\) के अवयव हैं। इसलिए \(S=R^{-1}\)। विकल्प B में मूल और प्रतिलोम दोनों संबंधों के युग्म शामिल होते, जबकि S में केवल प्रतिलोम युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: प्रतिलोम संबंध ज्ञात करने के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म के अवयवों का स्थान बदलें। / The inverse relation \(R^{-1}\) is formed by reversing every ordered pair \((a,b)\) in \(R\) to \((b,a)\). Reversing \((1,2),(2,3),(1,3)\) gives \((2,1),(3,2),(3,1)\), which are exactly the elements of \(S\). Therefore, \(S=R^{-1}\). Option B would contain pairs from both the original and inverse relations, whereas S contains only the reversed pairs. Exam tip: to find an inverse relation, interchange the two entries in every ordered pair.

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Question 5/6 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 11 Level 25

समुच्चय A = {1, 2, 3, 4} पर संबंध R = {(a, b) : a + b = 6} परिभाषित है, जहाँ a, b ∈ A। संबंध R में कितने क्रमित युग्म हैं?

A relation R is defined on the set A = {1, 2, 3, 4} by R = {(a, b) : a + b = 6}, where a, b ∈ A. How many ordered pairs does R contain?

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Correct Answer

A. 3

Explanation

Simple Explanation

A के प्रत्येक अवयव a के लिए b = 6 − a होना चाहिए और b भी A में होना चाहिए। इससे (2, 4), (3, 3) और (4, 2) प्राप्त होते हैं; (1, 5) मान्य नहीं है क्योंकि 5 ∉ A। इसलिए R में 3 क्रमित युग्म हैं। ध्यान रखें कि (2, 4) और (4, 2) अलग-अलग क्रमित युग्म होते हैं। / For each element a of A, we need b = 6 − a, with b also belonging to A. This gives (2, 4), (3, 3), and (4, 2); (1, 5) is not valid because 5 ∉ A. Hence, R contains 3 ordered pairs. Exam tip: (2, 4) and (4, 2) are distinct ordered pairs because their order is different.

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Question 6/6 Expert Mathematics Relations and Functions Relations Class 11 Level 25

यदि समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर परिभाषित एक तुल्यता संबंध \(R\) के तुल्यता वर्ग \(\{1,4\}\) और \(\{2,3\}\) हैं, तो \(R\) में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

If an equivalence relation \(R\) defined on the set \(A=\{1,2,3,4\}\) has equivalence classes \(\{1,4\}\) and \(\{2,3\}\), how many ordered pairs does \(R\) contain?

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Correct Answer

A. 8

Explanation

Simple Explanation

तुल्यता संबंध में प्रत्येक तुल्यता वर्ग के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित होते हैं। \(\{1,4\}\) से \(2^2=4\) क्रमित युग्म और \(\{2,3\}\) से \(2^2=4\) क्रमित युग्म मिलते हैं। अतः कुल युग्म \(4+4=8\) हैं। अलग-अलग तुल्यता वर्गों के अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं होगा। परीक्षा-युक्ति: यदि तुल्यता वर्गों की लंबाइयाँ \(n_1,n_2,\ldots\) हों, तो संबंध में क्रमित युग्मों की संख्या \(n_1^2+n_2^2+\cdots\) होती है। / In an equivalence relation, every element of a class is related to every element of the same class. The class \(\{1,4\}\) contributes \(2^2=4\) ordered pairs, and \(\{2,3\}\) contributes another \(2^2=4\). Thus, the total is \(4+4=8\). No pair is formed between elements belonging to different equivalence classes. Exam tip: if the class sizes are \(n_1,n_2,\ldots\), the number of ordered pairs is \(n_1^2+n_2^2+\cdots\).

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