Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
समूह का पूरक (complement) उस सार्वत्रिक समूह \(U\) के वे तत्व होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। यहाँ \(U\) के तत्व \(a,b,c,d,e,f\) हैं और \(A\) में \(a,c,f\) हैं, अतः \(A'\) में बाकी बचे तत्व \(b,d,e\) आएँगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वह \(A\) स्वयं है न कि उसका पूरक; विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें \(a\) आता है जो \(A\) में है; विकल्प D गलत है क्योंकि पूरक खाली सेट तभी होगा जब \(A=U\)। परीक्षीय टिप: पूरक निकालते समय पहले \(U\) की सभी वस्तुएँ लिखें और उन तत्वों को हटाएं जो \(A\) में हैं। / The complement of a set is the elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). With \(U=\{a,b,c,d,e,f\}\) and \(A=\{a,c,f\}\), the remaining elements are \(\{b,d,e\}\), so option A is correct. Option B is just \(A\) itself, not the complement. Option C incorrectly includes \(a\), which belongs to \(A\). Option D (the empty set) would be correct only if \(A=U\). Exam tip: List elements of \(U\) and strike out those in \(A\) to get the complement quickly and avoid errors.
पूरक सेट की संख्या के लिए सूत्र \(n(A')=n(U)-n(A)\) उपयोग करें। यहाँ \(n(U)=10\) और \(n(A)=3\)। अतः \(n(A')=10-3=7\)। विकल्प B (6) गलती से एक तत्व कम गिनने से आ सकता है; विकल्प D (10) गलत है क्योंकि वह पूरा सार्वभौमिक सेट है, न कि A का पूरा पूरक। परीक्षा सलाह: पहले सार्वभौमिक और दिए गए सेट के तत्वों की गिनती लिखकर निकालें कि कितने तत्व शेष रहते हैं। / Use the complement formula \(n(A')=n(U)-n(A)\). Here \(n(U)=10\) and \(n(A)=3\), so \(n(A')=10-3=7\). Option B (6) could result from miscounting one element; option D (10) is incorrect because it corresponds to the whole universal set, not the complement of A. Exam tip: always count elements of U and A first, then apply the formula to avoid simple subtraction errors.
यहाँ \(A'\) का अर्थ यूनिवर्सल सेट \(U\) के सापेक्ष पूरक है, यानी \(A'=U\setminus A\). यदि \(A'=\varnothing\) तो \(U\setminus A=\varnothing\) आता है, अर्थात् कोई भी तत्व \(U\) में ऐसा नहीं है जो \(A\) के बाहर हो; इसका अर्थ \(U\subseteq A\) है। दिया गया है कि \(A\subseteq U\) भी है, इसलिए दोनों सम्मिलित कर के \(A=U\) प्राप्त होता है। विकल्प (A) गलत है क्योंकि यदि \(A=\varnothing\) होता तो \(A' = U\), जो सामान्यतः खाली नहीं होगा (केवल तब खाली जब \(U=\varnothing\) हो)। विकल्प (C) और (D) भी सामान्यतः सत्य नहीं हैं। परीक्षा टिप: पूरक की परिभाषा \(A'=U\setminus A\) और उपस सेट संबंधों का संयोजन लिखकर त्वरित निष्कर्ष निकालें। / Here \(A'\) denotes the complement of \(A\) relative to the universal set \(U\), i.e. \(A'=U\setminus A\). If \(A'=\varnothing\) then \(U\setminus A=\varnothing\), so no element of \(U\) lies outside \(A\); hence \(U\subseteq A\). Given \(A\subseteq U\) as well, we conclude \(A=U\). Option (A) is incorrect because if \(A=\varnothing\) then \(A'=U\), not \(\varnothing\) (except in the degenerate case \(U=\varnothing\)). Options (C) and (D) are not generally implied by the hypothesis. Exam tip: Use \(A'=U\setminus A\) and combine subset relations to prove equality quickly (\(U\setminus A=\varnothing\Rightarrow U\subseteq A\Rightarrow A=U\)).
केंद्रबिंदु: किसी सेट और उसके पूरक का योग यूनिवर्सल सेट के बराबर होता है। इसलिए \(n(A)+n(A')=n(U)\)। यहाँ \(n(A)=n(U)-n(A')=80-19=61\)।
क्योंकि 41 गलत है: 41 उस तरह के गलत गणितीय कदम से आ सकता है जहाँ घटाव गलत तरीके से किया गया हो; सही विधि ऊपर दिया समीकरण लागू करना है।
परीक्षात्मक टिप: किसी सेट का पूरक दिया हो तो सीधा फॉर्मूला याद रखें — \(n(A)=n(U)-n(A')\)。 / Core idea: A and its complement A' partition the universal set, so \(n(A)+n(A')=n(U)\). Thus \(n(A)=n(U)-n(A')=80-19=61\).
Why 41 is wrong: 41 would result from an incorrect arithmetic step or misapplication of the relation; the correct method is to subtract the complement's cardinality from the universal cardinality as shown.
Exam tip: Whenever a set's complement is given, use \(n(A)=n(U)-n(A')\) directly to avoid simple mistakes.
U में 1 से 18 तक के प्राकृतिक संख्याएँ हैं, इसलिए \(n(U)=18\). \(A\) उन संख्या का समूह है जो 4 के गुणज हैं और \(U\) में हैं: \(A=\{4,8,12,16\}\), अतः \(n(A)=4\). समपूरक की संख्या \(n(A')=n(U)-n(A)=18-4=14\). परोक्ष भ्रम: विकल्प (B)=12 तब आ सकता है जब कोई \(A\) के तत्वों को गलत तरह से गिनकर 6 माना ले; विकल्प (A)=4 यह \(A\) की संख्या है न कि समपूरक की। परीक्षा सुझाव: पहले सेट के तत्व लिखें और स्पष्ट कर लें कि \(\mathbb{N}\) में 0 शामिल है या नहीं — यहाँ हम \(1\) से शुरू कर रहे हैं। / U contains the natural numbers from 1 to 18, so \(n(U)=18\). The multiples of 4 in U are \(A=\{4,8,12,16\}\), hence \(n(A)=4\). The complement has \(n(A')=n(U)-n(A)=18-4=14\). Closest distractor (B)=12 is wrong — it would follow from an incorrect count of elements in A (for example counting six multiples). Option (A)=4 is actually the size of A, not A'. Exam tip: list elements explicitly and confirm whether 0 is considered a natural number in the given convention.
पूरक की परिभाषा: A' = U \ A. चूँकि A = \varnothing (रिक्त समुच्चय) में कोई तत्व नहीं है, इसलिए U \ A = U. अतः A' = {2,4,6}. विकल्प A गलत है क्योंकि वह स्वयं रिक्त समुच्चय है, विकल्प C गलत है क्योंकि 0 तथा इसकी उपस्थिति U में नहीं है, और विकल्प D (\mathcal{P}(U)) गलत है क्योंकि वह U के सभी सबसैट्स का समुच्चय है न कि U का पूरक। परीक्षा-टिप: किसी भी पूरक प्रश्न में पहले ये जाँचें कि दिए गए तत्व सार्वत्रिक समुच्चय U में हैं या नहीं। / By definition the complement A' = U \ A. Since A = \varnothing has no elements, U \ A = U. Therefore A' = {2,4,6}. Option A is wrong because it is the empty set itself; option C is wrong because 0 is not an element of U; option D (\mathcal{P}(U)) is the power set of U (the set of all subsets), not the complement. Exam tip: Always compute A' as U \ A and check membership of elements in U before answering.
पहले पूरक निकालें: \(A'=U\setminus A=\{1,3,5,7,8\}\) और \(B'=U\setminus B=\{1,2,3,5,7\}\). दोनों का प्रतिच्छेद वह तत्व देगा जो दोनों में सामान्य हैं, इसलिए \(A'\cap B'=\{1,3,5,7\}\). विकल्प C वास्तव में \(B'\) है (इसमें 2 मौजूद है), और विकल्प B \(A\cap B\) के बराबर है; इसलिए वे सही नहीं हैं. परीक्षा-सुझाव: पहले प्रत्येक समुच्चय का पूरक लिखें और फिर प्रतिच्छेद लें — इससे भूल-चूक कम होती है। / Compute complements first: \(A'=U\setminus A=\{1,3,5,7,8\}\) and \(B'=U\setminus B=\{1,2,3,5,7\}\). Their intersection contains elements common to both, so \(A'\cap B'=\{1,3,5,7\}\). Note: option C equals \(B'\) (it contains 2), and option B equals \(A\cap B\), so they are incorrect. Exam tip: always find each complement relative to \(U\) before taking union/intersection to avoid mistakes.
सबसे पहले \(A\cap B=\{r\}\) है क्योंकि दोनों सेटों में केवल \(r\) सामान्य है। किसी सेट का पूरक (prime) सार्वभौमिक सेट \(U\) के सापेक्ष लिया जाता है, इसलिए \((A\cap B)'=U-(A\cap B)=\{p,q,r,s,t\}-\{r\}=\{p,q,s,t\}\). नज़दीकी विचलन: विकल्प C में \(r\) शामिल है इसलिए यह पूरक नहीं हो सकता; विकल्प A वास्तव में संघ के स्थान पर केवल परस्पर सामान्य तत्व (intersection) दे रहा है। परीक्षण सुझाव: पहले intersection ढूँढें, फिर उसे सार्वभौमिक सेट से घटाएँ। / First compute the intersection: \(A\cap B=\{r\}\) since \(r\) is the only common element. The complement is taken with respect to the universal set \(U\), so \((A\cap B)'=U-(A\cap B)=\{p,q,r,s,t\}-\{r\}=\{p,q,s,t\}\. Closest distractor: option C wrongly keeps \(r\) inside the set, so it is not the complement; option A is just the intersection itself. Exam tip: always find the intersection (or union) first, then apply complement relative to \(U\).
यदि \(A\subseteq B\), तो हर तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी होगा। तत्वता पद्घति से देखें: यदि \(x\in B'\) (अर्थात् \(x\notin B\)), तो निश्चित रूप से \(x\notin A\) भी होगा क्योंकि \(A\subseteq B\)। अतः \(x\in A'\)। इसलिए \(B'\subseteq A'\) सत्य है। विकल्प A (\(A'\subseteq B'\)) सामान्यतः उल्टा है और गलत है; विकल्प C तब ही सही होगा जब \(A=B\) हो; विकल्प D का अर्थ है कि दोनों पूरक एक-दूसरे से पृथक हैं, जो जरूरी नहीं। परीक्षा-टिप: समुच्चय समावेश दिखाने के लिये हमेशा 'तत्वता विधि' (element-wise) या वенн आरेख का उपयोग करें। / If \(A\subseteq B\), every element of \(A\) is in \(B\). Using element-wise reasoning: if \(x\in B'\) (so \(x\notin B\)), then certainly \(x\notin A\), hence \(x\in A'\). Thus \(B'\subseteq A'\) is true. Option A (\(A'\subseteq B'\)) reverses the inclusion and is generally false; option C holds only if \(A=B\); option D (\(A'\cap B'=\varnothing\)) need not hold. Exam tip: prove set relations by taking an arbitrary element and showing membership (element-wise proof) or use a Venn diagram for quick checks.
समुच्चय का पूरक परिभाषित है: \(A'=U\setminus A\)। इसलिए \(A\) को पाने के लिए हम \(U\) से \(A'\) में दिए गए तत्व हटा देंगे। अर्थात् \(A=U\setminus A'=\{2,4,6,8,10,12\}\setminus\{4,10\}=\{2,6,8,12\}\)। विकल्प C निकट का भ्रम पैदा करता है क्योंकि उसमें 4 शामिल है, पर 4 तो \(A'\) में है इसलिए \(A\) में नहीं होना चाहिए। परीक्षा टिप: किसी समुच्चय और उसके पूरक के लिए \(A\cup A'=U\) और \(A\cap A'=\varnothing\) हमेशा सत्य होते हैं। / By definition the complement is \(A'=U\setminus A\). So to get \(A\) remove the elements of \(A'\) from \(U\): \(A=U\setminus A'=\{2,4,6,8,10,12\}\setminus\{4,10\}=\{2,6,8,12\}\). Option C is a tempting distractor because it includes 4, but 4 belongs to \(A'\) so it cannot be in \(A\). Exam tip: remember \(A\cup A'=U\) and \(A\cap A'=\varnothing\) to check your answer quickly.
पहला कदम है \(A\cup B\) निकालना: \(A\cup B=\{1,2,3,5,6,7\}\). अब समर्पक \((A\cup B)'\) का मतलब है यूनिवर्सल सेट \(U\) में से \(A\cup B\) को हटाना: \(U-(A\cup B)=\{4,8,9,10\}\). विकल्प B गलत है क्योंकि वह \(A\cup B\) खुद है, विकल्प C \(A\cap B\) (साधारण गलती), और विकल्प D से घटक 9 गायब है। परीक्षा के लिए टिप: पहले यूनियन निकालें, फिर यूनिवर्सल सेट से घटाएँ — यह क्रम त्रुटियों को रोकता है। / First compute the union: \(A\cup B=\{1,2,3,5,6,7\}\). The complement \((A\cup B)'\) means all elements of the universal set \(U\) not in \(A\cup B\), so \(U-(A\cup B)=\{4,8,9,10\}\). Option B is just the union (a common confusion), option C equals \(A\cap B\), and option D incorrectly omits 9. Exam tip: always form the union first, then subtract from \(U\) to get the complement — this avoids missing elements.
30 के धनात्मक भाजक हैं 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 और 30 — कुल 8 संख्या, अतः \(n(A)=8\)। सार्वभौम समुच्चय \(U\) में 1 से 30 तक कुल 30 सदस्य हैं, इसलिए पूरक का आकार \(n(A')=30-8=22\)। निकट भ्रमित विकल्प (20) तब बन सकता है जब किसी ने दो भाजक ग़लत तरीके से छोड़ दिये हों। परीक्षाया सुझाव: तेज़ी से गणना के लिए 30 का अभाज्य गुणनखंड रूप \(30=2\times3\times5\) है, इसलिए भाजकों की संख्या \((1+1)(1+1)(1+1)=8\)। / The positive divisors of 30 are 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 and 30 — so \(n(A)=8\). The universal set \(U\) contains the integers 1 through 30, i.e. 30 elements, hence \(n(A')=30-8=22\). The common wrong answer 20 would result from omitting two divisors. Exam tip: use prime factorization \(30=2\cdot3\cdot5\) so number of divisors = \((1+1)(1+1)(1+1)=8\) to count quickly.
