Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
डी मॉर्गन नियम से (\(A\cap B\)'=A'\cup B')। साझा भाग को छोड़कर बाकी क्षेत्र इस पूरक में आते हैं। / By De Morgan's law, (\(A\cap B\)'=A'\cup B'). All regions except the common part are included in this complement.
यदि \(n(U)=80\), दोनों सेटों के बाहर के तत्व 15 हैं (यानी A या B में नहीं), केवल A में 25 तत्व और केवल B में 18 तत्व हैं, तो \(n(A\cap B)\) कितने होंगे?
सार्वभौमिक सेट \(U\) के तत्व चार भागों में बंटते हैं: दोनों के बाहर, केवल A, केवल B, और A∩B। यदि \(x=n(A\cap B)\) मान लें, तो कुल योग होगा \(80=15+25+18+x\)। इससे \(x=80-15-25-18=22\)। विकल्प 37 गलत है क्योंकि वह किसी भाग को गलत तरीके से जोड़ने या घटाने से आता है—उदाहरण के लिए यदि किसी ने ओवरलैप के बजाय पूरी तरह के किसी क्षेत्र को दोगुना ग़लत रूप से जोड़ा हो। परीक्षा संकेत: एक दो-वृत्त वाला वेन आरेख बनाएं, चार क्षेत्रों को लेबल करें और उनके योग को \(n(U)\) के बराबर रखें। / The universal set \(U\) is partitioned into four regions: outside both sets, only A, only B, and A∩B. Let \(x=n(A\cap B)\). Then the total is \(80=15+25+18+x\), so \(x=80-15-25-18=22\). Option 37 is incorrect because it results from an incorrect combination or miscounting of these regions (for example, treating an exclusive region as including the overlap). Exam tip: draw a two-circle Venn diagram, label the four regions, then set their sum equal to \(n(U)\) to solve for the unknown region.
संघ में केवल (A), साझा भाग और केवल (B) आते हैं। इसलिए साझा भाग (44-16-19=9) है। / The union contains only (A), the common part, and only (B). Therefore, the common part is (44-16-19=9).
केंद्रित सिद्धांत: केवल चाय पीने वाले = कुल चाय पीने वाले − दोनों पीने वाले। इसलिए केवल चाय = \(17-6=11\)। विकल्प 15 गलत है क्योंकि वह दूध पीने वालों की कुल संख्या है, और 6 केवल दोनों पीने वालों की संख्या है। परीक्षा-सुझाव: त्वरित गणना के लिए छोटे वेंस आरेख या समीकरण \(n(A\text{ only})=n(A)-n(A\cap B)\) लिख लें। / Core idea: only-tea = total tea − both. Thus only tea = \(17-6=11\). Option 15 is incorrect because it denotes total milk drinkers, not only tea drinkers; 6 is the overlap. Exam tip: draw a two-circle Venn diagram or use the formula \(n(A\text{ only})=n(A)-n(A\cap B)\) to avoid mistakes.
एक खेल शिविर में कुल 55 विद्यार्थी हैं। उनमें से 30 विद्यार्थी दौड़ में भाग लेते हैं, 22 विद्यार्थी तैराकी में हैं, और 8 विद्यार्थी दोनों ही गतिविधियों में भाग लेते हैं। केवल तैराकी करने वाले कितने विद्यार्थी हैं?
केवल तैराकी करने वाले विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात करने के लिए तैराकी में कुल विद्यार्थियों से दोनों गतिविधियों में भाग लेने वालों (सामान्य भाग) को घटाएँ: 22−8 = 14। विकल्प A (8) केवल समागम (दोनों) है, जो केवल‑तैराकी नहीं हो सकता। विकल्प C (22) में दोनों गतिविधियों वाले भी शामिल हैं; विकल्प D (44) तार्किक रूप से गलत है (यह किसी भी उपयुक्त वर्गीकरण से मेल नहीं खाता)। परीक्षा‑टिप: दो वृत वाले वेन् आरेख बनाकर सीधे प्रत्येक क्षेत्र पर लेबल लगा लें। / To find students only in swimming subtract the intersection (students in both) from the total swimming students: 22−8 = 14. Option A (8) is just the intersection, not 'only swimming'. Option C (22) includes those who are in both activities. Option D (44) is not consistent with any correct counting in this scenario. Exam tip: draw a two‑circle Venn diagram and label the three regions (only A, only B, both) to avoid errors.
बीच का सामान्य क्षेत्र तीनों में साझा होता है, इसलिए \(A\cap B\cap C\) है। तीन समुच्चयों में सबसे पहले केंद्र को पहचानें। / The central common region is shared by all three, so it is \(A\cap B\cap C\). In three-set diagrams, identify the center first.
तीन समुच्चयों के सूत्र से (8+7+6-2-1-3+1=16)। जोड़ी वाले प्रतिच्छेद घटाकर तीनों का साझा भाग जोड़ें। / By the three-set formula, (8+7+6-2-1-3+1=16). Subtract pairwise intersections and add the common part of all three.
“केवल A” का अर्थ है A में वे तत्व जो B में नहीं हैं, अतः केवल A = \(n(A)-n(A\cap B)=11-4=7\)। इसी तरह केवल B = \(n(B)-n(A\cap B)=9-4=5\)। इसलिए केवल A और केवल B का कुल = \(7+5=12\)। सबसे नज़दीकी विचलन 16 है, जो कि \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=11+9-4=16\) है — यह मात्रा समुच्चय के ऐसे सभी तत्वों को गिनती है जिसमें समापवर्तक (intersection) भी शामिल है, जबकि प्रश्न केवल अलग-अलग (exclusive) क्षेत्रों का योग पूछ रहा है। परीक्षा टिप: एक सरल वैन्न आरेख बनाकर A, B और उनका परस्पर मिलने वाला भाग अलग-अलग लिखें; फिर सीधे एक्सक्लूसिव क्षेत्रों को जोड़ें। / “Only A” means elements in A but not in B, so only A = \(n(A)-n(A\cap B)=11-4=7\). Similarly only B = \(n(B)-n(A\cap B)=9-4=5\). Therefore total only A + only B = \(7+5=12\). The closest distractor 16 equals \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=11+9-4=16\), which counts the intersection as well; the question asks for exclusive regions only. Exam tip: draw a Venn diagram, label the three regions (only A, only B, intersection) and compute the exclusive region sizes directly.
यदि \(n(A\cap B)=0\) है तो इसका अर्थ है कि \(A\) और \(B\) के कोई साझा अवयव नहीं हैं — उनकी परस्पर छेड़छाड़ शून्य है। इसलिए वेन आरेख में ये दो अलग-अलग (अल्गाव) वृत्त होंगे जिनका कोई पारस्परिक भाग नहीं होगा, अर्थात् असंबद्ध सेट।\nक्यों अन्य विकल्प गलत हैं: "समान" तभी हो सकता है जब दोनों सेटों के सभी अवयव एक जैसे हों — पर यहाँ \(n(A)\neq n(B)\) है। "उपसमुच्चय" होने पर छोटा सेट बड़े में पूरी तरह शामिल होता और उनके साझा अवयव ग़ैर-शून्य होते (कम से कम जितना छोटा सेट का आकार)। "पूरक" किसी सार्वभौमिक सेट के सापेक्ष परिभाषित होता है और इसे इस जानकारी से नहीं निकाला जा सकता।\nपरीक्षा टिप: पहले तुरंत \(n(A\cap B)\) देखें — यदि यह 0 है तो सेट असंबद्ध हैं। / Because \(n(A\cap B)=0\) there are no common elements between \(A\) and \(B\); their intersection is empty. In a Venn diagram they appear as two non-overlapping circles, so they are disjoint.\nWhy other choices are wrong: "Equal" would require the same elements (and here \(n(A)\neq n(B)\)). "Subset" would imply all elements of one lie inside the other so the intersection would equal the smaller set (non-zero here). "Complement" is defined with respect to a universal set and cannot be concluded from the given counts.\nExam tip: Check the intersection first—if \(n(A\cap B)=0\), answer "disjoint" immediately.
A. वे अवयव जो A में हैं, पर B में नहीं/Elements that are in A but not in B
Explanation
Simple Explanation
\(A-B\) में A के केवल वे अवयव आते हैं जो B में शामिल नहीं होते। वेन आरेख में यह A वृत्त का B से बाहर वाला भाग है। \(A\cap B\) दोनों का साझा भाग होता है। परीक्षा टिप: “minus” को “में है, पर दूसरे में नहीं” पढ़ें। / \(A-B\) contains elements belonging to A but excluded from B. In a Venn diagram, it is the part of circle A outside circle B. \(A\cap B\) instead denotes the common overlap. Exam tip: read set difference as “in the first set, not in the second.”
