Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(a-a=0\in\mathbb{Q}\) है और परिमेय संख्याएं ऋण तथा योग में बंद रहती हैं। इसलिए यह प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है। / \(a-a=0\in\mathbb{Q}\), and rational numbers are closed under negatives and addition. Hence it is reflexive, symmetric and transitive.
A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Explanation
Simple Explanation
यदि (a-b) अपरिमेय है तो (b-a) भी अपरिमेय है। लेकिन (a-a=0) अपरिमेय नहीं और अपरिमेय अंतरों का योग परिमेय हो सकता है। / If (a-b) is irrational, then (b-a) is also irrational. But (a-a=0) is not irrational and the sum of irrational differences can be rational.
हर विद्यार्थी का जन्म महीना अपने जैसा ही है। समान जन्म महीना सममित और संक्रामी भी होता है। / Every student has the same birth month as himself or herself. Having the same birth month is also symmetric and transitive.
A. धनात्मक और ऋणात्मक वास्तविक संख्याएं/Positive and negative real numbers
Explanation
Simple Explanation
(ab>0) तब होता है जब दोनों संख्याओं के चिह्न समान हों। इसलिए दो वर्ग धनात्मक और ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के बनते हैं। / (ab>0) happens when both numbers have the same sign. Hence the two classes are positive and negative real numbers.
A. प्रतिवर्ती और सममित, लेकिन संक्रामी नहीं/Reflexive and symmetric, but not transitive
Explanation
Simple Explanation
किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए \(|a-a|=0\leq2\), इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। साथ ही \(|a-b|=|b-a|\), इसलिए यह सममित है। लेकिन 0R2 और 2R4 सत्य हैं, जबकि \(|0-4|=4>2\), अतः 0R4 असत्य है और संबंध संक्रामी नहीं है। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: संक्रामिता जाँचने के लिए ऐसे तीन उदाहरण चुनें जिनमें पहले दो अंतर सीमा के बराबर हों। / For every real number a, \(|a-a|=0\leq2\), so the relation is reflexive. Also, \(|a-b|=|b-a|\), so it is symmetric. However, 0R2 and 2R4 are true, whereas \(|0-4|=4>2\), making 0R4 false; hence the relation is not transitive. Therefore, option A is correct. Exam tip: To test transitivity, choose three numbers where the first two differences are within the allowed limit but the total difference exceeds it.
A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Explanation
Simple Explanation
(a+b=0) से (b+a=0) भी मिलता है। पर (aRa) के लिए (2a=0) चाहिए और संक्रामिता भी सामान्यतः नहीं मिलती। / From (a+b=0), we also get (b+a=0). But (aRa) needs (2a=0), and transitivity does not hold in general.
वास्तविक संख्याओं में \(a^3=b^3\) से (a=b) मिलता है। इसलिए यह पहचान संबंध की तरह समतुल्यता संबंध है। / For real numbers, \(a^3=b^3\) implies (a=b). Hence it is an equivalence relation like the identity relation.
दिए गए प्रत्येक \(x\) के लिए \(y=x^2\) निकालने पर मान \(4,1,0,1,4\) मिलते हैं। परास में केवल अलग-अलग \(y\)-मान लिखे जाते हैं, इसलिए परास \(\{0,1,4\}\) है। विकल्प B दिए गए \(x\)-मानों का समुच्चय है, जो संबंध का प्रांत है, परास नहीं। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए पहले दिए गए प्रांत के प्रत्येक मान पर फलन लागू करें और दोहराए गए परिणामों को एक बार ही लिखें। / For each given value of \(x\), calculating \(y=x^2\) gives \(4,1,0,1,4\). The range contains only distinct \(y\)-values, so it is \(\{0,1,4\}\). Option B is the set of given \(x\)-values, which is the domain, not the range. Exam tip: Apply the rule to every domain value and list repeated output values only once.
\([\sqrt{2}]\) में वे सभी (x) हैं जिनके लिए \(x-\sqrt{2}\in\mathbb{Q}\)। इसलिए \(x=\sqrt{2}+q\) जहां \(q\in\mathbb{Q}\)। / \([\sqrt{2}]\) contains all (x) such that \(x-\sqrt{2}\in\mathbb{Q}\). Hence \(x=\sqrt{2}+q\) where \(q\in\mathbb{Q}\).
