Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(\frac{x-2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2), पर \(x\ne 2\)। सरल करने के बाद भी मूल हर की शर्त याद रखें। / (\frac{x-2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2), but \(x\ne 2\). Keep the original denominator restriction even after simplification.
(f(3)=4) और (g(3)=4), इसलिए ((f-g)(3)=0)। मान निकालते समय दोनों फलनों में वही (x) रखें। / (f(3)=4) and (g(3)=4), so ((f-g)(3)=0). Substitute the same (x)-value in both functions.
(f(1)=4) और (g(1)=2), इसलिए ((fg)(1)=4\cdot 2=8)। गुणन में फलनों के मानों को गुणा करें। / (f(1)=4) and (g(1)=2), so ((fg)(1)=4\cdot 2=8). For products, multiply the function values.
(\left\(\frac{f}{g}\right\)(2)=\frac{f(2)}{g(2)}=\frac{12}{6}=2)। हर का मान (0) नहीं होना चाहिए। / (\left\(\frac{f}{g}\right\)(2)=\frac{f(2)}{g(2)}=\frac{12}{6}=2). The denominator value must not be (0).
(f(-1)=2) और (g(-1)=-1), इसलिए योग (1) है। ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है। / (f(-1)=2) and (g(-1)=-1), so the sum is (1). The square of a negative number is positive.
((fg)(x)=(x+5)\cdot 2=2x+10)। स्थिर फलन से गुणा करते समय वितरण नियम लगाएं। / ((fg)(x)=(x+5)\cdot 2=2x+10). Use the distributive law when multiplying by a constant function.
((f+g)(x)=5x-1), इसलिए (x) का गुणांक (5) है। पहले समान पदों को जोड़कर सरल करें। / ((f+g)(x)=5x-1), so the coefficient of (x) is (5). Simplify by combining like terms first.
((fg)(x)=\frac{1}{x}\cdot x=1), लेकिन \(x\ne 0\)। हर में (x) हो तो शून्य को हटाएं। / ((fg)(x)=\frac{1}{x}\cdot x=1), but \(x\ne 0\). Exclude zero when (x) is in the denominator.
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) चाहिए और (x+1) सभी वास्तविक (x) पर परिभाषित है। अतः डोमेन \([0,\infty\)) है। / For \(\sqrt{x}\), we need \(x\ge 0\), while (x+1) is defined for all real (x). Hence the domain is \([0,\infty\)).
\(\frac{1}{x-3}\) में (x=3) पर हर (0) हो जाता है। इसलिए योग का डोमेन \(\mathbb{R}-{3}\) है। / In \(\frac{1}{x-3}\), the denominator becomes (0) at (x=3). So the domain of the sum is \(\mathbb{R}-{3}\).
भागफल में (g(x)\ne 0) होना चाहिए। (x-5=0) से (x=5), इसलिए (5) हटेगा। / For a quotient, (g(x)\ne 0) is required. Since (x-5=0) gives (x=5), exclude (5).
(f(1)=5) और (g(1)=1), इसलिए (f(1)+2g(1)=7)। संयुक्त फलन में गुणक को न भूलें। / (f(1)=5) and (g(1)=1), so (f(1)+2g(1)=7). Do not forget the multiplier in a combined function.
योग में फलनों के मान जोड़े जाते हैं, गुणा नहीं किए जाते। अतः ((f+g)(x)=x+x-2)। / In addition, function values are added, not multiplied. Hence ((f+g)(x)=x+x-2).
(f(0)=0) और (g(0)=3), इसलिए ((f-g)(0)=0-3=-3)। (x=0) रखने पर स्थिर पद बचता है। / (f(0)=0) and (g(0)=3), so ((f-g)(0)=0-3=-3). At (x=0), the constant term remains.
(f(0)=-1) और (g(0)=1), इसलिए भागफल (-1) है। केवल तब अपरिभाषित होगा जब हर (0) हो। / (f(0)=-1) and (g(0)=1), so the quotient is (-1). It is undefined only when the denominator is (0).
((x+6)+(x-6)=2x) क्योंकि (6) और (-6) कट जाते हैं। संकेतों पर ध्यान देना आसान अंक दिलाता है। / ((x+6)+(x-6)=2x) because (6) and (-6) cancel. Careful signs can earn easy marks.
(f(0)=1) और (g(0)=2), इसलिए ((fg)(0)=2)। पहले अलग-अलग मान निकालना सुरक्षित तरीका है। / (f(0)=1) and (g(0)=2), so ((fg)(0)=2). Finding values separately is a safe method.
(f(2)=4) और (g(2)=4), इसलिए अंतर (0) है। समान मान मिलने पर घटाव शून्य होगा। / (f(2)=4) and (g(2)=4), so the difference is (0). If the values are equal, their difference is zero.
\(\sqrt{x-1}\) के लिए \(x-1\ge 0\), यानी \(x\ge 1\)। गुणन का डोमेन दोनों डोमेन का प्रतिच्छेद होता है। / For \(\sqrt{x-1}\), \(x-1\ge 0\), so \(x\ge 1\). The product domain is the intersection of both domains.
\(\frac{1}{x}\) में (x=0) मान्य नहीं है। इसलिए योग का डोमेन \(\mathbb{R}-{0}\) है। / In \(\frac{1}{x}\), (x=0) is not allowed. Therefore the domain of the sum is \(\mathbb{R}-{0}\).
(x+2=0) से (x=-2) पर (f(x)) अपरिभाषित है। गुणन में भी यह मान हटेगा। / Since (x+2=0) gives (x=-2), (f(x)) is undefined there. This value is also excluded in the product.
((x+2)(x+3)=x-2+5x+6), इसलिए स्थिर पद (6) है। स्थिर पद अक्सर स्थिरों के गुणन से मिलता है। / ((x+2)(x+3)=x-2+5x+6), so the constant term is (6). The constant term often comes from multiplying constants.
((g-f)(x)=g(x)-f(x)=(3x+2)-(x-1)=2x+3)। क्रम बदलने से अंतर बदल सकता है। / ((g-f)(x)=g(x)-f(x)=(3x+2)-(x-1)=2x+3). Changing the order can change the difference.
(f(-2)=4) और (g(-2)=-2), इसलिए (4-(-2)=6)। ऋणात्मक संख्या घटाते समय जोड़ बनता है। / (f(-2)=4) and (g(-2)=-2), so (4-(-2)=6). Subtracting a negative number becomes addition.
तीनों फलनों को जोड़ने पर (x+x+x=3x) और (1+2+3=6)। इसलिए उत्तर (3x+6) है। / Adding the three functions gives (x+x+x=3x) and (1+2+3=6). So the answer is (3x+6).
(\left\(\frac{f}{g}\right\)(1)=\frac{f(1)}{g(1)}=\frac{7}{1}=7)। भागफल में हर का मान जांचना जरूरी है। / (\left\(\frac{f}{g}\right\)(1)=\frac{f(1)}{g(1)}=\frac{7}{1}=7). Always check the denominator value in a quotient.
(\frac{x-2-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3)। शर्त \(x\ne -3\) मूल हर से आती है। / (\frac{x-2-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3). The condition \(x\ne -3\) comes from the original denominator.
(x-1=0) से (x=1) और (x+1=0) से (x=-1)। योग के डोमेन में दोनों प्रतिबंध लागू होंगे। / (x-1=0) gives (x=1), and (x+1=0) gives (x=-1). Both restrictions apply to the domain of the sum.
(f(5)=9) और (g(5)=7), इसलिए योग (16) है। सीधे ((f+g)(x)=3x+1) बनाकर भी मान मिल सकता है। / (f(5)=9) and (g(5)=7), so the sum is (16). You can also form ((f+g)(x)=3x+1) first.
(f(2)=4) और (g(2)=7), इसलिए ((fg)(2)=28)। उत्पाद में जोड़ नहीं, गुणा करें। / (f(2)=4) and (g(2)=7), so ((fg)(2)=28). For a product, multiply, do not add.
((f+g)(x)=x-2+2x+2=(x+1)2+1)। पूर्ण वर्ग पहचानना ग्राफ और रेंज में भी मदद करता है। / ((f+g)(x)=x-2+2x+2=(x+1)2+1). Recognizing a completed square also helps in graphs and range.
दोनों फलन समान हैं, इसलिए उनका अंतर हर (x) पर (0) है। समान फलनों का अंतर शून्य फलन होता है। / The two functions are identical, so their difference is (0) for every (x). The difference of identical functions is the zero function.
शून्य फलन जोड़ने से दूसरा फलन वैसा ही रहता है। इसलिए ((f+g)(x)=x+7)। / Adding the zero function leaves the other function unchanged. Hence ((f+g)(x)=x+7).
\(\frac{1}{x+4}\) में (x=-4) पर हर (0) है। अंतर का डोमेन भी \(\mathbb{R}-{-4}\) होगा। / In \(\frac{1}{x+4}\), the denominator is (0) at (x=-4). The domain of the difference is also \(\mathbb{R}-{-4}\).
\(\frac{g}{f}\) में हर (f(x)=x+1) है, इसलिए (x=-1) हटेगा। भागफल में हर वाले फलन को ध्यान से देखें। / In \(\frac{g}{f}\), the denominator is (f(x)=x+1), so (x=-1) is excluded. Identify the denominator function carefully.
क्योंकि (f(x)=g(x)), इसलिए (\frac{f(x)}{g(x)}=1)। यहाँ \(x^2+1\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए सभी वास्तविक (x) मान्य हैं। / Since (f(x)=g(x)), (\frac{f(x)}{g(x)}=1). Here \(x^2+1\) is never (0), so all real (x) are valid.
(f(1)=7) और (g(1)=-5), इसलिए ((f-g)(1)=7-(-5)=12)। ऋणात्मक मान घटाते समय सावधानी रखें। / (f(1)=7) and (g(1)=-5), so ((f-g)(1)=7-(-5)=12). Be careful while subtracting a negative value.
(f(2)=4) और (g(2)=0), इसलिए ((fg)(2)=4\cdot 0=0)। गुणन में किसी एक मान के (0) होने पर उत्पाद (0) होता है। / (f(2)=4) and (g(2)=0), so ((fg)(2)=4\cdot 0=0). In multiplication, if one value is (0), the product is (0).
\(\sqrt{x+2}\) के लिए \(x\ge -2\) और \(\frac{1}{x-1}\) के लिए \(x\ne 1\) चाहिए। दोनों शर्तों को साथ लगाएं। / For \(\sqrt{x+2}\), \(x\ge -2\), and for \(\frac{1}{x-1}\), \(x\ne 1\). Apply both conditions together.
((g-f)(x)=\(x^2+1\)-\(x^2-1\)=2)। घटाते समय दूसरे कोष्ठक के चिह्न बदलते हैं। / ((g-f)(x)=\(x^2+1\)-\(x^2-1\)=2). While subtracting, the signs inside the second bracket change.
