बहुपद फलन \(x^2+1\) प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है, इसलिए इसका प्रांत \(\mathbb{R}\) है। \(\frac{1}{x-3}\) में \(x=3\) वर्जित है। परीक्षा टिप: हर और वर्गमूल की शर्त पहले जाँचें। / The polynomial \(x^2+1\) is defined for every real \(x\), so its domain is \(\mathbb{R}\). In \(\frac{1}{x-3}\), \(x=3\) is excluded. Exam tip: first check denominator and square-root restrictions.
किसी संबंध या फलन का प्रांत क्रमित युग्मों के प्रथम अवयवों का समुच्चय होता है। यहाँ प्रथम अवयव 3, 5 और 7 हैं, इसलिए प्रांत {3, 5, 7} है। विकल्प B परास (range) है, प्रांत नहीं। परीक्षा में domain ज्ञात करने के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म का पहला अवयव लें। / The domain of a relation or function is the set of first components of its ordered pairs. Here, the first components are 3, 5, and 7, so the domain is {3, 5, 7}. Option B is the range, not the domain. In an exam, identify the domain by collecting the first element from every ordered pair.
किसी फलन का परास उसके क्रमित युग्मों के सभी द्वितीय अवयवों का समुच्चय होता है। यहाँ द्वितीय अवयव 4, 6, 8 और 10 हैं, इसलिए परास \(\{4,6,8,10\}\) है। विकल्प B प्रांत है, क्योंकि उसमें सभी प्रथम अवयव दिए गए हैं। परीक्षा-युक्ति: क्रमित युग्म \((x,y)\) में सभी \(y\)-मानों का समुच्चय परास होता है। / The range of a function is the set of all second components of its ordered pairs. Here, the second components are 4, 6, 8, and 10, so the range is \(\{4,6,8,10\}\). Option B is the domain because it contains all the first components. Exam tip: in an ordered pair \((x,y)\), collect the y-values to find the range.
समुच्चय f(A) में A के प्रत्येक अवयव का फलन-मान शामिल होता है। इसलिए f(4)=4−4=0, f(5)=5−4=1 और f(9)=9−4=5। अतः f(A)={0,1,5} है। विकल्प B मूल परिभाषा-क्षेत्र A है, उसके फलन-मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: image set निकालने के लिए परिभाषा-क्षेत्र के प्रत्येक अवयव को फलन में क्रमशः रखें। / The set f(A) contains the function values corresponding to every element of A. Thus, f(4)=4−4=0, f(5)=5−4=1, and f(9)=9−4=5. Therefore, f(A)={0,1,5}. Option B is the original domain A, not its image under f. Exam tip: To find an image set, substitute each element of the domain into the function one by one.
A. परास, \(B\) का उपसमुच्चय होता है/The range is a subset of \(B\)
Explanation
Simple Explanation
फलन \(f:A\to B\) में प्रत्येक \(a\in A\) का प्रतिबिंब \(B\) में होता है। इन सभी प्रतिबिंबों का समुच्चय परास कहलाता है, इसलिए परास \(B\) का उपसमुच्चय होता है। परास \(B\) के बराबर केवल तब होता है जब फलन आच्छादी (onto) हो। परीक्षा-युक्ति: परास हमेशा सहप्रांत के अंदर होता है, लेकिन दोनों हमेशा समान नहीं होते। / For a function \(f:A\to B\), the image of every \(a\in A\) lies in \(B\). The set of all such images is the range, so the range is a subset of the codomain \(B\). It equals \(B\) only when the function is onto. Exam tip: the range is always contained in the codomain, but it need not fill the entire codomain.
समुच्चय \(A\) के प्रत्येक अवयव पर फलन लागू करते हैं: \(f(-2)=|-2|=2\), \(f(0)=0\), और \(f(3)=3\)। इसलिए \(f(A)=\{2,0,3\}=\{0,2,3\}\)। विकल्प B केवल मूल समुच्चय \(A\) को दोहराता है, जबकि \(f(A)\) में फलन से प्राप्त मान लिखे जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय का image set निकालने के लिए उसके हर अवयव का function value ज्ञात करें और दोहराए गए मान केवल एक बार लिखें। / Apply the function to each element of \(A\): \(f(-2)=|-2|=2\), \(f(0)=0\), and \(f(3)=3\). Hence, \(f(A)=\{2,0,3\}=\{0,2,3\}\). Option B is just the original set \(A\), not its image under \(f\). Exam tip: To find an image set, evaluate the function for every element of the given set and list each resulting value only once.
