Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
एक परीक्षा में विद्यार्थी को (8) प्रश्नों में से (5) प्रश्न हल करने हैं। पहले (3) प्रश्नों में से कम से कम (2) प्रश्न हल करना अनिवार्य है। चयन कितने तरीकों से हो सकता है?
पहले (3) में से (2) या (3) प्रश्न चुनें और बाकी (5) प्रश्नों से शेष चुनें। कम से कम वाली शर्त में अलग-अलग मामले बनाएँ। / Choose (2) or (3) from the first (3), then choose the remaining questions from the other (5). For an at least condition, split into cases.
किसी पुस्तकालय में (6) गणित और (5) भौतिकी की पुस्तकों से (4) पुस्तकों का समूह बनाना है जिसमें दोनों विषयों की कम से कम एक पुस्तक हो। कुल कितने समूह बनेंगे?
कुल चयन \(\binom{11}{4}\) से केवल गणित और केवल भौतिकी वाले चयन घटाएँ। पूरक विधि ऐसे प्रश्नों में तेज होती है। / Subtract all-math and all-physics selections from \(\binom{11}{4}\). The complement method is faster for such restrictions.
(3) पुरुष (5) में से और (2) महिलाएँ (4) में से चुनी जाएँगी। ठीक वाली शर्त में केवल एक मामला बनता है। / Choose (3) men from (5) and (2) women from (4). An exactly condition usually gives one fixed case.
बराबर रंगों के लिए (2) लाल और (2) नीली गेंदें चुननी होंगी। इसलिए \(\binom{6}{2}\binom{5}{2}\) लगाएँ। / Equal colours mean choosing (2) red and (2) blue balls. So use \(\binom{6}{2}\binom{5}{2}\).
कुल (6) चालों में (3) दाएँ और (3) नीचे चालें होंगी। इसलिए \(\binom{6}{3}\) मार्ग मिलते हैं। / There are (6) moves: (3) right and (3) down. Hence the number of paths is \(\binom{6}{3}\).
लगातार न होने वाले (4) दिनों का चयन \(\binom{10-4+1}{4}\) से मिलेगा। गैर-लगातार चयन में अंतर विधि याद रखें। / The number of ways to choose (4) non-consecutive days is \(\binom{10-4+1}{4}\). Remember the gap method for non-consecutive selections.
संभव मामले (3) लड़कियाँ (2) लड़के, (4) लड़कियाँ (1) लड़का और (5) लड़कियाँ हैं। अधिक वाली शर्त में सभी वैध मामलों को जोड़ें। / The valid cases are (3) girls (2) boys, (4) girls (1) boy, and (5) girls. Add all cases satisfying the greater-than condition.
कोई भी (3) अंक चुनने पर उनका केवल एक बढ़ता क्रम बनेगा। जब क्रम पहले से निश्चित हो तो संयोजन पर्याप्त है। / Any (3) chosen digits give exactly one increasing order. When order is predetermined, combinations are enough.
एक थाली में (7) प्रकार की मिठाइयाँ हैं। (5) मिठाइयाँ चुननी हैं जिनमें कम से कम (2) विशेष मिठाइयाँ शामिल हों। यदि विशेष मिठाइयाँ (3) हैं, तो चयन कितने तरीकों से होगा?
विशेष मिठाइयों में से (2) या (3) चुनें और शेष सामान्य मिठाइयों से भरें। कम से कम के लिए वैध मामलों का योग करें। / Choose (2) or (3) of the special sweets and fill the rest from ordinary sweets. Add valid cases for an at least condition.
हर दो रंगों की जोड़ी के लिए कुल (4) चयन से एक ही रंग वाले चयन घटाएँ और तीनों जोड़ें। ठीक (2) रंग का अर्थ दोनों चुने रंगों से कम से कम एक गेंद है। / For each pair of colours, take all (4)-selections and subtract single-colour selections, then add the three pairs. Exactly (2) colours means at least one ball from each chosen colour.
कुल \(\binom{10}{3}\) त्रिभुजों से वे त्रिभुज घटाएँ जिनमें दोनों निश्चित बिंदु हों। प्रतिबंधित युग्म के साथ तीसरा बिंदु (8) तरीकों से चुना जाता है। / Subtract triangles containing both particular points from total \(\binom{10}{3}\). With the forbidden pair, the third point has (8) choices.
संभव मामले (1) अध्यापक (3) विद्यार्थी और (2) अध्यापक (2) विद्यार्थी हैं। दोनों कम से कम शर्तों को साथ मिलाकर मामले बनाएँ। / The valid cases are (1) teacher (3) students and (2) teachers (2) students. Form cases satisfying both at least conditions.
कलम \(\binom{4}{2}\) तरीकों से और कॉपी \(\binom{3}{2}\) तरीकों से चुनी जाएँगी। स्वतंत्र चयन में परिणामों को गुणा करें। / Pens are chosen in \(\binom{4}{2}\) ways and notebooks in \(\binom{3}{2}\) ways. Multiply independent selections.
कुल \(\binom{6}{3}\) चयन से वे चयन घटाएँ जिनमें प्रश्न (1) और प्रश्न (2) दोनों हैं। प्रतिबंधित जोड़ी के साथ तीसरा प्रश्न (4) तरीकों से चुना जाता है। / Subtract selections containing both question (1) and question (2) from total \(\binom{6}{3}\). With the forbidden pair, the third question has (4) choices.
मित्रों में से \(\binom{3}{2}\) और बाकी (6) लोगों में से \(\binom{6}{3}\) चयन होंगे। ठीक (2) का अर्थ तीसरा मित्र बाहर रहेगा। / Choose \(\binom{3}{2}\) friends and \(\binom{6}{3}\) others. Exactly (2) means the third friend is excluded.
एक प्रश्नपत्र में खंड (A) में (5) प्रश्न और खंड (B) में (6) प्रश्न हैं। विद्यार्थी को (6) प्रश्न हल करने हैं, जिनमें खंड (A) से कम से कम (2) और खंड (B) से कम से कम (3) प्रश्न हों। चयन कितने तरीकों से होगा?
वैध मामले ((2,4)) और ((3,3)) हैं। दोनों खंडों की कम से कम शर्तों को एक साथ मिलाकर ही मामले बनाएँ। / The valid cases are ((2,4)) and ((3,3)). Form cases only after combining the at least conditions of both sections.
