Level 24 • 10/50 questions • 25 seconds per question.
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A. शून्यZero
ग्राफ (x)-अक्ष से न मिले तो वास्तविक शून्यक नहीं होता। केवल (y=0) वाले बिंदु गिने जाते हैं। / If the graph does not meet the (x)-axis there is no real zero. Only points with (y=0) are counted.
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A. दोTwo
अलग-अलग शून्यक केवल (-1) और (2) हैं। छूने वाला शून्यक दोहराया हो सकता है पर अलग मान एक ही गिना जाता है। / The distinct zeroes are only (-1) and (2). A touching zero may be repeated but its distinct value is counted once.
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A. दो भिन्न वास्तविक शून्यकTwo distinct real zeroes
दो अलग कटान दो अलग वास्तविक शून्यक देते हैं। ग्राफ में अलग (x)-प्रतिच्छेद अलग शून्यक होते हैं। / Two separate intersections give two distinct real zeroes. Different (x)-intercepts mean different zeroes.
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A. दोTwo
x-अक्ष को काटना दर्शाता है कि x = -5 पर एक वास्तविक शून्यक मौजूद है। x = 2 पर 'स्पर्श' होने का अर्थ है कि x = 2 भी शून्यक है (आमतौर पर सम बहुलकता — multiplicity ≥ 2), पर यह भी एक ही भिन्न वास्तविक शून्यक गिना जाता है। अतः भिन्न वास्तविक शून्यक x = -5 और x = 2 — कुल 2। विकल्प C (तीन) केवल तब सही होता अगर प्रश्न में शून्यकों को उनकी बहुलकता सहित गिनने को कहा गया हो (उदाहरण: multiplicity 1 at -5 और multiplicity 2 at 2 → कुल गणनात्मक शून्य 3), पर यहाँ भिन्न शून्यकों की संख्या माँगी गई है। परीक्षा-टिप: प्रश्न में देखें कि ‘भिन्न’ (distinct) माँगा है या 'बहुलकता सहित' (counting multiplicity)। / A crossing at x = -5 gives a real root at -5. A touch (tangent) at x = 2 also gives a real root at 2 (typically with even multiplicity), but it still counts as one distinct real zero. Therefore the distinct real zeros are x = -5 and x = 2 — two in total. Option C (three) would be correct only if you were asked to count zeros with multiplicity (for example multiplicity 1 at -5 and multiplicity 2 at 2 would total 3). Exam tip: check whether the question asks for distinct zeros or asks to count multiplicities.
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A. दोनों वास्तविक शून्यक समान हैंBoth real zeroes are equal
शीर्ष (x)-अक्ष पर होने पर परवलय अक्ष को एक ही बिंदु पर छूता है। इसलिए शून्यक समान होते हैं। / When the vertex lies on the (x)-axis, the parabola touches the axis at one point. Hence the zeroes are equal.
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If a parabola opens downward and cuts the (x)-axis at two points, how many real zeroes will it have?
A. दोTwo
खुलने की दिशा शून्यकों की संख्या अकेले तय नहीं करती। दो कटान स्पष्ट रूप से दो वास्तविक शून्यक देते हैं। / The opening direction alone does not decide the number of zeroes. Two intersections clearly give two real zeroes.
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How many real zeros does the constant polynomial \(p(x)=5\) have?
A. शून्यZero
स्थिर बहुपद \(p(x)=5\) का ग्राफ रेखा \(y=5\) है जो \(x\)-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा है। वास्तविक शून्यक वे बिंदु हैं जहाँ \(p(x)=0\)। यहाँ \(5=0\) सम्भव नहीं है, इसलिए कोई भी वैसा \(x\) नहीं मिलेगा। इसीलिए वास्तविक शून्यक की संख्या शून्य है। निकटतम विचलन जैसे “एक” गलत है क्योंकि इससे तर्क यह होगा कि किसी विशेष \(x\) पर बहुपद शून्य होगा — पर ऐसा कोई समाधान नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद के शून्य देखने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) लगा कर हल करें; यदि स्थिर मान शून्य नहीं है तो शून्यक नहीं होंगे। / The graph of the constant polynomial \(p(x)=5\) is the horizontal line \(y=5\), parallel to the x-axis. Real zeros are values of \(x\) for which \(p(x)=0\). Since the equation \(5=0\) has no solution, there is no real \(x\) with \(p(x)=0\). Therefore the number of real zeros is zero. The distractor “one” is incorrect because it assumes some \(x\) makes the polynomial zero, which is impossible here. Exam tip: To check zeros, set \(p(x)=0\) — for nonzero constants this immediately shows there are none.
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A. तीनThree
तीन अलग (x)-प्रतिच्छेद तीन शून्यक देते हैं। संख्या के प्रकार से नहीं बल्कि प्रतिच्छेदों से गिनें। / Three distinct (x)-intercepts give three zeroes. Count by intersections not by the type of numbers.
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If \(p(x)=x^2+6x+10\), what will be the relation of its graph to the x-axis?
A. यह \(x\)-अक्ष को नहीं मालेगाIt will not meet the x-axis
\(p(x)=x^2+6x+10=(x+3)^2+1\) है, जो हर वास्तविक \(x\) के लिये धनात्मक है (न्यूनतम मान \(1\) पर होता है)। द्विघात का डिस्क्रिमिनेंट \(\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot10=36-40=-4<0\) है, अतः कोई वास्तविक मूल नहीं है और ग्राफ \(x\)-अक्ष को नहीं काटेगा। नज़दीकी भ्रामक विकल्प “एक बार छुएगा” तब सही होता जब \(\Delta=0\) (एक द्विगुण मूल) — यहाँ ऐसा नहीं है। परीक्षा संकेत: ग्राफ के x-अक्ष से सम्बन्ध जानने के लिए या तो \(\Delta\) निकालें या वर्टेक्स का y-मान देखें; यदि वर्टेक्स का y-मान >0 और परबोला ऊपर खुलती है तो कोई वास्तविक शून्य नहीं होगा। / Write \(p(x)=x^2+6x+10=(x+3)^2+1\), which is always positive with minimum value 1 at the vertex \((-3,1)\). The discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot10=36-40=-4<0\), so there are no real zeros and the parabola does not meet the x-axis. The closest distractor “touch once” would mean \(\Delta=0\) (a repeated root), which is not the case here. Exam tip: compute \(\Delta\) or check the vertex's y-coordinate — either quickly tells you whether real x-intercepts exist.
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A. शून्यZero
वास्तविक शून्यक के लिए ग्राफ का (x)-अक्ष से मिलना जरूरी है। कोई मिलन नहीं तो कोई वास्तविक शून्यक नहीं। / For a real zero the graph must meet the (x)-axis. No meeting means no real zero.
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