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x-अक्ष पर छेदन बिंदु पर \(y=0\) होता है। अतः \(3x-12=0\) से \(3x=12\) और \(x=4\) प्राप्त होता है, इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प \(-4\) गलत है क्योंकि उस मान पर \(y=3(-4)-12=-24\), जो कि 0 नहीं है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प 3 है — पर \(x=3\) पर \(y=3(3)-12=-3\) भी 0 नहीं है। परीक्षा-सुझाव: x-अक्ष पर छेदन खोजने के लिए हमेशा रेखा में \(y=0\) रखकर समीकरण हल करें। / The x-intercept occurs where \(y=0\). Setting \(3x-12=0\) gives \(3x=12\) and hence \(x=4\), so 4 is correct. Option \(-4\) is wrong because substituting gives \(y=3(-4)-12=-24\), not 0. The nearby distractor 3 also fails since \(y=3(3)-12=-3\). Exam tip: to find x-intercept, set \(y=0\) and solve for \(x\).
A. क्योंकि शून्यक के लिए (y=0) चाहिए/Because a zero needs (y=0)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (x)-अक्ष से जुड़े होते हैं जहाँ (y=0) होता है। (y)-अक्ष से कटाव केवल (x=0) पर बहुपद का मान बताता है। / Zeroes are linked to the (x)-axis where (y=0). A (y)-axis intersection only shows the value of the polynomial at (x=0).
\(p(9)=0\) का अर्थ है कि जब \(x=9\) होता है तो बहुपद का मान \(y=0\) है। इसलिए ग्राफ x-अक्ष को \(x=9\) पर काटेगा, यानी बिंदु \((9,0)\) से गुजरेगा। अन्य विकल्प गलत हैं: \((-9,0)\) में x का चिह्न उल्टा है, \((0,9)\) में x और y बदले हुए हैं और \((9,9)\) में y शून्य नहीं है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी जड़ (zero) को x-अक्ष पर इंटरसेप्ट के रूप में लिखें — अगर \(p(a)=0\) हो तो बिंदु \((a,0)\) होगा। / \(p(9)=0\) means the polynomial takes value zero when \(x=9\), so \(y=0\) at that x. Hence the graph meets the x-axis at \((9,0)\). Why others are wrong: \((-9,0)\) has the wrong sign for x, \((0,9)\) swaps x and y, and \((9,9)\) does not have y=0. Exam tip: a root \(p(a)=0\) always corresponds to the x-intercept \((a,0)\).
x-अक्ष पर स्पर्श करने वाला बिंदु उस बहुपद का शून्यक (root) होता है क्योंकि उस बिंदु पर \,p(x)=0\\ होता है। "स्पर्श" का अर्थ यह है कि जड़ की गुणनशीलता (multiplicity) सम (even) हो सकती है, परन्तु वह अंक फिर भी वास्तविक शून्यक ही है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक x = -2 है। विकल्प B (2) गलत है क्योंकि वह बिंदु +2 पर होगा, विकल्प C (0) गलत है क्योंकि शून्य (origin) दिया ही नहीं गया, और विकल्प D (कोई नहीं) गलत है क्योंकि स्पर्श करने वाला बिंदु निश्चित रूप से शून्यक देता है। टिप: परीक्षा में "touches" = even multiplicity; "cuts" = odd multiplicity। / A point where the graph touches the x-axis is a real root because at that point p(x)=0. "Touches" usually indicates an even multiplicity root, but regardless of multiplicity it is still a zero of the polynomial. Thus the distinct real zero is x = -2. Option B (2) is wrong because the given x-coordinate is -2, not +2; option C (0) is wrong because the origin is not the given intercept; option D (None) is wrong because a touching point is indeed a root. Exam tip: remember that "touches" implies an even multiplicity root, while "cuts" implies an odd multiplicity.
यदि \(p(-6)=0\) है तो बहुपद का मान \(x=-6\) पर शून्य है, यानी ग्राफ का य‑निर्मित मान \(y=0\) होगा। इसलिए बिंदु \((-6,0)\) ग्राफ पर होगा। विकल्प B गलत है क्योंकि वहाँ x का मान +6 है न कि −6; विकल्प C और D y‑अवरोधक (x=0 पर y≠0) हैं, जो शून्य होने की परिभाषा से मेल नहीं खाते। परीक्षा‑टिप: किसी भी रूप में दिए गए "zero" या "root" का मतलब है कि वह x‑मान ग्राफ का x‑अक्ष (y=0) पर इंटरसेप्ट देता है। / \(p(-6)=0\) means the polynomial equals zero at \(x=-6\), so the graph has \(y=0\) when \(x=-6\). Hence the point \((-6,0)\) lies on the graph. Option B is wrong because it uses \(x=6\) instead of \(x=-6\). Options C and D are y‑intercepts (x=0) and do not represent a zero of the polynomial. Exam tip: a root/zero \(p(a)=0\) corresponds to the x‑intercept \((a,0)\).
किसी बहुपद का शून्यक वह x-मान होता है जहाँ बहुपद का मान शून्य हो, यानी जहाँ ग्राफ x-अक्ष (y=0) को काटता है। बिंदु \((a,0)\) में x-निर्देशांक \(a\) है, अतः शून्यक \(a\) होगा। विकल्प \(0\) गलत है क्योंकि वह y-निर्देशांक है; \(-a\) और \(a^2\) भी उस बिंदु के x-निर्देशांक नहीं हैं। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु में हमेशा y=0 होता है — इसलिए शून्यक सीधे x-कोऑर्डिनेट होता है। / The zero of a polynomial is the x-value where the polynomial equals zero, i.e., where the graph meets the x-axis (y=0). At the point \((a,0)\) the x-coordinate is \(a\), so the zero is \(a\). Option \(0\) is incorrect because that is the y-coordinate at the intersection; \(-a\) and \(a^2\) are not the x-coordinate of the given point. Exam tip: when a graph intersects the x-axis, read off the x-coordinate — that is the zero (root).
किसी फ़ंक्शन या पॉलिनोम के ग्राफ़ पर बिंदु \\((a,p(a))\\) होता है। जब \(p(0)=0\) तो \(x=0\) पर \(y=p(0)=0\) होगा, अतः ग्राफ़ बिंदु \\((0,0)\\) अर्थात् मूल बिंदु से गुजरेगा। विकल्प (1,0) भ्रमित करने के लिए है — केवल इसलिए कि y=0 है — पर \(p(1)\) के बारे में कोई जानकारी नहीं दी गयी, अतः वह सत्य नहीं है। परीक्षा-सूत्र: किसी भी पॉलिनोम के शून्य की जाँच के लिए उस x का मान रखें; यदि \(p(a)=0\) हो तो ग्राफ़ पर बिंदु \\((a,0)\\) मौजूद होगा। / For a function or polynomial the graph contains points of the form \\((a,p(a))\\). If \(p(0)=0\), then at \(x=0\) we have \(y=p(0)=0\), so the graph passes through \\((0,0)\\) — the origin. Option (1,0) is a plausible distractor but is wrong because \(p(1)\) is not given; you cannot assume \(p(1)=0\). Quick exam tip: evaluate the polynomial at the given x; whenever \(p(a)=0\), the graph crosses the x-axis at \\((a,0)\\).
x-अक्ष पर काटने का बिंदु (-4,0) बताता है कि उस बिंदु पर बहुपद का मान 0 है। इसका मतलब है कि \\(x=-4\\) पर बहुपद शून्य होगा, अर्थात् \\(-4\\) जड़ (root) है। विकल्प B (4) गलत है क्योंकि वह विपरीत संकेत वाला मान है; विकल्प C (0) और D (1) तभी सही होते यदि वे भी x-अक्ष पर कटाव बिंदु होते, जो दिए हुए नहीं हैं। परीक्षा-टिप: x-अक्ष के कटाव बिंदु का x-निर्देशांक सीधे जड़ देता है — संदेह होने पर बहुपद में प्रतिस्थापित कर जाँच लें। / An x-intercept of (-4, 0) means the polynomial evaluates to 0 at x = -4, so x = -4 is a root. Option B (4) is incorrect because it has the opposite sign; options C (0) and D (1) would only be correct if those x-values were the intercepts, which they are not. Exam tip: the x-coordinate of an x-intercept gives the root directly; if unsure, substitute the value into the polynomial to verify.
यदि p(a)=0 है तो किसी बहुपदीय फलन के लिये बिंदु को सामान्यतः (x,p(x)) के रूप में लिखा जाता है; यहाँ x=a होने पर वह बिंदु (a,p(a)) बनता है और p(a)=0 होने पर यह (a,0) बन जाता है। इसलिए ग्राफ अवश्य (a,0) से गुज़रता है। निकटतम ग़लत विकल्प D = (-a,0) इसलिए गलत है क्योंकि वह तभी सही होगा जब p(-a)=0 हो। परीक्षा-सूत्र: किसी भी दिए गए x के लिये ग्राफ पर बिंदु को (x,p(x)) लिखें और p(x) में मान डालकर देखें। / For a polynomial function the graph contains points of the form (x,p(x)). If p(a)=0 then the point (a,p(a)) becomes (a,0), so the graph must pass through (a,0). The closest distractor, (-a,0), is also on the x-axis but would be correct only if p(-a)=0. Exam tip: Always express a point as (x,p(x)) and substitute the given x to find the corresponding point on the graph.
x-अक्ष पर हर बिंदु के लिए y = 0 होता है। अतः \(y = x + 7\) में y = 0 रखकर \(0 = x + 7\) मिलता है, जिससे \(x = -7\)। इसलिए शून्यक -7 है। विकल्प A (7) आम गलतियाँ दर्शाता है जहाँ ऋण चिह्न नजरअंदाज कर दिया जाता है; विकल्प C और D समीकरण को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा संकेत: किसी रेखा का x-अक्ष पर काटने बिंदु पाने के लिए हमेशा y = 0 रखें और फिर x हल करें। / The x-axis corresponds to y = 0, so set y = 0 in \(y = x + 7\): \(0 = x + 7\) ⇒ \(x = -7\). Thus the zero (x-intercept) is -7. Option A (7) is the common sign-error distractor; options C and D do not satisfy the equation. Exam tip: to find an x-intercept of any line, put y = 0 and solve for x.
x-अक्ष पर बिंदु का अर्थ है कि \(y=0\)। अत: \(2x-6=0\) से \(2x=6\) और \(x=3\)। इसलिए शून्यक 3 है। विकल्प (-3) उस समय होगा जब कोई गलत साइन या गलत भागफल लिया जाए; 6 और -6 y का मान हो सकते हैं (y-अवरोध -6 है), पर वे बहुपद का शून्यक नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी रेखा का शून्यक निकालने के लिए हमेशा \(y=0\) रखकर x हल करें। / A point on the x-axis has \(y=0\). So set \(2x-6=0\), giving \(2x=6\) and \(x=3\). Hence the zero is 3. The option -3 arises from a sign or arithmetic mistake; 6 or -6 are values of y (the y-intercept is -6), not the x-intercept. Exam tip: to find the zero of a linear polynomial from its line, always put \(y=0\) and solve for x.
\(p(6)=0\) का अर्थ है कि जब \(x=6\) होगा तो फलन का मान \(y=p(6)\) शून्य होगा। इसलिए ग्राफ x-अक्ष (जहाँ \(y=0\)) को उस बिंदु पर काटेगा जहाँ \(x=6\), यानी \((6,0)\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \((-6,0)\) इसलिए गलत है क्योंकि उसमें संकेत का परिवर्तन दिखता है — वहाँ तक पहुँचने के लिए हमें \(p(-6)=0\) दिया होना चाहिए, जो नहीं दिया है। परीक्षा सुझाव: किसी भी raíz के लिए यदि \(p(a)=0\) दिया हो तो तुरंत x-अक्ष पर काटाव \((a,0)\) लिखें। / \(p(6)=0\) means the function value is zero at \(x=6\), so the graph meets the x-axis (where \(y=0\)) at the point \((6,0)\). The closest distractor \((-6,0)\) is a sign error — nothing in the given information implies \(p(-6)=0\). Exam tip: whenever you are given \(p(a)=0\), the corresponding x-intercept is always \((a,0)\).
A. नहीं, क्योंकि \(y\ne 0\) है — शून्यक होने के लिए \(y=0\) होना चाहिए/No, because \(y\ne 0\) — to be a zero we must have \(y=0\).
Explanation
Simple Explanation
किसी फलन का शून्यक वह \(x\)-मान है जहाँ फलन का मान \(y=0\) होता है (यानी x‑अक्ष पर बिंदु)। बिंदु \((0,4)\) में \(y=4\) है, अतः \(x=0\) शून्यक नहीं है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प (B) गलत है क्योंकि केवल \(x=0\) होना पर्याप्त नहीं; \(y\) का शून्य होना आवश्यक है। परीक्षा‑टिप: किसी बिंदु से शून्यक जानने के लिए हमेशा उसकी \(y\)-कोऑर्डिनेट देखें — यदि वह \(0\) है तो वही x‑मान शून्यक है। / A zero (root) is an x‑value where the function's value is \(y=0\) (an x‑intercept). At \((0,4)\) the value is \(y=4\), so \(x=0\) is not a zero. The closest distractor (B) is wrong because \(x=0\) alone does not imply a zero unless \(y=0\). Exam tip: to check if an x‑value is a root, check the corresponding y‑coordinate — it must be zero for a root.
A. (3) बहुपद का शून्यक है/(3) is a zero of the polynomial
Explanation
Simple Explanation
बिंदु (3, 0) का अर्थ है कि x=3 पर y=0 है, अर्थात् बहुपद का मान शून्य होता है। इसलिए x=3 बहुपद का शून्यक (root) है। विकल्प B गलत है क्योंकि (0) तभी शून्यक होगा यदि बिंदु (0,0) दिया होता। विकल्प C गलत है क्योंकि गुणांक बहुपद के पदों के सामने स्थित स्थिर संख्याएँ होती हैं, न कि ग्राफ के किसी बिंदु के x–समन्वय। विकल्प D गलत है क्योंकि y=0 अधिकतम मान नहीं दर्शाता। परीक्षा टिप: किसी भी ग्राफ का x-अवरोध (x-intercept) वही x मान देता है जहाँ बहुपद का मान शून्य होता है। / The point (3, 0) means that at x = 3 the polynomial's value y = 0, so x = 3 is a root (zero) of the polynomial. Option B is incorrect because 0 would be a zero only if the point were (0, 0). Option C is wrong since a coefficient is a constant multiplying a term, not an x-coordinate of a point on the graph. Option D is wrong because y = 0 does not imply a maximum. Exam tip: zeros of a polynomial are exactly the x-values of its x-intercepts where y = 0.
शून्यक वह x का मान होता है जहाँ बहुपद का मान शून्य हो, अर्थात् \(p(x)=0\)। यहाँ \(x+2=0\) से \(x=-2\) प्राप्त होता है। इसलिए शून्यक \(-2\) है। निकटवर्ती भ्रमित करने वाला विकल्प 2 है, परंतु \(p(2)=2+2=4\) शून्य नहीं है। परीक्षा‑टिप: हमेशा शून्यक के लिए बहुपद में वह मान रखकर सत्यापित करें। / A zero (root) is the x-value where the polynomial equals zero, i.e. solve \(p(x)=0\). For \(x+2=0\) we get \(x=-2\), so the zero is \(-2\). The common wrong choice 2 is incorrect because \(p(2)=2+2=4\), not zero. Exam tip: substitute the candidate x into the polynomial to verify it yields 0.
A. -5 बहुपद का शून्यक है/-5 is a zero of the polynomial
Explanation
Simple Explanation
जब किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को किसी बिंदु x = a पर काटता है, तो उस बिंदु का x-मान बहुपद का शून्यक होता है क्योंकि उस बिंदु पर फलन का मान शून्य होता है। अतः यदि ग्राफ x = -5 पर काटता है तो बहुपद के लिए \\(f(-5)=0\\) और -5 शून्यक है। विकल्प B (5) सामान्य गलतफहमी है — मान का चिह्न महत्वपूर्ण है; +5 तभी शून्यक होगा जब ग्राफ x = 5 पर कटकर y = 0 दे। विकल्प C और D भी दिए हुए स्थितियों से मेल नहीं खाते। परीक्षा सुझाव: x-अक्ष पर जहाँ ग्राफ कटे वही x-कोऑर्डिनेट पढ़ें और ऋण/धनात्मक चिह्न पर ध्यान दें। / The x-coordinate where a graph meets the x-axis is a root of the polynomial because at that point the function value is zero. So if the graph cuts at x = -5, then the polynomial satisfies \(f(-5)=0\) and -5 is a zero. Option B (5) is a common trap — the sign matters, +5 would be a root only if the graph crossed at x = 5. Options C and D contradict the given point of intersection. Exam tip: always read the x-coordinate of the intercept (including its sign); that x-value is the zero of the polynomial.
x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु का निर्देशांक (x,y) में y = 0 होता है। यदि ग्राफ x-अक्ष को (0,0) पर काटता है तो उस बिंदु का x‑निर्देशांक 0 है, अर्थात् बहुपद का मान P(0)=0 होगा और 0 एक शून्यक है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि वे x = 1 या x = −1 को दर्शाते हैं — ऐसा कोई संकेत नहीं दिया गया। विकल्प D गलत है क्योंकि बिंदु (0,0) से x‑निर्देशांक स्पष्ट रूप से ज्ञात है। परीक्षा टिप: गुणनखण्ड या ग्राफ से शून्यक निकालते समय हमेशा क्रम (x,y) को सही ढंग से पढ़ें; x‑अक्ष पर y = 0 होता है। / A point on the x-axis has coordinates (x,y) with y = 0. If the graph meets the x-axis at (0,0), the x‑coordinate is 0, so the polynomial satisfies P(0)=0 and 0 is a root. Options B and C would mean x = 1 or x = −1 respectively, which are not indicated by the given point. Option D is incorrect because the x‑value is directly given by (0,0). Exam tip: remember coordinates are (x,y) and any x‑intercept has y = 0, so the x‑value at that point is a root of the polynomial.
कोई भी बिंदु जहाँ ग्राफ \(x\)-अक्ष को काटता है, उस बिंदु का \(x\)-मान उस बहुपद का शून्यक (root) होता है क्योंकि उस स्थान पर बहुपद का मान शून्य होता है। प्रश्न में कटने का स्थान \(x=3\) दिया है, इसलिए शून्यक 3 है। निकटवर्ती भ्रामक विकल्प −3 गलत है क्योंकि इसका संकेत विपरीत है; 0 और 1 भी दिए हुए स्थान से मेल नहीं खाते। परीक्षा-सूचना: ध्यान दें कि अगर ग्राफ केवल स्पर्श करता है (cuts नहीं करता) तो भी वह बिंदु शून्यक है, पर वहाँ की गुणज (multiplicity) सम (even) हो सकती है। / The x-value where the graph intersects the x-axis is a root of the polynomial because the polynomial's value is zero at that x. Here the graph intersects at x = 3, so the zero is 3. The closest distractor −3 is wrong because the sign is opposite; 0 and 1 do not match the given intersection point. Exam tip: note the difference between 'cuts' and 'touches' — both give zeros, but touching usually indicates even multiplicity while cutting indicates odd multiplicity.
