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trigonometric-functions MCQ Questions for Class 11
trigonometric-functions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
चतुर्थ चतुर्थांश में \(\sin \theta\) ऋणात्मक और \(\cos \theta\) धनात्मक होता है। इसलिए \(\sin \theta=-\frac{15}{17}\) और \(\tan \theta=-\frac{15}{8}\)। / In the fourth quadrant, \(\sin \theta\) is negative and \(\cos \theta\) is positive. Hence \(\sin \theta=-\frac{15}{17}\) and \(\tan \theta=-\frac{15}{8}\).
(\sin x\(1+\sin x\)=0), इसलिए \(\sin x=0\) या \(\sin x=-1\)। दिए गए अंतराल में \(x=0,\pi,\frac{3\pi}{2}\) मिलते हैं। / Since (\sin x\(1+\sin x\)=0), \(\sin x=0\) or \(\sin x=-1\). In the given interval, \(x=0,\pi,\frac{3\pi}{2}\).
\(\sin 2x\) का आवर्त \(\pi\) और \(\sin 4x\) का आवर्त \(\frac{\pi}{2}\) है। इनका सामान्य मूल आवर्त \(\pi\) है। / The period of \(\sin 2x\) is \(\pi\) and the period of \(\sin 4x\) is \(\frac{\pi}{2}\). Their common fundamental period is \(\pi\).
\(a\sin x+b\cos x\) का अधिकतम मान \(\sqrt{a^2+b^2}\) होता है। इसलिए (\sqrt{52+(-12)2}=13) मिलेगा। / The maximum value of \(a\sin x+b\cos x\) is \(\sqrt{a^2+b^2}\). So (\sqrt{52+(-12)2}=13).
\(\cos x\) द्वितीय और तृतीय चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है। इसलिए \(x=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\)। / \(\cos x\) is negative in the second and third quadrants. Hence \(x=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\).
\(\sin x\) प्रथम और द्वितीय चतुर्थांश में धनात्मक है। इसलिए \(x=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\)। / \(\sin x\) is positive in the first and second quadrants. Hence \(x=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\).
त्रिगुण कोण सूत्र \(\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x\) है। परीक्षा में इसे \(\sin 3x\) से confuse न करें। / The triple angle formula is \(\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x\). In exams, do not confuse it with \(\sin 3x\).
त्रिगुण कोण सूत्र \(\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x\) है। परीक्षा में sign की गलती न करें। / The triple angle formula is \(\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x\). In exams, avoid sign mistakes.
तृतीय चतुर्थांश में \(\sin x\) और \(\cos x\) दोनों ऋणात्मक होते हैं, पर \(\tan x\) धनात्मक होता है। इसलिए \(\sin x=-\frac{4}{5}\)। / In the third quadrant, both \(\sin x\) and \(\cos x\) are negative, while \(\tan x\) is positive. Hence \(\sin x=-\frac{4}{5}\).
द्वितीय चतुर्थांश में \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) से \(\cos x=-\frac{12}{13}\)। / In the second quadrant, \(\cos x\) is negative. From \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), \(\cos x=-\frac{12}{13}\).
\(\cos ax\) का आवर्त \( \frac{2\pi}{|a|} \) होता है। इसलिए \(\cos 4x\) का आवर्त \( \frac{\pi}{2} \) है। / The period of \(\cos ax\) is \( \frac{2\pi}{|a|} \). Hence the period of \(\cos 4x\) is \( \frac{\pi}{2} \).
\(\tan ax\) का आवर्त \( \frac{\pi}{|a|} \) होता है। यहाँ (a=3), इसलिए आवर्त \( \frac{\pi}{3} \) है। / The period of \(\tan ax\) is \( \frac{\pi}{|a|} \). Here (a=3), so the period is \( \frac{\pi}{3} \).
दोनों ओर वर्ग करने पर \(1-2\sin x\cos x=1\) मिलता है। इसलिए \(\sin x\cos x=0\)। / Squaring both sides gives \(1-2\sin x\cos x=1\). Hence \(\sin x\cos x=0\).
दुगुना कोण पहचान \(\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x\) है। परीक्षा में \(\cos 2x\) के तीनों रूप याद रखें। / The double angle identity is \(\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x\). In exams, remember all three forms of \(\cos 2x\).
दुगुना कोण सूत्र के अनुसार \(2\sin x\cos x=\sin 2x\)। परीक्षा में यह identity बार-बार काम आती है। / By the double angle formula, \(2\sin x\cos x=\sin 2x\). This identity is used frequently in exams.
(\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left\(x+\frac{\pi}{4}\right\)) है। अधिकतम \(\sqrt{2}\) तब मिलता है जब \(x=\frac{\pi}{4}\)। / We use (\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left\(x+\frac{\pi}{4}\right\)). The maximum \(\sqrt{2}\) occurs at \(x=\frac{\pi}{4}\).
\(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\) है, इसलिए \(\sin x=0\) पर यह अपरिभाषित होता है। अतः \(x=n\pi\)। / Since \(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\), it is undefined when \(\sin x=0\). Thus \(x=n\pi\).
\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\) है, इसलिए \(\cos x=0\) पर यह अपरिभाषित होता है। अतः \(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\)। / Since \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), it is undefined when \(\cos x=0\). Thus \(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\).
किसी भी वास्तविक (x) के लिए \(-1\leq \sin x\leq 1\) होता है। परीक्षा में sine और cosine का basic range सबसे पहले लगाएं। / For any real (x), \(-1\leq \sin x\leq 1\). In exams, apply the basic range of sine and cosine first.
\(\cos x\) का आवर्त \(2\pi\) और \(\cos 2x\) का \(\pi\) है। इनका सामान्य मूल आवर्त \(2\pi\) है। / The period of \(\cos x\) is \(2\pi\) and that of \(\cos 2x\) is \(\pi\). Their common fundamental period is \(2\pi\).
समकोण त्रिभुज में लम्ब (7), आधार (24), कर्ण (25) होगा। इसलिए \(\sin x=\frac{7}{25}\)। / In a right triangle, perpendicular is (7), base is (24), and hypotenuse is (25). Hence \(\sin x=\frac{7}{25}\).
(\tan\left\(\frac{\pi}{4}+x\right\)) और (\tan\left\(\frac{\pi}{4}-x\right\)) के सूत्र लगाने पर गुणनफल (1) आता है। यह एक उपयोगी standard result है। / Using the formulas for (\tan\left\(\frac{\pi}{4}+x\right\)) and (\tan\left\(\frac{\pi}{4}-x\right\)), the product is (1). This is a useful standard result.
\(\tan x\) का आवर्त \(\pi\) है, इसलिए \(x=n\pi+y\) होगा। परीक्षा में tangent के लिए \(n\pi\) जोड़ें। / The period of \(\tan x\) is \(\pi\), so \(x=n\pi+y\). In exams, add \(n\pi\) for tangent.
\(\cos x=\cos y\) के लिए कोण \(2n\pi\pm y\) के रूप में आते हैं। परीक्षा में cosine की सम प्रकृति याद रखें। / For \(\cos x=\cos y\), angles are of the form \(2n\pi\pm y\). In exams, remember the even nature of cosine.
A. \(x=2n\pi+y\) या (x=(2n+1)\pi-y)/\(x=2n\pi+y\) or (x=(2n+1)\pi-y)
Explanation
Simple Explanation
\(\sin x=\sin y\) के लिए (x=n\pi+(-1)^n y) होता है। इसी से दिए गए दोनों रूप मिलते हैं। / For \(\sin x=\sin y\), (x=n\pi+(-1)^n y). This gives the two stated forms.
यह (\cos\(80^\circ-20^\circ\)) है। इसलिए मान \(\cos 60^\circ=\frac{1}{2}\) है। / This is (\cos\(80^\circ-20^\circ\)). Hence the value is \(\cos 60^\circ=\frac{1}{2}\).
यह (\sin\(75^\circ-15^\circ\)) का रूप है। इसलिए मान \(\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\) है। / This is the form of (\sin\(75^\circ-15^\circ\)). Hence the value is \(\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\).
मूल पहचान \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\) है। परीक्षा में इसे \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) से भी सिद्ध किया जा सकता है। / The basic identity is \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\). In exams, it can also be derived from \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\).
