Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(a_7\) से \(a_4\) तक (3) अंतर पीछे जाना है, इसलिए (a_4=58-3(8)=34)। पीछे जाते समय समान अंतर घटाएं। / From \(a_7\) to \(a_4\), move back (3) gaps, so (a_4=58-3(8)=34). When moving backward, subtract the common difference.
पहले (5) पद (44,38,32,26,20) हैं और योग (160) है। घटती श्रेढ़ी में भी पद क्रम से लिखकर जोड़ें। / The first (5) terms are (44,38,32,26,20), and their sum is (160). In a decreasing progression, also list the terms in order and add.
(9n+4=85) से (9n=81) और (n=9)। पद का स्थान निकालने के लिए \(a_n\) को दिए मान के बराबर रखें। / From (9n+4=85), (9n=81) and (n=9). To find the position, set \(a_n\) equal to the given value.
\(8,16,24,32,\ldots\) में हर बार (8) जुड़ता है। समान अंतर निकालने में लगातार दो पदों का अंतर देखें। / In \(8,16,24,32,\ldots\), (8) is added each time. To find the common difference, check the difference of two consecutive terms.
पहले तीन पदों का औसत \(\frac{10+18+26}{3}=18\) है। समानांतर श्रेढ़ी में तीन क्रमिक पदों का औसत बीच वाला पद होता है। / The average of the first three terms is \(\frac{10+18+26}{3}=18\). In an arithmetic progression, the average of three consecutive terms is the middle term.
\(a_8=3\) और \(a_9=-2\), इसलिए पहला ऋणात्मक पद (9)वाँ है। शून्य से नीचे जाने वाला पहला पद जांचें। / \(a_8=3\) and \(a_9=-2\), so the first negative term is the (9)th. Check the first term that goes below zero.
समानांतर श्रेढ़ी में (2(2x)=(x+1)+(3x-5)), इससे (x=6) मिलता है। बीच का पद दोनों ओर के पदों का औसत होता है। / In an arithmetic progression, (2(2x)=(x+1)+(3x-5)), which gives (x=6). The middle term is the average of the two surrounding terms.
पहला पद (20) है और हर बार (5) घटाने पर (20,15,10,5) मिलते हैं। दिए (a) और (d) से सीधे पद बनाएं। / The first term is (20), and subtracting (5) each time gives (20,15,10,5). Form terms directly from the given (a) and (d).
\(a_5\) से \(a_{10}\) तक (5) अंतर हैं, इसलिए (a_{10}=33+5(4)=53)। पास के पद से आगे बढ़ना तेज तरीका है। / From \(a_5\) to \(a_{10}\), there are (5) gaps, so (a_{10}=33+5(4)=53). Moving forward from a nearby term is a quick method.
पहला पद (22) और (d=7) है इसलिए (a_n=22+(n-1)7=7n+15)। सामान्य पद बनाते समय (n-1) का ध्यान रखें। / The first term is (22) and (d=7), so (a_n=22+(n-1)7=7n+15). Remember (n-1) while forming the general term.
पहले (6) पद (7,10,13,16,19,22) हैं और योग (87) है। छोटे (n) में पद लिखकर जोड़ना आसान है। / The first (6) terms are (7,10,13,16,19,22), and their sum is (87). For small (n), writing and adding terms is easy.
\(a_6=a+5d\), इसलिए (41=a+25) और (a=16)। दिए पद से पीछे जाने के लिए समान अंतर घटाएं। / \(a_6=a+5d\), so (41=a+25) and (a=16). To move backward from a given term, subtract common differences.
(90+(n-1)(-8)=18) से (8(n-1)=72) और (n=10)। घटती श्रेढ़ी में भी वही \(a_n\) सूत्र लगता है। / From (90+(n-1)(-8)=18), (8(n-1)=72) and (n=10). The same \(a_n\) formula works in a decreasing progression.
चौथे से आठवें पद तक (4) अंतर हैं और वृद्धि (24) है, इसलिए (d=6)। अंतरालों की संख्या सही गिनें। / From the fourth to the eighth term there are (4) gaps and the increase is (24), so (d=6). Count the number of gaps correctly.
पहला पद (9) और (d=8) है इसलिए (a_n=9+(n-1)8=8n+1)। विकल्प को (n=1) रखकर भी जांच सकते हैं। / The first term is (9) and (d=8), so (a_n=9+(n-1)8=8n+1). You can also check an option by putting (n=1).
(18+(n-1)7=74) से (7(n-1)=56) और (n=9)। पद की स्थिति के लिए रैखिक समीकरण हल करें। / From (18+(n-1)7=74), (7(n-1)=56) and (n=9). Solve the linear equation to find the position of a term.
यहाँ (a=60) और (d=-6), इसलिए (a_{12}=60+11(-6)=-6)। घटती श्रेढ़ी में पद ऋणात्मक भी हो सकते हैं। / Here (a=60) and (d=-6), so (a_{12}=60+11(-6)=-6). In a decreasing progression, terms can become negative.
रैखिक रूप में (n) का गुणांक (-5) है, इसलिए समान अंतर (-5) है। गुणांक का चिह्न जरूर देखें। / In the linear form, the coefficient of (n) is (-5), so the common difference is (-5). Always check the sign of the coefficient.
पहले (5) पद (7,15,23,31,39) हैं और योग (115) है। कम पद हों तो पद लिखकर जोड़ना सरल है। / The first (5) terms are (7,15,23,31,39), and their sum is (115). For a small number of terms, listing and adding is simple.
(n=1,2,3,4) रखने पर (7,11,15,19) मिलते हैं। नियम से पद बनाते समय (n) को (1) से शुरू करें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (7,11,15,19). When forming terms from a rule, start (n) from (1).
(3+(n-1)8=67) से (8(n-1)=64) और (n=9)। पद का स्थान निकालने के लिए दिए पद को \(a_n\) के बराबर रखें। / From (3+(n-1)8=67), (8(n-1)=64) and (n=9). To find the position, set the given term equal to \(a_n\).
पहला पद (42) और अंतर (-6) है इसलिए (a_n=42+(n-1)(-6)=48-6n)। घटती श्रेढ़ी में समान अंतर ऋणात्मक होता है। / The first term is (42) and the difference is (-6), so (a_n=42+(n-1)(-6)=48-6n). In a decreasing progression, the common difference is negative.
लगातार पदों का अंतर (13-6=7) है। समान अंतर के लिए दूसरे पद से पहला पद घटाएं। / The difference between consecutive terms is (13-6=7). To find the common difference, subtract the first term from the second term.
पहला पद (12) है और हर बार (6) जुड़ रहा है। परीक्षा में पहला पद और अंतर दोनों मिलाएँ। / The first term is (12), and (6) is added each time. In exams, match both the first term and the difference.
बीच का पद (12) और (30) का औसत है, इसलिए \(x=\frac{12+30}{2}=21\) है। परीक्षा में तीन पदों वाली श्रेणी में मध्य पद का औसत लें। / The middle term is the average of (12) and (30), so \(x=\frac{12+30}{2}=21\). In exams, take the average for the middle term in three-term progressions.
(n=1) पर (14) और (n=2) पर (10) मिलता है, इसलिए \(a_n=18-4n\) है। परीक्षा में पहला पद जाँचकर नियम चुनें। / At (n=1) it gives (14), and at (n=2) it gives (10), so \(a_n=18-4n\). In exams, choose the rule after checking the first term.
यह (11) के गुणजों की श्रेणी है, इसलिए दसवाँ पद (110) है। परीक्षा में गुणजों को जल्दी पहचानें। / This is a sequence of multiples of (11), so the tenth term is (110). In exams, identify multiples quickly.
रैखिक नियम \(a_n=9n-2\) में (n) का गुणांक (9) ही अंतर है। परीक्षा में (kn+c) में (k) को (d) मानें। / In the linear rule \(a_n=9n-2\), the coefficient of (n) is the difference (9). In exams, take (k) as (d) in (kn+c).
(18) और (25) का अंतर (7) है, इसलिए रिक्त पद (18-7=11) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी सार्व अंतर लगाएँ। / The difference between (18) and (25) is (7), so the missing term is (18-7=11). In exams, apply the common difference backward too.
सार्व अंतर (0) होने पर सभी पद (15) रहेंगे। परीक्षा में (d=0) का मतलब स्थिर श्रेणी है। / When the common difference is (0), all terms remain (15). In exams, (d=0) means a constant sequence.
