Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(1440=2^5\cdot3^2\cdot5\) है और यह जरूरत पहली बार (8!) में पूरी होती है। विभाज्यता में अभाज्य गुणनखंड जांचें। / \(1440=2^5\cdot3^2\cdot5\), and this requirement is first satisfied by (8!). For divisibility, check prime factors.
शून्यों की संख्या \( \left\lfloor\frac{45}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{45}{25}\right\rfloor=10 \) है। (25) के योगदान को न भूलें। / The number of zeros is \( \left\lfloor\frac{45}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{45}{25}\right\rfloor=10 \). Do not forget the contribution of (25).
घात \( \left\lfloor\frac{20}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{16}\right\rfloor=18 \) है। अभाज्य घात के लिए सभी भागफल जोड़ें। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{20}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{16}\right\rfloor=18 \). Add all quotients for a prime exponent.
सरल रूप ( \frac{n(n-1)}{(n+1)(n+2)} ) है। (n=5) रखने पर \( \frac{20}{42}=\frac{10}{21} \) मिलता है। / The simplified form is ( \frac{n(n-1)}{(n+1)(n+2)} ). Putting (n=5) gives \( \frac{20}{42}=\frac{10}{21} \).
यह ((n+4)(n+3)(n+2)(n+1)=11880) है और \(12\cdot11\cdot10\cdot9=11880\)। इसलिए (n=8) है। / It is ((n+4)(n+3)(n+2)(n+1)=11880), and \(12\cdot11\cdot10\cdot9=11880\). So (n=8).
\( \frac{15\cdot14\cdot13\cdot12}{4!}=1365 \) है। हर में (4!) का सही मान लगाएं। / \( \frac{15\cdot14\cdot13\cdot12}{4!}=1365 \). Use the correct value of (4!) in the denominator.
पहला पद \(18\cdot17\cdot16=4896\) और दूसरा \(17\cdot16\cdot15=4080\) है। अंतर (816) है। / The first term is \(18\cdot17\cdot16=4896\) and the second is \(17\cdot16\cdot15=4080\). The difference is (816).
पहला पद (1320) और दूसरा \(2\cdot330=660\) है, इसलिए अंतर (660) है। गुणांक वाले पद में पहले गुणा पूरा करें। / The first term is (1320) and the second is \(2\cdot330=660\), so the difference is (660). Complete the multiplication in the coefficient term first.
सरल रूप ((n+3)(n+5)) है, इसलिए ((n+3)(n+5)=120)। \(10\cdot12=120\), इसलिए (n=7)। / The simplified form is ((n+3)(n+5)), so ((n+3)(n+5)=120). Since \(10\cdot12=120\), (n=7).
((n+3)!) सामान्य लेने पर ऊपर ((n+3)!(n+5)) बनता है। भाग देने पर ((n+3)(n+5)) मिलता है। / Taking ((n+3)!) common gives ((n+3)!(n+5)) in the numerator. Dividing gives ((n+3)(n+5)).
\(1008=2^4\cdot3^2\cdot7\) है और (7!) में ये सभी गुणक मिल जाते हैं। विभाज्यता में अभाज्य गुणनखंडों की जरूरत पूरी करें। / \(1008=2^4\cdot3^2\cdot7\), and (7!) contains all these factors. For divisibility, satisfy all prime factor requirements.
घात \( \left\lfloor\frac{14}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{14}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{14}{8}\right\rfloor=11 \) है। अभाज्य घात निकालते समय सभी भागफल जोड़ें। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{14}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{14}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{14}{8}\right\rfloor=11 \). Add all quotients while finding a prime exponent.
ऊपर और नीचे के समान गुणक कटने पर \( \frac{n+4}{n} \) बचता है। बड़े अनुपात को पहले गुणनफल में बदलें। / After canceling the common factors in numerator and denominator, \( \frac{n+4}{n} \) remains. First convert large ratios into products.
पहला पद (1001) और दूसरा (286) है, इसलिए अंतर (715) है। ऐसे प्रश्नों में दोनों पद अलग-अलग निकालकर घटाएं। / The first term is (1001) and the second is (286), so the difference is (715). In such questions, calculate both terms separately and subtract.
\((n+6)!=(n+6)(n+5)(n+4)(n+3)!\), इसलिए तीन गुणक बचते हैं। हर तक विस्तार करना न भूलें। / \((n+6)!=(n+6)(n+5)(n+4)(n+3)!\), so three factors remain. Do not forget to expand up to the denominator.
यह \((n+2)(n+1)n(n-1)=3024\) है। \(9\cdot8\cdot7\cdot6=3024\), इसलिए (n=7)। / It is \((n+2)(n+1)n(n-1)=3024\). Since \(9\cdot8\cdot7\cdot6=3024\), (n=7).
मान \( \frac{17\cdot16\cdot15}{8\cdot7\cdot6}=\frac{255}{28} \) है। भाग में दोनों तरफ तीन-तीन गुणक लिखें। / The value is \( \frac{17\cdot16\cdot15}{8\cdot7\cdot6}=\frac{255}{28} \). In division, write three factors on both sides.
(n=4) रखने पर \( \frac{8!}{4!}=8\cdot7\cdot6\cdot5=1680 \) मिलता है। मान रखने से पहले सामान्य रूप समझें। / Putting (n=4) gives \( \frac{8!}{4!}=8\cdot7\cdot6\cdot5=1680 \). Understand the general form before substituting.
विस्तार ((n+4)(n+3)(n+2)(n+1)) है, इसलिए (n) शामिल नहीं है। हर वाले (n!) तक कटौती हो जाती है। / The expansion is ((n+4)(n+3)(n+2)(n+1)), so (n) is not included. Cancellation stops at the denominator (n!).
\(6!=30\cdot4!\), \(5!=5\cdot4!\) और \(4!=1\cdot4!\), इसलिए कुल (36) नहीं बल्कि (36) है। / \(6!=30\cdot4!\), \(5!=5\cdot4!\), and \(4!=1\cdot4!\), so the total is (36).
पहला भाग (171) है और \(171\cdot\frac{2}{19}=18\)। गुणन से पहले (19) से कटौती करें। / The first part is (171), and \(171\cdot\frac{2}{19}=18\). Cancel by (19) before multiplying.
सरल रूप (3n(n+1)) है, इसलिए (n(n+1)=110)। \(10\cdot11=110\), इसलिए (n=10)। / The simplified form is (3n(n+1)), so (n(n+1)=110). Since \(10\cdot11=110\), (n=10).
यह ((n+5)(n+4)(n+3)=1320) है और \(13\cdot12\cdot11=1716\) नहीं; \(12\cdot11\cdot10=1320\), इसलिए (n=7)। / It is ((n+5)(n+4)(n+3)=1320). Since \(12\cdot11\cdot10=1320\), (n=7).
