Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. समांतर और अलग रेखाएँ/Parallel and distinct lines
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=3\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{12}{5}\)। इसलिए रेखाएँ समांतर और असंगत हैं। / \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=3\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{12}{5}\). Hence the lines are parallel and inconsistent.
समांतर होने के लिए \(\frac{k}{2}=\frac{3}{6}\), इसलिए (k=1)। नियतांकों का अनुपात अलग है, इसलिए रेखाएँ अलग समांतर हैं। / For parallel lines, \(\frac{k}{2}=\frac{3}{6}\), so (k=1). The constants ratio is different, so the lines are distinct parallel lines.
(2x+6y=18) को (2) से भाग देने पर (x+3y=9) मिलता है। इसलिए (b=3) देने पर रेखाएँ समांतर और अलग होंगी। / Dividing (2x+6y=18) by (2) gives (x+3y=9). Thus (b=3) makes the lines parallel and distinct.
C. वे समांतर और अलग हैं/They are parallel and distinct
Explanation
Simple Explanation
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=10) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=10). Same left side with different constants gives parallel lines.
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=2\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{9}{4}\)। इसलिए रेखाएँ समांतर और असंगत हैं। / \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=2\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{9}{4}\). Hence the lines are parallel and inconsistent.
B. वे समांतर और अलग हैं/They are parallel and distinct
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (6x-4y=12), जबकि दूसरा (6x-4y=18) है। इसलिए रेखाएँ समांतर और अलग हैं। / Multiplying the first equation by (2) gives (6x-4y=12), while the second is (6x-4y=18). Hence the lines are parallel and distinct.
रेखीय समीकरणों के युग्म \(a_1x+b_1y+c_1=0\) और \(a_2x+b_2y+c_2=0\) के लिए यदि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), तो उनके ग्राफ के बारे में कौन-सा कथन सही है?
B. रेखाएँ अलग-अलग समांतर होंगी/The lines will be distinct and parallel
Explanation
Simple Explanation
जब \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) होता है, तब दोनों रेखाओं की ढाल समान होती है, लेकिन वे एक ही रेखा नहीं होतीं। इसलिए वे अलग-अलग समांतर रेखाएँ होती हैं और उनका कोई साझा बिंदु नहीं होता। संपाती रेखाओं के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए, जबकि एक बिंदु पर प्रतिच्छेद के लिए पहले दो अनुपात समान नहीं होने चाहिए। परीक्षा-युक्ति: अनुपातों का क्रम \(a\), \(b\), \(c\) में मिलान करके संगत स्थिति पहचानें। / When \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), the two lines have the same slope but are not the same line. Hence, they are distinct parallel lines and have no common point. Coincident lines require all three ratios to be equal, while intersecting lines require the first two ratios to be unequal. Exam tip: Compare the ratios in the order \(a\), \(b\), and \(c\) to identify the graphical condition.
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (6x-2y=10), जबकि दूसरा (6x-2y=11) है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Multiplying the first equation by (2) gives (6x-2y=10), while the second is (6x-2y=11). Hence the lines are parallel and have no solution.
B. समांतर और अलग रेखाएँ/Parallel and distinct lines
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=2\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{10}{7}\)। इसलिए रेखाएँ समांतर और असंगत हैं। / \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=2\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{10}{7}\). Hence the lines are parallel and inconsistent.
B. समांतर और अलग रेखाएँ/Parallel and distinct lines
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+3y=9) मिलता है, जबकि दूसरा (x+3y=12) है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Dividing the first equation by (2) gives (x+3y=9), while the second is (x+3y=12). Hence the lines are parallel and have no solution.
(2x+6y=30) को (2) से भाग देने पर (x+3y=15) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर अलग रेखाएँ देते हैं। / Dividing (2x+6y=30) by (2) gives (x+3y=15). Same left side with different constants gives distinct parallel lines.
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=7) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=7). Same left side with different constants gives parallel lines.
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=3\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{7}{5}\)। इसलिए रेखाएँ समांतर और असंगत हैं। / \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=3\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{7}{5}\). Hence the lines are parallel and inconsistent.
यह अनुपात स्थिति अलग-अलग समांतर रेखाओं को दर्शाती है। इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। / This ratio condition represents distinct parallel lines. Therefore there is no common point.
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (2x-8y=6), जो (2x-8y=14) से अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं। / Multiplying the first equation by (2) gives (2x-8y=6), different from (2x-8y=14). Hence the lines are parallel.
पहला समीकरण (2) से भाग देने पर (x+2y=5) मिलता है, जबकि दूसरा (x+2y=9) है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं। / Dividing the first equation by (2) gives (x+2y=5), while the second is (x+2y=9). Hence the lines are parallel.
B. समांतर और कोई हल नहीं/Parallel with no solution
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (4x+6y=22), जो दूसरे से अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Multiplying the first equation by (2) gives (4x+6y=22), different from the second. Therefore the lines are parallel and have no solution.
(2x+4y=18) को (2) से भाग देने पर (x+2y=9) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक अलग समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing (2x+4y=18) by (2) gives (x+2y=9). Same left side with different constants gives distinct parallel lines.
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{9}{25}\)। इसलिए रेखाएँ समांतर और असंगत हैं। / \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{9}{25}\). Hence the lines are parallel and inconsistent.
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=8) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=8). Same left side with different constants gives parallel lines.
यह स्थिति अलग-अलग समांतर रेखाओं की होती है। इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं होता और युग्म असंगत होता है। / This condition represents distinct parallel lines. Therefore there is no common point and the pair is inconsistent.
B. समांतर और कोई हल नहीं/Parallel with no solution
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (2x-6y=10), जो दूसरे से अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Multiplying the first equation by (2) gives (2x-6y=10), different from the second. Hence the lines are parallel and have no solution.
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{5}{7}\)। इसलिए रेखाएँ समांतर और असंगत हैं। / \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{5}{7}\). Hence the lines are parallel and inconsistent.
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=6) मिलता है, जो पहले से समांतर है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=6), which is parallel to the first. Same left side with different constants gives parallel lines.
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (2x-2y=6), जबकि दूसरा (2x-2y=10) है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Multiplying the first equation by (2) gives (2x-2y=6), while the second is (2x-2y=10). Hence the lines are parallel and have no solution.
B. वे समांतर और अलग हैं/They are parallel and distinct
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (4x+6y=14), जबकि दूसरा (4x+6y=20) है। इसलिए रेखाएँ समांतर और अलग हैं। / Multiplying the first equation by (2) gives (4x+6y=14), while the second is (4x+6y=20). Hence the lines are parallel and distinct.
C. भिन्न समांतर रेखाएँ होंगी/They will be distinct parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दो रैखिक समीकरणों के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) होने पर दोनों रेखाओं की ढाल समान, लेकिन उनके अवरोध अलग होते हैं। इसलिए वे भिन्न समांतर रेखाएँ होती हैं और उनमें कोई सामान्य हल नहीं होता; अतः युग्म असंगत कहलाता है। ध्यान रखें: तीनों अनुपात समान हों तो रेखाएँ संपाती होती हैं। / When \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), the two lines have the same slope but different intercepts. Therefore, they are distinct parallel lines and have no common solution, so the pair is inconsistent. Exam tip: if all three ratios are equal, the lines are coincident.
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (2x-2y=4) मिलता है, जो दूसरे से अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Multiplying the first equation by (2) gives (2x-2y=4), which is different from the second. Hence the lines are parallel and have no solution.
C. समांतर रेखाएँ और कोई हल नहीं/Parallel lines and no solution
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (4x+10y=30) मिलता है, जो दूसरे से अलग है। समान गुणांक अनुपात और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Multiplying the first equation by (2) gives (4x+10y=30), different from the second. Same coefficient ratio with different constant gives parallel lines.
C. जब दोनों रेखाएँ भिन्न और समांतर होती हैं/When the two lines are distinct and parallel
Explanation
Simple Explanation
ग्राफीय विधि में हल दोनों रेखाओं के सामान्य बिंदु से मिलता है। भिन्न समांतर रेखाएँ कभी एक-दूसरे को नहीं काटतीं, इसलिए उनका कोई सामान्य बिंदु नहीं होता और समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं मिलता। एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं का एक हल होता है, जबकि संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं। परीक्षा-युक्ति: भिन्न समांतर रेखाएँ असंगत युग्म को दर्शाती हैं। / In the graphical method, a solution is represented by a common point of the two lines. Distinct parallel lines never intersect, so they have no common point and the pair has no solution. Lines intersecting at one point give one solution, whereas coincident lines have infinitely many solutions. Exam tip: distinct parallel lines represent an inconsistent pair.
