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पहले समीकरण को (3) से गुणा करने पर (3x-3y=21) मिलता है, जो (3x-3y=24) से अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं। / Multiplying the first equation by (3) gives (3x-3y=21), which differs from (3x-3y=24). Therefore, the lines are parallel.
दोनों में (x) और (y) के गुणांक समान हैं लेकिन नियतांक अलग हैं। इसलिए वे अलग-अलग समांतर रेखाएँ हैं। / Both have the same coefficients of (x) and (y), but different constants. Therefore, they are distinct parallel lines.
भिन्न समांतर रेखाएँ कभी एक-दूसरे को नहीं काटतीं, इसलिए उनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता और रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं होता। इसके विपरीत, प्रतिच्छेदी रेखाओं का एक हल और संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं। परीक्षा में याद रखें: भिन्न समांतर रेखाएँ असंगत युग्म को दर्शाती हैं। / Distinct parallel lines never intersect, so they have no common point and the pair of linear equations has no solution. In contrast, intersecting lines give one solution, while coincident lines give infinitely many solutions. Exam tip: distinct parallel lines represent an inconsistent pair of equations.
दोनों में (x) और (y) के गुणांक समान हैं लेकिन नियतांक अलग हैं। इसलिए रेखाएँ समांतर होंगी और कोई हल नहीं होगा। / Both have the same coefficients of (x) and (y), but different constants. So the lines are parallel and have no solution.
C. जब दोनों रेखाएँ अलग-अलग समांतर होती हैं/When the two lines are distinct and parallel
Explanation
Simple Explanation
अलग-अलग समांतर रेखाएँ कभी एक-दूसरे को नहीं काटतीं, इसलिए उनका कोई साझा बिंदु नहीं होता और समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं मिलता। संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं, जबकि प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं का एक अद्वितीय हल होता है। परीक्षा-युक्ति: ग्राफ में समान ढलान और अलग-अलग अवरोध वाली रेखाएँ no solution दर्शाती हैं। / Distinct parallel lines never intersect, so they have no common point and the pair of equations has no solution. Coincident lines have infinitely many solutions, while intersecting lines have one unique solution. Exam tip: lines with the same slope but different intercepts represent no solution.
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (2x-2y=12) मिलता है, जो (2x-2y=15) से अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं। / Multiplying the first equation by (2) gives (2x-2y=12), which differs from (2x-2y=15). Therefore, the lines are parallel.
दोनों में (x) और (y) के गुणांक समान हैं पर नियतांक अलग हैं। इसलिए वे अलग-अलग समांतर रेखाएँ हैं। / Both have the same coefficients of (x) and (y), but different constants. Therefore, they are distinct parallel lines.
दो अलग-अलग समांतर रेखाओं का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता। ग्राफ पर उभयनिष्ठ बिंदु ही युग्म के हल को दर्शाता है, इसलिए ऐसे युग्म का कोई हल नहीं होता और यह असंगत युग्म कहलाता है। परीक्षा में याद रखें: प्रतिच्छेदी रेखाएँ—एक हल, संपाती रेखाएँ—अनंत हल, तथा अलग-अलग समांतर रेखाएँ—कोई हल नहीं। / Two distinct parallel lines have no common point. Since a common point on the graph represents a solution of the pair, such a pair has no solution and is called an inconsistent pair. Exam tip: intersecting lines give one solution, coincident lines give infinitely many solutions, and distinct parallel lines give no solution.
दोनों में (x) और (y) के गुणांक समान हैं लेकिन नियतांक अलग हैं। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Both have the same coefficients of (x) and (y), but different constants. Hence, the lines are parallel and have no solution.
समीकरण \(y=1\) और \(y=4\) दोनों क्षैतिज रेखाओं को दर्शाते हैं। उनके \(y\)-अवरोध अलग-अलग हैं, इसलिए वे कभी एक-दूसरे को नहीं काटेंगी और समांतर होंगी। वे संपाती नहीं हैं, क्योंकि संपाती रेखाओं का प्रत्येक बिंदु समान होता है। परीक्षा में याद रखें: \(y=c\) का ग्राफ क्षैतिज रेखा होता है। / The equations \(y=1\) and \(y=4\) represent horizontal lines. Since their \(y\)-intercepts are different, they never meet and are parallel. They are not coincident because coincident lines have all points in common. Exam tip: the graph of \(y=c\) is always a horizontal line.
दो रेखाओं का कोई उभयनिष्ठ बिंदु न होने का अर्थ है कि वे समांतर और भिन्न हैं, इसलिए समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है। ऐसा युग्म असंगत कहलाता है। इसके विपरीत, आश्रित युग्म में दोनों रेखाएँ संपाती होती हैं और अनंत हल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: ग्राफ में कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हो, तो युग्म असंगत होता है। / If two lines have no common point, they are distinct parallel lines, so the pair of equations has no solution. Such a pair is called inconsistent. In contrast, a dependent pair represents coincident lines and has infinitely many solutions. Exam tip: No point of intersection on the graph means an inconsistent pair.
दोनों समीकरणों में (x) और (y) के गुणांक समान हैं, पर नियतांक अलग हैं। इसलिए रेखाएँ समांतर और असंगत होंगी। / Both equations have the same coefficients of (x) and (y), but different constants. Therefore, the lines are parallel and inconsistent.
समांतर अलग-अलग रेखाएँ कभी प्रतिच्छेद नहीं करतीं, इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। परीक्षा में ऐसी रेखाओं को असंगत मानें। / Distinct parallel lines never intersect, so there is no common point. In exams, such lines are inconsistent.
