पहला पद (8) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=8\cdot3^{n-1}\) है। परीक्षा में पहला पद और अनुपात दोनों मिलाएँ। / The first term is (8) and the ratio is (3), so \(a_n=8\cdot3^{n-1}\). In exams, match both the first term and the ratio.
(n=1,2,3) रखने पर (3,6,12) मिलते हैं। परीक्षा में (n-1) वाले घातांक को ध्यान से लगाएँ। / Putting (n=1,2,3) gives (3,6,12). In exams, apply the exponent (n-1) carefully.
पद (1,2,4,8,16) हैं, इसलिए (16) पाँचवाँ पद है। परीक्षा में छोटे पदों को क्रम से लिखकर जाँचें। / The terms are (1,2,4,8,16), so (16) is the fifth term. In exams, list small terms in order to check.
सामान्य अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए पाँचवाँ पद \(\frac{25}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{25}{4}\) है। परीक्षा में भिन्नों को सरल करें। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\), so the fifth term is \(\frac{25}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{25}{4}\). In exams, simplify fractions.
चौथा पद \(ar^3=6\times2^3=48\) है। परीक्षा में चौथे पद के लिए \(r^3\) लगाएँ। / The fourth term is \(ar^3=6\times2^3=48\). In exams, use \(r^3\) for the fourth term.
सामान्य अनुपात \(r=12\div4=3\) है। परीक्षा में (r) के लिए दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / The common ratio is \(r=12\div4=3\). In exams, divide the second term by the first term for (r).
C. क्योंकि लगातार अनुपात समान नहीं हैं/Because consecutive ratios are not equal
Explanation
Simple Explanation
अनुपात \(4\div1=4\) और \(9\div4=\frac{9}{4}\) समान नहीं हैं। परीक्षा में गुणोत्तर श्रेणी के लिए समान अनुपात जरूरी है। / The ratios \(4\div1=4\) and \(9\div4=\frac{9}{4}\) are not equal. In exams, equal ratio is necessary for a geometric progression.
दूसरा पद \(18\times\frac{1}{3}=6\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात से सावधानी से गुणा करें। / The second term is \(18\times\frac{1}{3}=6\). In exams, multiply carefully by a fractional ratio.
पहला पद (5) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=5\cdot3^{n-1}\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / The first term is (5) and the ratio is (3), so \(a_n=5\cdot3^{n-1}\). In exams, use \(a_n=ar^{n-1}\).
ये (3) की घातें हैं, इसलिए \(a_n=3^n\) है। परीक्षा में घात रूप को पहले पदों से मिलाएँ। / These are powers of (3), so \(a_n=3^n\). In exams, match the power form with the first terms.
(36) और (108) का अनुपात (3) है, इसलिए रिक्त पद \(36\div3=12\) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी अनुपात लगाएँ। / The ratio of (36) and (108) is (3), so the missing term is \(36\div3=12\). In exams, apply the ratio backward too.
सामान्य अनुपात (3) है, इसलिए पाँचवाँ पद \(54\times3=162\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (3), so the fifth term is \(54\times3=162\). In exams, multiply the last known term by the ratio.
हर बार \(\frac{1}{2}\) से गुणा हो रहा है, इसलिए अगला पद \(8\times\frac{1}{2}=4\) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में भिन्न अनुपात पहचानें। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{2}\), so the next term is \(8\times\frac{1}{2}=4\). In exams, identify fractional ratios in decreasing sequences.
तीसरा पद \(ar^2=3\times4^2=48\) है। परीक्षा में तीसरे पद के लिए अनुपात का वर्ग लगाएँ। / The third term is \(ar^2=3\times4^2=48\). In exams, use the square of the ratio for the third term.
अनुक्रम का पहला लिखा हुआ पद (7) है। परीक्षा में पहला पद (a) सीधे पहले पद से लें। / The first written term of the sequence is (7). In exams, take the first term (a) directly from the sequence.
अनुपात \(4\div2=2\) और \(6\div4=\frac{3}{2}\) समान नहीं हैं। परीक्षा में लगातार अनुपात जाँचें। / The ratios \(4\div2=2\) and \(6\div4=\frac{3}{2}\) are not equal. In exams, check consecutive ratios.
A. हाँ, सामान्य अनुपात (2) है/Yes, common ratio is (2)
Explanation
Simple Explanation
सभी लगातार पदों का अनुपात (2) है। परीक्षा में गुणोत्तर श्रेणी के लिए समान अनुपात जाँचें। / All consecutive terms have ratio (2). In exams, check equal ratios for a geometric progression.
लगातार पदों का अनुपात \(27\div81=\frac{1}{3}\) है। परीक्षा में घटती गुणोत्तर श्रेणी में अनुपात भिन्न हो सकता है। / The ratio of consecutive terms is \(27\div81=\frac{1}{3}\). In exams, a decreasing geometric progression can have a fractional ratio.
दूसरा पद \(4\times2=8\) होगा। परीक्षा में अगले पद के लिए सामान्य अनुपात से गुणा करें। / The second term is \(4\times2=8\). In exams, multiply by the common ratio to get the next term.
हर बार (2) से गुणा हो रहा है, इसलिए अगला पद \(40\times2=80\) है। परीक्षा में पहले सामान्य अनुपात पहचानें। / Each term is multiplied by (2), so the next term is \(40\times2=80\). In exams, first identify the common ratio.
लगातार पदों का अनुपात \(6\div2=3\) है। परीक्षा में दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / The ratio of consecutive terms is \(6\div2=3\). In exams, divide the second term by the first term.
(S_n=\frac{n}{2}[14+6(n-1)]) में (n=11) रखने पर (407) और (n=12) रखने पर (480) मिलता है, इसलिए कोई विकल्प (539) नहीं देता। परीक्षा में विकल्प रखकर जाँच करें। / In (S_n=\frac{n}{2}[14+6(n-1)]), (n=11) gives (407) and (n=12) gives (480), so no option gives (539). In exams, check by substituting options.
\(a_5=48\) और \(a_8=75\), इसलिए योग (123) है। परीक्षा में दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_5=48\) and \(a_8=75\), so the sum is (123). In exams, find both terms separately and add them.
(24+(n-1)(-5)=-11) से (n=8) है। परीक्षा में ऋणात्मक पदों के लिए भी वही सूत्र लगाएँ। / From (24+(n-1)(-5)=-11), (n=8). In exams, use the same formula even for negative terms.
\(S_{25}=\frac{25}{2}[24+24\times6]=2100\) है। परीक्षा में (n=25) के लिए ((n-1)=24) लें। / \(S_{25}=\frac{25}{2}[24+24\times6]=2100\). In exams, take ((n-1)=24) for (n=25).
(39=4+5d) से (d=7), इसलिए \(a_{10}=4+9\times7=67\) है। परीक्षा में पहले अंतर निकालें। / From (39=4+5d), (d=7), so \(a_{10}=4+9\times7=67\). In exams, find the difference first.
(27+(n-1)8=123) से (n=13) है। परीक्षा में (n-1) को अलग करके पद संख्या निकालें। / From (27+(n-1)8=123), (n=13). In exams, isolate (n-1) to find the term number.
\(a_6=46\) और \(a_{10}=74\), इसलिए योग (120) है। परीक्षा में दोनों पदों में सही (n) रखें। / \(a_6=46\) and \(a_{10}=74\), so the sum is (120). In exams, substitute the correct (n) in both terms.
