हर बार (2) से गुणा हो रहा है इसलिए अगला पद \(56\times2=112\) है। परीक्षा में पहले सामान्य अनुपात पहचानें। / Each term is multiplied by (2) so the next term is \(56\times2=112\). In exams first identify the common ratio.
लगातार पदों का अनुपात \(12\div4=3\) है। परीक्षा में दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / The ratio of consecutive terms is \(12\div4=3\). In exams divide the second term by the first term.
पहला पद (4) है और हर बार (3) से गुणा हो रहा है। परीक्षा में पहला पद और अनुपात दोनों मिलाएँ। / The first term is (4), and each term is multiplied by (3). In exams, match both the first term and the ratio.
सामान्य अनुपात (3) है, इसलिए पाँचवाँ पद \(405\times3=1215\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (3), so the fifth term is \(405\times3=1215\). In exams, multiply the last known term by the ratio.
मध्य पद का वर्ग \(6\times54=324\) है, इसलिए धनात्मक (x=18) है। परीक्षा में तीन पदों वाली गुणोत्तर श्रेणी में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / The square of the middle term is \(6\times54=324\), so the positive (x=18). In exams, for three GP terms, the square of the middle term equals the product of the outer terms.
पहला पद (20) और अनुपात \(\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में सही भिन्न अनुपात रखें। / The first term is (20) and the ratio is \(\frac{1}{2}\). In exams, put the correct fractional ratio in \(ar^{n-1}\).
यह \(2^n\) के रूप में है, इसलिए दसवाँ पद \(2^{10}=1024\) है। परीक्षा में घात पहचानकर जल्दी हल करें। / This is of the form \(2^n\), so the tenth term is \(2^{10}=1024\). In exams, identify powers to solve quickly.
(64,16,4,1) में हर बार \(\frac{1}{4}\) से गुणा होता है। परीक्षा में घटती गुणोत्तर श्रेणी का अनुपात भिन्न लिखें। / In (64,16,4,1), each term is multiplied by \(\frac{1}{4}\). In exams, write the ratio of a decreasing geometric progression as a fraction.
(r=3) है, इसलिए \(a_5=324\times3=972\) है। परीक्षा में (n-1) बार अनुपात से गुणा करें। / (r=3), so \(a_5=324\times3=972\). In exams, multiply by the ratio (n-1) times.
सूत्र \(a_n=4\cdot2^{n-1}\) में (2) ही सामान्य अनुपात है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (r) पहचानें। / In the formula \(a_n=4\cdot2^{n-1}\), (2) is the common ratio. In exams, identify (r) in \(ar^{n-1}\).
(27) और (81) का अनुपात (3) है, इसलिए रिक्त पद \(27\div3=9\) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी सामान्य अनुपात लगाएँ। / The ratio of (27) and (81) is (3), so the missing term is \(27\div3=9\). In exams, apply the common ratio backward too.
सामान्य अनुपात (1) होने पर सभी पद (11) रहेंगे। परीक्षा में (r=1) का मतलब स्थिर गुणोत्तर श्रेणी है। / When the common ratio is (1), all terms remain (11). In exams, (r=1) means a constant geometric progression.
लगातार पद समान हैं, इसलिए अनुपात \(5\div5=1\) है। परीक्षा में स्थिर शून्येतर श्रेणी भी गुणोत्तर श्रेणी हो सकती है। / Consecutive terms are equal, so the ratio is \(5\div5=1\). In exams, a non-zero constant sequence can also be a geometric progression.
दूसरे पद और पहले पद का अनुपात \(3x\div x=3\) है। परीक्षा में बीजीय पदों में भी भाग करें। / The ratio of the second term to the first term is \(3x\div x=3\). In exams, divide even with algebraic terms.
सामान्य अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए पाँचवाँ पद \(25\times\frac{1}{2}=\frac{25}{2}\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात ध्यान से लगाएँ। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\), so the fifth term is \(25\times\frac{1}{2}=\frac{25}{2}\). In exams, apply fractional ratios carefully.
(3,6,12,24) में लगातार अनुपात (2) है। परीक्षा में विकल्पों में समान अनुपात खोजें। / In (3,6,12,24), the consecutive ratio is (2). In exams, look for equal ratios in the options.
सामान्य अनुपात (2) है, इसलिए अगला पद \(72\times2=144\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद में अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (2), so the next term is \(72\times2=144\). In exams, multiply the last known term by the ratio.
सामान्य अनुपात \(a_2\div a_1=18\div6=3\) है। परीक्षा में दो लगातार पदों का अनुपात लें। / The common ratio is \(a_2\div a_1=18\div6=3\). In exams, take the ratio of two consecutive terms.
पद (4,8,16,32,64) हैं, इसलिए (64) पाँचवाँ पद है। परीक्षा में पहला पद भी गिनें। / The terms are (4,8,16,32,64), so (64) is the fifth term. In exams, count the first term too.
पहला पद (1) है और अनुपात \(5\div1=5\) है। परीक्षा में (a) और (r) अलग-अलग पहचानें। / The first term is (1), and the ratio is \(5\div1=5\). In exams, identify (a) and (r) separately.
\(a_4=16\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3=2\) है। परीक्षा में (n-1) वाले घातांक को सही रखें। / \(a_4=16\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3=2\). In exams, keep the exponent (n-1) correct.
पहला पद (27) और अनुपात \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए (a_n=27\cdot\left\(\frac{1}{3}\right\)^{n-1}) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में भिन्न अनुपात लगाएँ। / The first term is (27) and the ratio is \(\frac{1}{3}\), so (a_n=27\cdot\left\(\frac{1}{3}\right\)^{n-1}). In exams, use the fractional ratio in a decreasing sequence.
हर बार (5) से गुणा करने पर (2,10,50,250) मिलते हैं। परीक्षा में पहला पद न बदलें। / Multiplying by (5) each time gives (2,10,50,250). In exams, do not change the first term.
A. हाँ, सामान्य अनुपात (2) है/Yes, common ratio is (2)
Explanation
Simple Explanation
हर लगातार पद का अनुपात (2) है। परीक्षा में समान अनुपात दिखे तो गुणोत्तर श्रेणी मानें। / Each consecutive term has ratio (2). In exams, if equal ratio appears, treat it as a geometric progression.
पाँचवाँ पद (486) और छठा पद (1458) नहीं; दिए चार पदों के बाद पाँचवाँ (486) है। परीक्षा में पद संख्या गिनते समय पहला पद शामिल करें। / The fifth term is (486), not the sixth; the asked term should be counted carefully. In exams, include the first term while counting.
लगातार पदों का अनुपात \(16\div32=\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में घटती गुणोत्तर श्रेणी में भिन्न अनुपात लिखें। / The ratio of consecutive terms is \(16\div32=\frac{1}{2}\). In exams, write the fractional ratio for a decreasing geometric progression.
सामान्य अनुपात (5) है, इसलिए रिक्त पद \(50\times5=250\) है। परीक्षा में समान अनुपात जारी रखें। / The common ratio is (5), so the missing term is \(50\times5=250\). In exams, continue the same ratio.
