Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]) से \(S_{20}=1390\) मिलता है। ((n-1)d) की गणना ध्यान से करें। / Using (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]), we get \(S_{20}=1390\). Calculate ((n-1)d) carefully.
अठारहवाँ पद (92) है, इसलिए (S_{18}=\frac{18}{2}(7+92)=891)। अंतिम पद सही निकालना मुख्य चरण है। / The eighteenth term is (92), so (S_{18}=\frac{18}{2}(7+92)=891). Finding the last term correctly is the key step.
बारहवाँ पद (98) है, इसलिए (S_{12}=\frac{12}{2}(10+98)=648)। योग में पहले और अंतिम पद का औसत उपयोगी है। / The twelfth term is (98), so (S_{12}=\frac{12}{2}(10+98)=648). The average of the first and last terms is useful in sums.
\(\frac{35\times36}{2}=630\), इसलिए योग (630) है। (n(n+1)) को (2) से भाग दें। / \(\frac{35\times36}{2}=630\), so the sum is (630). Divide (n(n+1)) by (2).
(S_7=\frac{7}{2}(31+13)=154)। पहला पद बड़ा और अंतिम पद छोटा हो सकता है। / (S_7=\frac{7}{2}(31+13)=154). The first term can be larger and the last term smaller.
चौदहवाँ पद (61) है, इसलिए (S_{14}=\frac{14}{2}(22+61)=581)। अंतिम पद की सही गणना से योग सही मिलता है। / The fourteenth term is (61), so (S_{14}=\frac{14}{2}(22+61)=581). Correct calculation of the last term gives the correct sum.
यह (9) के पहले (8) गुणजों का योग है, इसलिए \(9\times36=324\)। (a=d) हो तो गुणज वाला तरीका तेज है। / This is the sum of the first (8) multiples of (9), so \(9\times36=324\). If (a=d), the multiples method is faster.
पहले (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है, इसलिए \(16^2=256\)। यह सूत्र याद रखने योग्य है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(16^2=256\). This formula is worth remembering.
यह (7) के पहले (9) गुणजों का योग है, इसलिए \(7\times45=315\)। शेल्फों की संख्या को पदों की संख्या मानें। / This is the sum of the first (9) multiples of (7), so \(7\times45=315\). Treat the number of shelves as the number of terms.
दसवाँ पद (30) है, इसलिए (S_{10}=\frac{10}{2}(75+30)=525)। घटते क्रम में भी \(S_n\) का सूत्र नहीं बदलता। / The tenth term is (30), so (S_{10}=\frac{10}{2}(75+30)=525). The formula for \(S_n\) does not change in decreasing order.
(310=\frac{10}{2}(a+49)) से (a=13)। योग सूत्र को उल्टा लगाना भी परीक्षा में आता है। / From (310=\frac{10}{2}(a+49)), (a=13). Using the sum formula in reverse also appears in exams.
यह (16) के पहले (6) गुणजों का योग है, इसलिए \(16\times21=336\)। गुणजों में \(1+2+\cdots+n\) का उपयोग करें। / This is the sum of the first (6) multiples of (16), so \(16\times21=336\). For multiples, use \(1+2+\cdots+n\).
पाँचवें से नौवें पदों का योग \(S_9-S_4=145\) है। दिए गए आंशिक योगों को घटाकर उत्तर लें। / The sum of the (5)th to (9)th terms is \(S_9-S_4=145\). Subtract the given partial sums to get the answer.
सातवाँ पद (53) है, इसलिए (S_7=\frac{7}{2}(5+53)=203)। विषम पदों में मध्य पद से भी जाँच सकते हैं। / The seventh term is (53), so (S_7=\frac{7}{2}(5+53)=203). With an odd number of terms, you can also check using the middle term.
औसत \(=\frac{198}{9}=22\)। योग को पदों की संख्या से भाग देने पर औसत मिलता है। / Average \(=\frac{198}{9}=22\). Dividing the sum by the number of terms gives the average.
बारहवाँ पद (50) है, इसलिए (S_{12}=\frac{12}{2}(17+50)=402)। अंतिम पद निकालकर \(S_n\) लगाएँ। / The twelfth term is (50), so (S_{12}=\frac{12}{2}(17+50)=402). Find the last term and apply \(S_n\).
पहले (21) सम संख्याओं का योग \(21\times22=462\) है। सम संख्याओं के लिए (n(n+1)) प्रयोग करें। / The sum of the first (21) even numbers is \(21\times22=462\). Use (n(n+1)) for even numbers.
(S_{15}=\frac{15}{2}(14+84)=735)। पहले और अंतिम पद का औसत लेकर (n) से गुणा करें। / (S_{15}=\frac{15}{2}(14+84)=735). Take the average of the first and last terms and multiply by (n).
अठारहवाँ पद (86) है, इसलिए (S_{18}=\frac{18}{2}(1+86)=783)। (n-1) अंतरों की संख्या होती है। / The eighteenth term is (86), so (S_{18}=\frac{18}{2}(1+86)=783). There are (n-1) common differences.
दसवाँ पद (51) है, इसलिए कुल (S_{10}=\frac{10}{2}(6+51)=285) पौधे होंगे। वास्तविक स्थितियों में भी योग सूत्र वही रहता है। / The tenth term is (51), so the total is (S_{10}=\frac{10}{2}(6+51)=285) plants. The same sum formula works in real situations.
\(S_{10}=\frac{10}{2}[24+72]=480\)। कोष्ठक के अंदर की गणना पहले करें। / \(S_{10}=\frac{10}{2}[24+72]=480\). Do the calculation inside the bracket first.
यह (8) के पहले (11) गुणजों का योग है, इसलिए \(8\times66=528\)। गुणजों में प्राकृतिक संख्याओं के योग का उपयोग करें। / This is the sum of the first (11) multiples of (8), so \(8\times66=528\). For multiples, use the sum of natural numbers.
(S_{16}=\frac{16}{2}(11+71)=656)। पहला और अंतिम पद मिले हों तो छोटा सूत्र लगाएँ। / (S_{16}=\frac{16}{2}(11+71)=656). If the first and last terms are given, use the shorter formula.
यह (5) के पहले (9) गुणजों का योग है, इसलिए \(5\times45=225\)। शब्द-प्रश्न में स्तरों को पद मानें। / This is the sum of the first (9) multiples of (5), so \(5\times45=225\). In word problems, treat levels as terms.
सोलहवाँ पद (88) है, इसलिए (S_{16}=\frac{16}{2}(13+88)=808)। बड़े (n) में अंतिम पद पहले निकालें। / The sixteenth term is (88), so (S_{16}=\frac{16}{2}(13+88)=808). For larger (n), find the last term first.
औसत \(=\frac{126}{6}=21\)। योग और पदों की संख्या से औसत तुरंत मिल जाता है। / Average \(=\frac{126}{6}=21\). The average is found directly from the sum and number of terms.
सातवाँ पद (30) है, इसलिए (S_7=\frac{7}{2}(60+30)=315)। घटती श्रेणी में भी वही योग सूत्र लगता है। / The seventh term is (30), so (S_7=\frac{7}{2}(60+30)=315). The same sum formula works for a decreasing progression.
छठे से ग्यारहवें पदों का योग \(S_{11}-S_5=177\) है। आंशिक योगों का अंतर सीधे उत्तर देता है। / The sum of the (6)th to (11)th terms is \(S_{11}-S_5=177\). The difference of partial sums gives the answer directly.
तेरहवाँ पद (86) है, इसलिए (S_{13}=\frac{13}{2}(2+86)=572)। अंतिम पद निकालते समय ((n-1)d) का उपयोग करें। / The thirteenth term is (86), so (S_{13}=\frac{13}{2}(2+86)=572). Use ((n-1)d) when finding the last term.
यहाँ (a=200), (d=50), (n=8) है, इसलिए कुल (3000) रुपये होंगे। राशि वाले प्रश्न में इकाई भी लिखें। / Here (a=200), (d=50), and (n=8), so the total is (3000) rupees. In money questions, keep the unit in mind.
