समांतर श्रेणी में क्रमागत पदों के अंतर समान होते हैं। यहाँ पहला अंतर
\((2k+3)-(k+7)=k-4\) और दूसरा अंतर \((4k-5)-(2k+3)=2k-8\) है। अतः \(k-4=2k-8\), जिससे \(k=4\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प C सही है। उदाहरण के लिए, \(k=3\) रखने पर दोनों अंतर समान नहीं होंगे। परीक्षा टिप: तीन पदों के AP होने की जाँच के लिए हमेशा पहला अंतर दूसरे अंतर के बराबर रखें। / In an arithmetic progression, the differences between consecutive terms must be equal. Here, the first difference is \((2k+3)-(k+7)=k-4\), and the second difference is \((4k-5)-(2k+3)=2k-8\). Thus, \(k-4=2k-8\), which gives \(k=4\). Therefore, option C is correct. For instance, at \(k=3\), the two differences are not equal. Exam tip: For three terms to form an AP, equate the first and second consecutive differences.
समांतर श्रेणी में क्रमागत पदों के अंतर बराबर होते हैं। पहला अंतर \((s+3)-\frac{s}{2}=\frac{s}{2}+3\) और दूसरा अंतर \((3s-1)-(s+3)=2s-4\) है। अतः \(\frac{s}{2}+3=2s-4\), जिससे \(s=\frac{14}{3}\) मिलता है। \(8\) लेने पर दोनों अंतर बराबर नहीं आते। परीक्षा टिप: तीन पदों की समांतर श्रेणी जाँचने के लिए पहले और दूसरे अंतर को बराबर करें। / In an arithmetic progression, the differences between consecutive terms are equal. The first difference is \((s+3)-\frac{s}{2}=\frac{s}{2}+3\), and the second is \((3s-1)-(s+3)=2s-4\). Thus, \(\frac{s}{2}+3=2s-4\), which gives \(s=\frac{14}{3}\). If \(s=8\), the two differences are not equal. Exam tip: For three terms in an AP, equate the first and second differences.
अंकगणितीय श्रेणी में सार्व अंतर क्रमागत पदों का अंतर होता है। यहाँ \((r-1)-(r-6)=5\) तथा \((r+4)-(r-1)=5\) है। दोनों अंतरों का मान समान होने से \(d=5\) है। \(r+5\) अगला पद बनाने का व्यंजक हो सकता है, पर वह सार्व अंतर नहीं है। परीक्षा टिप: दो क्रमागत पदों का घटाव करके \(d\) ज्ञात करें। / In an arithmetic progression, the common difference is the difference between consecutive terms. Here, \((r-1)-(r-6)=5\) and \((r+4)-(r-1)=5\). Since both differences are equal, \(d=5\). \(r+5\) may describe a term expression, but it is not the common difference. Exam tip: subtract any term from the next term to find \(d\).
A. कथन सही है; सार्वांतर 3 है।/The claim is correct; the common difference is 3.
Explanation
Simple Explanation
क्रमागत अंतर हैं: 15−12=3, 18−15=3 और 21−18=3। सभी अंतर समान होने से यह AP है और सार्वांतर 3 है। परीक्षा में हर दो क्रमागत पदों का अंतर जाँचें। / The consecutive differences are 15−12=3, 18−15=3, and 21−18=3. Since all differences are equal, it is an AP with common difference 3. Exam tip: compare consecutive terms first.
D. यह AP नहीं है क्योंकि क्रमागत अंतर 4, 4 और 5 हैं।/It is not an AP because the consecutive differences are 4, 4, and 5.
Explanation
Simple Explanation
AP में प्रत्येक क्रमागत पदों का अंतर समान होना चाहिए। यहाँ 9−5=4, 13−9=4, लेकिन 18−13=5 है, इसलिए यह AP नहीं है। परीक्षा में सभी अंतर जाँचें, केवल पहले दो नहीं। / In an AP, the difference between every pair of consecutive terms must be the same. Here, 9−5=4 and 13−9=4, but 18−13=5, so it is not an AP. Exam tip: check every consecutive difference, not just the first two.
अंकगणितीय श्रेणी का सार्व अंतर लगातार दो पदों का अंतर होता है। यहाँ दूसरा पद और पहला पद का अंतर \((8+s)-8=s\) है। इसी प्रकार \((8+2s)-(8+s)=s\) भी मिलता है, इसलिए सार्व अंतर \(s\) है। \(2s\) तीसरे पद में जोड़ा गया कुल भाग है, दो क्रमागत पदों का अंतर नहीं। परीक्षा टिप: सार्व अंतर ज्ञात करने के लिए हमेशा अगला पद − पिछला पद करें। / The common difference of an arithmetic progression is the difference between two consecutive terms. Here, \((8+s)-8=s\). Also, \((8+2s)-(8+s)=s\), so the common difference is \(s\). The expression \(2s\) is the total added part in the third term, not the difference between consecutive terms. Exam tip: find the common difference by subtracting the preceding term from the next term.
पहला पद \(t\) और दूसरा पद \(t+9\) है। अतः दूसरे और पहले पद का अंतर \((t+9)-t=9\) होगा। इसलिए सही उत्तर \(9\) है। \(t+9\) दूसरा पद है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: AP में सार्वांतर \(d=a_2-a_1\) से निकालें। / The first term is \(t\) and the second term is \(t+9\). Therefore, their difference is \((t+9)-t=9\). Hence, \(9\) is the correct answer. \(t+9\) is the second term, not the difference. Exam tip: In an AP, find the common difference using \(d=a_2-a_1\).
समांतर श्रेढ़ी का सार्व अंतर किसी पद में उसके ठीक पहले वाले पद को घटाने पर मिलता है। यहाँ \((a+1)-(a-2)=a+1-a+2=3\) है। इसी प्रकार \((a+4)-(a+1)=3\) भी है, इसलिए सार्व अंतर \(3\) है। \(a+3\) अगला पद हो सकता है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: चर वाले पदों में घटाते समय कोष्ठक खोलकर चिन्हों का ध्यान रखें। / The common difference of an AP is found by subtracting a term from the term immediately after it. Here, \((a+1)-(a-2)=a+1-a+2=3\). Also, \((a+4)-(a+1)=3\), so the common difference is \(3\). \(a+3\) could represent a term, not the difference. Exam tip: When subtracting algebraic expressions, use brackets carefully to handle signs correctly.
विकल्प B में क्रमागत पदों का अंतर समान है: \(0.5-0.25=0.25\), \(0.75-0.5=0.25\) और \(1.0-0.75=0.25\)। अतः यह \(d=0.25\) वाली समांतर श्रेढ़ी है। विकल्प A का सार्वांतर \(0.5\) है, जबकि विकल्प C में अंतर समान नहीं है। परीक्षा टिप: AP पहचानने के लिए हर दो क्रमागत पदों का अंतर जाँचें। / In option B, the difference between consecutive terms is constant: \(0.5-0.25=0.25\), \(0.75-0.5=0.25\), and \(1.0-0.75=0.25\). Therefore, it is an AP with \(d=0.25\). Option A has common difference \(0.5\), while option C does not have a constant difference. Exam tip: To identify an AP, check the difference between every pair of consecutive terms.
क्रमागत पदों का अंतर समान है: \(57-64=-7\), इसलिए यह एक समान्तर श्रेणी है जिसका सार्वांतर \(d=-7\) है। चौथा पद 43 है, अतः पाँचवाँ पद \(43-7=36\) होगा। 37 प्राप्त होता यदि अंतर \(-6\) माना जाता, जो दिए गए पदों से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: अगले पद के लिए पिछले पद में सार्वांतर जोड़ें। / The difference between consecutive terms is constant: \(57-64=-7\). Hence, this is an AP with common difference \(d=-7\). Since the fourth term is 43, the fifth term is \(43-7=36\). Option 37 would result from incorrectly using a common difference of \(-6\). Exam tip: To find the next term of an AP, add the common difference to the preceding term.
इस क्रम में क्रमागत पदों का अंतर समान है: \(22-18=4\), \(26-22=4\) और \(30-26=4\)। अतः यह एक समान्तर श्रेणी है और इसका सार्व अंतर \(4\) है। \(2\) केवल एक संभावित संख्या है, लेकिन वह किसी भी दो क्रमागत पदों का अंतर नहीं है। परीक्षा टिप: सार्व अंतर ज्ञात करने के लिए दूसरे पद में से पहला पद घटाएँ। / The difference between consecutive terms is the same: \(22-18=4\), \(26-22=4\), and \(30-26=4\). Hence, this is an arithmetic progression with common difference \(4\). Although \(2\) is a possible number, it is not the difference between any two consecutive terms here. Exam tip: To find the common difference, subtract the first term from the second term.
सार्व अंतर ज्ञात करने के लिए किसी पद में से उसके ठीक पहले वाला पद घटाते हैं। यहाँ \((2k+3)-2k=3\) और \((2k+6)-(2k+3)=3\) है। इसलिए प्रत्येक क्रमागत पद के बीच का अंतर \(3\) है। \(2k+3\) दूसरा पद है, सार्व अंतर नहीं। परीक्षा टिप: AP में कम-से-कम दो क्रमागत पदों का अंतर जाँचकर उसे समान होने की पुष्टि करें। / To find the common difference, subtract a term from the term immediately after it. Here, \((2k+3)-2k=3\) and \((2k+6)-(2k+3)=3\). Thus, the difference between every pair of consecutive terms is \(3\). \(2k+3\) is the second term, not the common difference. Exam tip: In an AP, check the differences of at least two consecutive pairs of terms to confirm that they are equal.
समांतर श्रेणी में सार्व अंतर दो क्रमागत पदों का अंतर होता है। यहाँ \((x+4)-x=4\) तथा \((x+8)-(x+4)=4\) है, इसलिए सार्व अंतर \(4\) है। \(8\) पहला और तीसरा पद के बीच का अंतर है, इसलिए वह सार्व अंतर नहीं है। परीक्षा टिप: हमेशा क्रमागत पदों को घटाकर सार्व अंतर ज्ञात करें। / In an arithmetic progression, the common difference is the difference between consecutive terms. Here, \((x+4)-x=4\) and \((x+8)-(x+4)=4\), so the common difference is \(4\). \(8\) is the difference between the first and third terms, not between consecutive terms. Exam tip: subtract consecutive terms to find the common difference.
विकल्प A में क्रमागत पदों का अंतर समान है: 9 − 4 = 5, 14 − 9 = 5 और 19 − 14 = 5। इसलिए यह AP है। अन्य विकल्पों में अंतर बदलता है। परीक्षा में लगातार दो अंतरों की जाँच करें। / In option A, consecutive differences are equal: 9 − 4 = 5, 14 − 9 = 5, and 19 − 14 = 5. Hence it is an AP. The differences change in the other options. Exam tip: check at least two consecutive differences.
B. यह AP है, क्योंकि प्रत्येक क्रमागत अंतर (-4 ) है।/It is an AP because each consecutive difference is (-4 ).
Explanation
Simple Explanation
यह AP है क्योंकि 11−15=−4, 7−11=−4 और 3−7=−4। सार्वांतर ऋणात्मक होने पर पद घटते हैं, पर AP बनी रहती है। परीक्षा में क्रमागत पदों का अंतर जाँचें। / This is an AP since 11−15=−4, 7−11=−4, and 3−7=−4. A negative common difference makes terms decrease but does not stop it from being an AP. Exam tip: compare consecutive differences.
अनुक्रम \(11,11,11,11,\ldots\) में प्रत्येक अगला पद पिछले पद के बराबर है। अतः सार्व अंतर \(d=11-11=0\) है। विकल्प B में सार्व अंतर \(-5\) है, इसलिए वह शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी AP का सार्व अंतर ज्ञात करने के लिए दूसरे पद में से पहला पद घटाइए। / In the sequence \(11,11,11,11,\ldots\), every term is equal to the preceding term. Therefore, the common difference is \(d=11-11=0\). Option B has common difference \(-5\), not zero. Exam tip: To find the common difference of an AP, subtract the first term from the second term.
इस अनुक्रम में क्रमागत पदों के अंतर हैं: \(22-11=11\), \(33-22=11\) और \(44-33=11\)। चूँकि प्रत्येक क्रमागत पद का अंतर समान है, यह समांतर श्रेणी है। गुणोत्तर श्रेणी में क्रमागत पदों का अनुपात समान होता है, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: AP पहचानने के लिए पहले दो या तीन क्रमागत अंतरों की जाँच करें। / The consecutive differences are \(22-11=11\), \(33-22=11\), and \(44-33=11\). Since the difference between every pair of consecutive terms is constant, the sequence is an arithmetic progression. A geometric progression requires a constant ratio between consecutive terms, which is not the case here. Exam tip: To identify an AP, check whether two or three consecutive differences are equal.
35 से 30 और 30 से 25 प्राप्त करने के लिए हर बार 5 घटाया जाता है। इसलिए प्रत्येक पद पिछले पद से 5 कम है। इस अनुक्रम का सार्व अंतर \(d=-5\) है; \(-5\) अंतर का चिह्न है, जबकि प्रश्न में ‘कितना कम’ पूछा गया है, इसलिए उत्तर 5 होगा। परीक्षा टिप: घटते हुए AP में सार्व अंतर ऋणात्मक होता है। / From 35 to 30 and from 30 to 25, 5 is subtracted each time. Therefore, each term is 5 less than the preceding term. The common difference is \(d=-5\); the negative sign shows decrease, whereas the question asks how much less, so the answer is 5. Exam tip: In a decreasing AP, the common difference is negative.
