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धसान नदी बुंदेलखंड क्षेत्र में बेतवा और केन जैसी नदियों के साथ जुड़ी है। परीक्षा में बुंदेलखंड की नदियों को यमुना की सहायक प्रणाली से जोड़ें। / The Dhasan River is associated with the Bundelkhand region along with rivers such as Betwa and Ken. For exams, link Bundelkhand rivers with the Yamuna tributary system.
A. कितना गहरा मान चाहिए और विवरण दबेगा या नहीं/How dark value is needed and whether details will be suppressed
Explanation
Simple Explanation
अधिक रेखाएं गहराई के साथ भारीपन भी ला सकती हैं। परीक्षा में shading में control रखें। / More lines can bring darkness and heaviness. Exam tip: keep control in shading.
B. कृष्णा में भीमा तुंगभद्रा और कावेरी में कबिनी भवानी याद रखना/Remember Bhima Tungabhadra with Krishna and Kabini Bhavani with Kaveri
Explanation
Simple Explanation
भीमा तुंगभद्रा कृष्णा से और कबिनी भवानी कावेरी से जुड़ी हैं। परीक्षा में सहायक नदी के आधार पर पहचान करें। / Bhima Tungabhadra are linked with Krishna and Kabini Bhavani with Kaveri. For exams identify systems by tributaries.
A. सिंधु, गंगा और ब्रह्मपुत्र/Indus, Ganga and Brahmaputra
Explanation
Simple Explanation
उत्तरी मैदान सिंधु, गंगा और ब्रह्मपुत्र प्रणालियों के जलोढ़ से बने हैं। परीक्षा में इन तीनों को उत्तरी मैदान की आधार रेखा मानें। / The Northern Plains are formed by the alluvium of the Indus, Ganga and Brahmaputra systems. Exam tip: treat these three as the base of the Northern Plains.
B. सिंधु गंगा और ब्रह्मपुत्र/Indus Ganga and Brahmaputra
Explanation
Simple Explanation
उत्तरी मैदान सिंधु गंगा और ब्रह्मपुत्र तंत्रों के जलोढ़ निक्षेपों से बने हैं। परीक्षा में तीनों नदी तंत्र याद रखें। / Northern Plains are formed from alluvial deposits of Indus Ganga and Brahmaputra systems. For exams remember all three river systems.
C. वे दो नदियों के बीच की जलोढ़ भूमि बताते हैं/They show alluvial land between two rivers
Explanation
Simple Explanation
दोआब दो नदियों के बीच की उपजाऊ जलोढ़ भूमि है। परीक्षा में गंगा यमुना दोआब को उदाहरण मानें। / A doab is fertile alluvial land between two rivers. For exams take Ganga Yamuna Doab as an example.
उत्तरी मैदान सिंधु गंगा और ब्रह्मपुत्र नदी तंत्रों के निक्षेप से बने हैं। परीक्षा में इन तीनों तंत्रों को साथ याद रखें। / Northern Plains are formed by deposits of the Indus Ganga and Brahmaputra systems. For exams remember these three systems together.
उत्तरी मैदान सिंधु गंगा और ब्रह्मपुत्र नदी तंत्र के जलोढ़ निक्षेप से बने हैं। परीक्षा में नदी तंत्र याद रखें। / Northern Plains are formed by alluvial deposits of Indus Ganga and Brahmaputra systems. For exams remember the river systems.
A. वे कई बार अंतर्देशीय निकास दिखाती हैं/They often show inland drainage
Explanation
Simple Explanation
लूनी जैसी मरुस्थलीय नदियां समुद्र तक स्पष्ट रूप से नहीं पहुंचतीं और अंतर्देशीय निकास दिखाती हैं। परीक्षा में मरुस्थलीय जल निकास याद रखें। / Desert rivers like Luni do not clearly reach the sea and show inland drainage. For exams remember desert drainage.
A. भूमिगत और गुरुत्व आधारित पारंपरिक जल वितरण/Underground and gravity based traditional water distribution
Explanation
Simple Explanation
अफ्लाज प्रणालियां शुष्क क्षेत्र में पारंपरिक जल साझेदारी और सिंचाई को दिखाती हैं। परीक्षा में ओमान याद रखें। / Aflaj systems show traditional water sharing and irrigation in arid areas. For exams remember Oman.
C. समुद्री तट वर्षावन और पर्वतीय पारिस्थितिकी/Coast rainforest and mountain ecosystems
Explanation
Simple Explanation
ओलिम्पिक राष्ट्रीय उद्यान में तटीय वन और पर्वतीय जैव विविधता साथ मिलती है। परीक्षा में पारिस्थितिक विविधता याद रखें। / Olympic National Park combines coastal forests and mountain biodiversity. For exams remember ecological diversity.
A. वे संगठन निगरानी गिरफ्तारी और दमन को अधिक व्यवस्थित बनाते थे/They made surveillance arrests and repression more systematic
Explanation
Simple Explanation
निगरानी औपनिवेशिक नियंत्रण का महत्वपूर्ण साधन थी। परीक्षा में दमन और प्रतिरोध साथ पढ़ें। / Surveillance was an important tool of colonial control. For exams study repression and resistance together.
B. ऋण ब्याज और नकदी फसल दबाव के चक्र में फंसाकर/By trapping them in cycles of debt interest and cash crop pressure
Explanation
Simple Explanation
ऋण और कर किसान को बाजार और साहूकार पर निर्भर कर सकते थे। परीक्षा में ग्रामीण ऋणग्रस्तता याद रखें। / Debt and tax could make peasants dependent on market and moneylenders. For exams remember rural indebtedness.
A. मंडेट में नियंत्रण मजबूत था जबकि ट्रस्टीशिप में स्वशासन की दिशा अधिक स्पष्ट हुई/Mandate had stronger control while trusteeship made direction toward self government clearer
Explanation
Simple Explanation
तुलना से अंतरराष्ट्रीय निगरानी और स्वशासन का बदलता विचार समझ आता है। परीक्षा में राष्ट्र संघ और संयुक्त राष्ट्र जोड़ें। / Comparison explains changing ideas of international supervision and self government. For exams connect League of Nations and UN.
A. श्रम नियंत्रण के नए वैधानिक रूप/New legal forms of labour control
Explanation
Simple Explanation
दासता समाप्त होने के बाद भी नियंत्रित श्रम के रूप बने रहे। परीक्षा में कैरेबियन और भारतीय अनुबंधित श्रम याद रखें। / Even after abolition of slavery controlled labour forms remained. For exams remember Caribbean and Indian indentured labour.
A. क्योंकि इसने औपनिवेशिक व्यवस्था से अफ्रीकी संप्रभुता की बड़ी ओर संकेत किया/Because it indicated a major move from colonial order to African sovereignty
Explanation
Simple Explanation
उन्नीस सौ साठ अफ्रीकी उपनिवेश मुक्ति की बड़ी लहर का प्रतीक है। परीक्षा में इसे वैश्विक बदलाव से जोड़ें। / 1960 symbolizes a major wave of African decolonization. For exams connect it with global change.
A. विकास नस्लवाद विरोध और उपनिवेशवाद विरोध जैसे मुद्दे मजबूत हुए/Issues like development anti racism and anti colonialism became stronger
Explanation
Simple Explanation
नए देशों ने विश्व मंच पर समानता और विकास की आवाज बढ़ाई। परीक्षा में संयुक्त राष्ट्र और उपनिवेश मुक्ति साथ पढ़ें। / New countries strengthened voice of equality and development on world stage. For exams study UN and decolonization together.
C. उपनिवेशवाद विरोधी और विकासशील देशों की आवाज मजबूत हुई/Anti colonial and developing countries' voice became stronger
Explanation
Simple Explanation
नए देशों ने विश्व मंच पर समानता और विकास के मुद्दे उठाए। परीक्षा में संयुक्त राष्ट्र और उपनिवेश मुक्ति साथ पढ़ें। / New countries raised issues of equality and development on the world stage. For exams study UN and decolonization together.
A. वैश्विक मंच पर आत्मनिर्णय और विकासशील देशों की आवाज मजबूत हुई/Voice of self determination and developing countries strengthened on global stage
Explanation
Simple Explanation
नए देशों ने विश्व राजनीति में उपनिवेशवाद विरोध को संस्थागत आवाज दी। परीक्षा में संयुक्त राष्ट्र और उपनिवेश मुक्ति साथ पढ़ें। / New countries gave institutional voice to anti colonialism in world politics. For exams study UN and decolonization together.
A. आर्थिक असुरक्षा ने कट्टर और तानाशाही विकल्पों को आकर्षक बनाया/Economic insecurity made extreme and dictatorial options attractive
Explanation
Simple Explanation
महामंदी ने बेरोजगारी और अस्थिरता बढ़ाकर राजनीति को कट्टर बनाया। परीक्षा में न्यू डील और फासीवाद दोनों याद रखें। / The Great Depression made politics more extreme by increasing unemployment and instability. Exam tip: remember both New Deal and fascism.
A. प्रतिनिधित्व और क्षेत्रीय संतुलन के प्रश्न अधिक मजबूत हुए/Questions of representation and regional balance became stronger
Explanation
Simple Explanation
नए देशों ने पुराने युद्धोत्तर ढांचे की प्रतिनिधिकता पर प्रश्न उठाए। परीक्षा में सुधार बहस को बदलती सदस्यता से जोड़ें। / New countries questioned the representativeness of the old post war structure. For exams connect reform debate with changing membership.
C. वे सत्रह वैश्विक विकास लक्ष्य हैं/They are seventeen global development goals
Explanation
Simple Explanation
सतत विकास लक्ष्य सत्रह हैं और विकास के कई क्षेत्रों को शामिल करते हैं। परीक्षा में संख्या और उद्देश्य साथ याद रखें। / There are seventeen Sustainable Development Goals and they cover many areas of development. Exam tip: remember the number and aim together.
A. उपनिवेशवाद विरोध और आर्थिक न्याय का विमर्श/Discourse of anti colonialism and economic justice
Explanation
Simple Explanation
नए स्वतंत्र देशों ने महासभा में विकास और आत्मनिर्णय के मुद्दे उठाए। परीक्षा में इसे वैश्विक दक्षिण की आवाज से जोड़ें। / Newly independent countries raised development and self determination issues in the General Assembly. For exams link it with the voice of the Global South.
B. वे सत्रह वैश्विक विकास लक्ष्य हैं/They are seventeen global development goals
Explanation
Simple Explanation
सतत विकास लक्ष्य सत्रह हैं और विकास के कई क्षेत्रों को शामिल करते हैं। परीक्षा में संख्या सत्रह याद रखें। / There are seventeen Sustainable Development Goals and they cover many areas of development. Exam tip: remember the number seventeen.
A. क्योंकि कई उपनिवेश स्वतंत्र देश बनकर संयुक्त राष्ट्र में शामिल हुए/Because many colonies became independent countries and joined the UN
Explanation
Simple Explanation
स्वतंत्रता आंदोलनों के बाद एशिया और अफ्रीका के कई देश सदस्य बने। परीक्षा में डिकॉलोनाइजेशन को सदस्यता विस्तार से जोड़ें। / After independence movements many Asian and African countries became members. For exams connect decolonization with membership expansion.
A. पोलैंड बाद में चार्टर पर हस्ताक्षर कर मूल सदस्य माना गया/Poland signed later and was counted as an original member
Explanation
Simple Explanation
सैन फ्रांसिस्को में पचास देशों ने हस्ताक्षर किए और पोलैंड बाद में मूल सदस्य बना। परीक्षा में मूल सदस्य संख्या इक्यावन याद रखें। / Fifty countries signed at San Francisco and Poland later became an original member. Exam tip: remember the original member count as 51.
सुरक्षा परिषद में कुल पंद्रह सदस्य होते हैं। परीक्षा में पांच स्थायी और दस अस्थायी सदस्य याद रखें। / The Security Council has a total of 15 members. Exam tip: remember five permanent and ten non-permanent members.
A. आपूर्ति धन श्रम आधार और राजनीतिक परिणामों के रूप में/In terms of supply money labor base and political consequences
Explanation
Simple Explanation
भारत का योगदान सैन्य आर्थिक और राजनीतिक तीनों स्तरों पर था। परीक्षा में उपनिवेशी आयाम को शामिल करें। / India's contribution was military economic and political. For exams include the colonial dimension.
A. विशाल दूरी में सेना को भोजन ईंधन और गोला बारूद पहुंचाना कठिन था/It was difficult to deliver food fuel and ammunition across vast distances
Explanation
Simple Explanation
पूर्वी मोर्चे की विशालता ने रसद को निर्णायक बना दिया। परीक्षा में लड़ाई को केवल मोर्चे पर नहीं आपूर्ति में भी देखें। / The vastness of the Eastern Front made logistics decisive. For exams see war not only at the front but also in supply.
B. ज्ञान और प्रशासनिक अभिलेखों का संरक्षण/Preservation of knowledge and administrative records
Explanation
Simple Explanation
लेखन से कानून व्यापार और ज्ञान के अभिलेख सुरक्षित रहे। परीक्षा में लेखन को राज्य और संस्कृति दोनों से जोड़ें। / Writing preserved records of law trade and knowledge. For exams connect writing with both state and culture.
A. अनियमित वर्षा और जल नियंत्रण/Irregular rainfall and water control
Explanation
Simple Explanation
मेसोपोटामिया में वर्षा सीमित थी इसलिए सिंचाई आवश्यक थी। नहरों से खेती और बसावट को समर्थन मिला। / Rainfall was limited in Mesopotamia so irrigation was necessary. Canals supported farming and settlement.
A. कर व्यापार कानून और भंडार के रिकॉर्ड के कारण/Because of records of taxes trade laws and stores
Explanation
Simple Explanation
जटिल राज्य को कर कानून और संसाधन रिकॉर्ड की जरूरत थी। परीक्षा में लेखन को प्रशासन से जोड़ें। / Complex states needed records of taxes laws and resources. Connect writing with administration in exams.
2024 में पांच व्यक्तियों के नाम भारत रत्न के लिए घोषित हुए। परीक्षा में 2024 की संख्या विशेष रूप से याद रखें। / In 2024 five persons were announced for the Bharat Ratna. Remember the 2024 count especially.
A. नील की बाढ़ अपेक्षाकृत नियमित थी जबकि दजला फरात की बाढ़ अधिक अनिश्चित थी/Nile floods were relatively regular while Tigris Euphrates floods were more unpredictable
Explanation
Simple Explanation
नील की नियमितता ने मिस्र में योजना को सहारा दिया जबकि मेसोपोटामिया में नियंत्रण कठिन था। परीक्षा में नदी स्वभाव और प्रशासन को जोड़ें। / The Nile's regularity supported planning in Egypt while control was harder in Mesopotamia. Link river behaviour with administration.
2024 में पांच व्यक्तियों के नाम घोषित हुए जो इस सूची में सबसे बड़ा समूह है। परीक्षा में 2024 की संख्या विशेष रूप से याद रखें। / In 2024 five names were announced making it the largest group in this list. Remember the 2024 count especially.
A. क्योंकि जल नहरों के लिए सामूहिक श्रम और प्रबंधन चाहिए था/Because canals required collective labour and management
Explanation
Simple Explanation
सिंचाई के लिए श्रम समन्वय और प्रशासन आवश्यक थे। परीक्षा में जल प्रबंधन को राज्य निर्माण से जोड़ें। / Irrigation required labour coordination and administration. Link water management with state formation in exams.
A. नियंत्रण संचार और कर व्यवस्था के लिए/For control, communication and taxation
Explanation
Simple Explanation
सड़क और संदेश व्यवस्था से विशाल साम्राज्य को नियंत्रित करना आसान हुआ। परीक्षा में फारस और रोम याद रखें। / Roads and messenger systems made large empires easier to control. Remember Persia and Rome in exams.
A. कर कानून और व्यापार का रिकॉर्ड रखकर/By recording taxes laws and trade
Explanation
Simple Explanation
लेखन से कर कानून और व्यापारिक रिकॉर्ड व्यवस्थित हुए। परीक्षा में इसे राज्य निर्माण की जरूरत से जोड़ें। / Writing organized records of taxes laws and trade. Connect it with the needs of state formation in exams.
A. वे पहचान और माल चिह्नित करने में सहायक थीं/They helped in identification and marking goods
Explanation
Simple Explanation
हड़प्पाई मुहरें पहचान और व्यापारिक चिह्न के रूप में उपयोगी मानी जाती हैं। परीक्षा में मुहरों को व्यापार और लिपि से जोड़ें। / Harappan seals are considered useful for identification and trade marks. Link seals with trade and script in exams.
एलोरा की गुफा संख्या सोलह प्रसिद्ध कैलाश मंदिर है। परीक्षा में प्रमुख गुफा संख्याएं और स्मारक याद रखें। / Cave number sixteen at Ellora is the famous Kailasa Temple. For exams remember important cave numbers and monuments.
A. क्योंकि इससे औपनिवेशिक नियंत्रण को अस्थायी चुनौती मिलती थी/Because it temporarily challenged colonial control
Explanation
Simple Explanation
सूर्य सेन की योजना औपनिवेशिक हथियार और संचार ढांचे को चुनौती देने की थी। इसे संगठित क्रांतिकारी कार्रवाई से जोड़ें। / Surya Sen's plan aimed to challenge colonial arms and communication structures. Link it with organized revolutionary action.
A. प्रशासन और सैन्य सूचना तेजी से पहुँचने लगी/Administrative and military information could move quickly
Explanation
Simple Explanation
संचार साधनों ने औपनिवेशिक नियंत्रण मजबूत किया। परीक्षा में आधुनिक साधनों के पीछे राजनीतिक उद्देश्य भी याद रखें। / Communication systems strengthened colonial control. Exam tip is to remember the political purpose behind modern facilities.
A. प्रांतीय सरदारों की शक्ति नियंत्रित करना/Controlling the power of provincial nobles
Explanation
Simple Explanation
महमूद गवां ने प्रांतों को छोटा कर केंद्रीय नियंत्रण बढ़ाने की कोशिश की। परीक्षा में सुधारों को केंद्रीकरण से जोड़ें। / Mahmud Gawan tried to increase central control by reducing provincial size. Exam tip: link reforms with centralisation.
A. व्यक्ति का पद और वेतन स्तर/Person's rank and salary level
Explanation
Simple Explanation
जात संख्या मनसबदार के व्यक्तिगत पद और वेतन स्तर से जुड़ी थी। परीक्षा में जात और सवार को अलग-अलग याद रखें। / Zat was related to the Mansabdar's personal rank and salary level. Exam tip: remember Zat and Sawar separately.
B. मनसबदार को रखने योग्य घुड़सवारों की संख्या/Number of cavalrymen to be maintained by the Mansabdar
Explanation
Simple Explanation
सवार संख्या मनसबदार के घुड़सवार दायित्व को दिखाती थी। परीक्षा में जात और सवार का अंतर स्पष्ट रखें। / Sawar indicated the cavalry obligation of the Mansabdar. Exam tip: keep the difference between Zat and Sawar clear.
गुरु तेग बहादुर नौवें सिख गुरु थे। परीक्षा में उन्हें धार्मिक स्वतंत्रता के संदर्भ में याद रखें। / Guru Tegh Bahadur was the ninth Sikh Guru. For exams, remember him in the context of religious freedom.
सातवाहनों के सीसे के सिक्के उल्लेखनीय हैं। परीक्षा में इसे दक्कन की आर्थिक विशेषता से जोड़ें। / Satavahana lead coins are notable. For exams, connect this with economic features of the Deccan.
एक ओपन एयर थिएटर की पहली पंक्ति में (38) सीटें हैं और हर अगली पंक्ति में (6) सीटें अधिक हैं। यदि कुल सीटें (2840) हैं तो पंक्तियों की संख्या कितनी होगी?
सीटें समान्तर श्रेणी बनाती हैं और \(S_n=2840\) से (n=25) मिलता है। परीक्षा में कुल सीटें दी हों तो योग सूत्र से (n) निकालें। / The seats form an AP and \(S_n=2840\) gives (n=25). Exam tip: when total seats are given, find (n) using the sum formula.
सीटें समान्तर श्रेणी बनाती हैं और \(S_n=2520\) से (n=28) मिलता है। परीक्षा में कुल सीटें दी हों तो \(S_n\) का समीकरण बनाएं। / The seats form an AP and \(S_n=2520\) gives (n=28). Exam tip: when total seats are given, form an \(S_n\) equation.
\(S_{20}=2150\) और (d=5) रखने पर (a=60) मिलता है। परीक्षा में कुल और वृद्धि से प्रथम दिन निकालें। / Using \(S_{20}=2150\) and (d=5) gives (a=60). Exam tip: find the first day from total and increase.
\(S_n=1566\) रखने पर (n=18) मिलता है। परीक्षा में कुल योग दिया हो तो (n) के लिए समीकरण बनाएं। / Putting \(S_n=1566\) gives (n=18). Exam tip: when total sum is given, form an equation for (n).
डिब्बों की संख्या \(320,300,280,\ldots\) है और \(S_{11}=2420\)। परीक्षा में घटते स्टॉक में (d) ऋणात्मक लें। / The box numbers are \(320,300,280,\ldots\) and \(S_{11}=2420\). Exam tip: take (d) negative for decreasing stock.
योग सूत्र में \(S_n=2328\) रखने पर (n=24) मिलता है। परीक्षा में कुल सीटें दी हों तो (n) के लिए समीकरण बनाएं। / Putting \(S_n=2328\) in the sum formula gives (n=24). Exam tip: when total seats are given, form an equation for (n).
योग सूत्र में \(S_n=1859\) रखने पर (n=22) मिलता है। परीक्षा में कुल सीटें दी हों तो (n) के लिए समीकरण बनाएं। / Putting \(S_n=1859\) in the sum formula gives (n=22). Exam tip: when total seats are given, form an equation for (n).
योग सूत्र में \(S_n=1610\) रखने पर (n=23) मिलता है। परीक्षा में कुल सीटें दी हों तो (n) के लिए समीकरण बनाएं। / Putting \(S_n=1610\) in the sum formula gives (n=23). Exam tip: when total seats are given, form an equation for (n).
\(S_9=414\) और (d=6) रखने पर (a=22) मिलता है। परीक्षा में कुल और सार्व अंतर से प्रथम पद निकाला जा सकता है। / Using \(S_9=414\) and (d=6) gives (a=22). Exam tip: the first term can be found from total and common difference.
योग सूत्र में \(S_n=840\) रखने पर (n=15) मिलता है। परीक्षा में सही धनात्मक पूर्णांक उत्तर चुनें। / Putting \(S_n=840\) in the sum formula gives (n=15). Exam tip: choose the correct positive integer answer.
योग सूत्र में \(S_n=504\) रखने पर (n=12) मिलता है। परीक्षा में विकल्पों को योग सूत्र में रखकर भी जांच सकते हैं। / Putting \(S_n=504\) in the sum formula gives (n=12). Exam tip: you can also test the options in the sum formula.
(24+(n-1)5=99) से (n=16) मिलता है। परीक्षा में दी गई पंक्ति की सीटों को \(a_n\) के बराबर रखें। / From (24+(n-1)5=99), (n=16). Exam tip: set the given row's seats equal to \(a_n\).
योग सूत्र में \(S_n=1350\) रखने पर (n=25) मिलता है। परीक्षा में कुल सीटें दी हों तो (n) के लिए समीकरण बनाएं। / Putting \(S_n=1350\) in the sum formula gives (n=25). Exam tip: when total seats are given, form an equation for (n).
नंबरों की संख्या \(5,12,19,\ldots\) है और \(a_{15}=103\)। परीक्षा में (n)वें दिन का काम (n)वें पद से मिलता है। / The numbers form the AP \(5,12,19,\ldots\) and \(a_{15}=103\). Exam tip: work done on the (n)th day is the (n)th term.
योग सूत्र में \(S_n=1080\) रखने पर (n=16) आता है। परीक्षा में सही धनात्मक पूर्णांक उत्तर चुनें। / Putting \(S_n=1080\) in the sum formula gives (n=16). Exam tip: choose the correct positive integer answer.
एक मजदूर पहले दिन (50) ईंटें लगाता है और (10) दिनों में कुल (725) ईंटें लगाता है। यदि हर दिन ईंटों की संख्या समान रूप से बढ़ती है तो दैनिक वृद्धि कितनी है?
\(S_{10}=725\) और (a=50) रखने पर (d=5) मिलता है। परीक्षा में कुल काम और प्रथम दिन से वृद्धि निकाली जा सकती है। / Using \(S_{10}=725\) and (a=50) gives (d=5). Exam tip: total work and first day work can give the increase.
संख्याएँ \(52,60,\ldots,244\) हैं और कुल (25) पद हैं। परीक्षा में शर्त को सही समान्तर श्रेणी में बदलें। / The numbers are \(52,60,\ldots,244\), and there are (25) terms. Exam tip: convert the condition into the correct AP.
(17) पदों में (9)वाँ पद मध्य पद है इसलिए योग (17(36)=612) होगा। परीक्षा में विषम पदों की श्रेणी में मध्य पद का उपयोग करें। / In (17) terms, the (9)th term is the middle term, so the sum is (17(36)=612). Exam tip: use the middle term for an odd number of AP terms.
समीकरण से (4n+26=6n+6) मिलता है इसलिए (n=10)। परीक्षा में दोनों योगों में सामान्य \(\frac{n}{2}\) को सरल करें। / The equation gives (4n+26=6n+6), so (n=10). Exam tip: simplify the common \(\frac{n}{2}\) in both sums.
(S_n=3n(n+6)) है और (n=19) रखने पर (1425) मिलता है। परीक्षा में विकल्पों से त्वरित जांच भी कर सकते हैं। / (S_n=3n(n+6)), and substituting (n=19) gives (1425). Exam tip: options can be checked quickly too.
पहली (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है इसलिए \(60^2=3600\)। परीक्षा में यह परिणाम सीधे याद रखें। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(60^2=3600\). Exam tip: remember this result directly.
संख्याएँ \(10,16,\ldots,94\) हैं और कुल (15) पद हैं। परीक्षा में शेष वाली श्रेणी का पहला पद ध्यान से चुनें। / The numbers are \(10,16,\ldots,94\), and there are (15) terms. Exam tip: choose the first term of the remainder sequence carefully.
कुल योग (9870) है और (7) के गुणजों का योग (1470) है इसलिए उत्तर (8400) है। परीक्षा में पूरक योग घटाना आसान होता है। / The total sum is (9870), and the sum of multiples of (7) is (1470), so the answer is (8400). Exam tip: subtract the complementary sum.
संख्याएँ \(114,133,\ldots,988\) हैं और कुल (47) पद हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम तीन अंकीय गुणज निकालें। / The numbers are \(114,133,\ldots,988\), and there are (47) terms. Exam tip: find the first and last three-digit multiples.
पद \(112,126,\ldots,350\) हैं और कुल (18) पद बनते हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The terms are \(112,126,\ldots,350\), making (18) terms. Exam tip: choose the first and last valid terms carefully.
पहली (n) सम संख्याओं का योग (n(n+1)) होता है इसलिए (n=25)। परीक्षा में इसे समान्तर श्रेणी \(2,4,6,\ldots\) भी मान सकते हैं। / The sum of the first (n) even numbers is (n(n+1)), so (n=25). Exam tip: you can also treat it as the AP \(2,4,6,\ldots\).
(2208=\frac{n}{2}(8+176)) से (n=24) है। परीक्षा में प्रथम और अंतिम पद हों तो (a+l) वाला सूत्र लगाएं। / From (2208=\frac{n}{2}(8+176)), (n=24). Exam tip: use the (a+l) form when first and last terms are known.
(S_n=\frac{n}{2}[32+7(n-1)]) में (n=14) रखने पर (1085) मिलता है। परीक्षा में विकल्पों से त्वरित जांच भी कर सकते हैं। / Substituting (n=14) in (S_n=\frac{n}{2}[32+7(n-1)]) gives (1085). Exam tip: options can be checked quickly too.
ऐसी संख्याएँ \(12,24,\ldots,120\) हैं और कुल (10) पद हैं। परीक्षा में दोनों से विभाज्य का अर्थ लघुत्तम समापवर्त्य लें। / The numbers are \(12,24,\ldots,120\), and there are (10) terms. Exam tip: divisible by both means use the least common multiple.
संख्याएँ \(12,17,\ldots,97\) हैं और कुल (18) पद हैं। परीक्षा में शेष वाली समान्तर श्रेणी का पहला पद सही चुनें। / The numbers are \(12,17,\ldots,97\), and there are (18) terms. Exam tip: choose the first term of the remainder AP correctly.
कुल योग (11325) है और (6) के गुणजों का योग (1875) है इसलिए उत्तर (9450) है। परीक्षा में पूरक योग घटाना आसान होता है। / The total sum is (11325), and the sum of multiples of (6) is (1875), so the answer is (9450). Exam tip: subtract the complementary sum.
संख्याएँ \(102,119,\ldots,986\) हैं और कुल (53) पद हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम तीन अंकीय गुणज निकालें। / The numbers are \(102,119,\ldots,986\), and there are (53) terms. Exam tip: find the first and last three-digit multiples.
पद \(84,96,\ldots,252\) हैं और कुल (15) पद बनते हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The terms are \(84,96,\ldots,252\), making (15) terms. Exam tip: choose the first and last valid terms carefully.
पद \(54,63,\ldots,198\) हैं और कुल (17) पद बनते हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The terms are \(54,63,\ldots,198\), making (17) terms. Exam tip: choose the first and last valid terms carefully.
पहली (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है इसलिए (n=24)। परीक्षा में इसे समान्तर श्रेणी \(1,3,5,\ldots\) भी मान सकते हैं। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so (n=24). Exam tip: you can also treat it as the AP \(1,3,5,\ldots\).
(1264=\frac{n}{2}(7+151)) से (n=16) है। परीक्षा में प्रथम और अंतिम पद हों तो (a+l) वाला सूत्र लगाएं। / From (1264=\frac{n}{2}(7+151)), (n=16). Exam tip: use the (a+l) form when first and last terms are known.
(901=\frac{n}{2}(3+103)) से (n=17) है। परीक्षा में प्रथम और अंतिम पद मिलें तो (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) लगाएं। / From (901=\frac{n}{2}(3+103)), (n=17). Exam tip: when first and last terms are known, use (S_n=\frac{n}{2}(a+l)).
संख्याएँ \(111,124,\ldots,995\) हैं और उनका योग (38157) है। शेष वाली श्रेढ़ी का सार्व अंतर भाजक के बराबर होता है। / The numbers are \(111,124,\ldots,995\), and their sum is (38157). A remainder-based AP has common difference equal to the divisor.
\(7350=\frac{n}{2}\times420\) से (n=35) मिलता है। (a+l) दिया हो तो (d) निकालने की जरूरत नहीं है। / From \(7350=\frac{n}{2}\times420\), (n=35). If (a+l) is given, finding (d) is not needed.
पहला गुणज (209), अंतिम (1197) और (53) पद हैं, इसलिए योग (37259) है। सीमा के अंदर पहला गुणज सही चुनें। / The first multiple is (209), the last is (1197), and there are (53) terms, so the sum is (37259). Choose the first multiple within the range correctly.
(24) के गुणजों के योग से (48) के गुणजों का योग घटाने पर (1027752) मिलता है। but not में बड़ी शर्त को घटाना होता है। / Subtracting the sum of multiples of (48) from the sum of multiples of (24) gives (1027752). In but-not cases, subtract the stricter condition.
पहली संख्या (1036), अंतिम (9990) और कुल (243) पद हैं, इसलिए योग (1339659) है। पहला और अंतिम गुणज सावधानी से चुनें। / The first number is (1036), the last is (9990), and there are (243) terms, so the sum is (1339659). Choose the first and last multiples carefully.
(18) के गुणजों के योग से (\operatorname{lcm}(18,30)) के गुणजों का योग घटाने पर (83664) मिलता है। but not वाली शर्त में overlap हटाएँ। / Subtracting the sum of multiples of (\operatorname{lcm}(18,30)) from the sum of multiples of (18) gives (83664). In a but-not condition, remove the overlap.
(9) के गुणजों के योग से (36) के गुणजों का योग घटाने पर (93753) मिलता है। दोनों से विभाज्य संख्याएँ (\operatorname{lcm}(9,12)) की गुणज होती हैं। / Subtracting the sum of multiples of (36) from the sum of multiples of (9) gives (93753). Numbers divisible by both are multiples of (\operatorname{lcm}(9,12)).
(18) के गुणजों के योग से (72) के गुणजों का योग घटाने पर (28278) मिलता है। overlap हटाने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Subtracting the sum of multiples of (72) from the sum of multiples of (18) gives (28278). Use the least common multiple to remove overlap.
संख्याएँ \(17,28,\ldots,94\) हैं और (8) पदों का योग (444) है। शेष वाली श्रेढ़ी का अंतर भाजक के बराबर होता है। / The numbers are \(17,28,\ldots,94\), and the sum of (8) terms is (444). A remainder-based AP has common difference equal to the divisor.
(5) और (8) के गुणजों के योग जोड़कर (40) के गुणजों का योग घटाने से (150500) मिलता है। दोहरी गिनती से बचना जरूरी है। / Adding sums of multiples of (5) and (8), then subtracting multiples of (40), gives (150500). Avoiding double counting is important.
(10) के गुणजों के योग से (50) के गुणजों का योग घटाने पर (39600) मिलता है। दोनों शर्तों के साझा गुणजों को हटाएँ। / Subtracting the sum of multiples of (50) from the sum of multiples of (10) gives (39600). Remove the common multiples of both conditions.
तीन अंकों की सभी संख्याओं का योग (494550) है और (11) के गुणजों का योग (44550), इसलिए उत्तर (450000) है। विभाज्य नहीं में पूरक विधि तेज होती है। / The sum of all three-digit numbers is (494550), and the sum of multiples of (11) is (44550), so the answer is (450000). For not divisible, the complement method is fast.
संख्याएँ \(13,22,\ldots,94\) हैं और (10) पदों का योग (535) है। शेष वाले प्रश्न में सार्व अंतर भाजक के बराबर होता है। / The numbers are \(13,22,\ldots,94\), and the sum of (10) terms is (535). In remainder questions, the common difference equals the divisor.
\(5780=\frac{n}{2}\times340\) से (n=34) मिलता है। (a+l) दिया हो तो (d) निकालने की जरूरत नहीं होती। / From \(5780=\frac{n}{2}\times340\), (n=34). If (a+l) is given, finding (d) is not needed.
पहला गुणज (128), अंतिम (896) और कुल (49) पद हैं, इसलिए योग (25088) है। सीमा के अनुसार पहला पद ध्यान से चुनें। / The first multiple is (128), the last is (896), and there are (49) terms, so the sum is (25088). Choose the first term according to the range carefully.
