Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यह अपरिमेय संख्या है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार न समाप्त होता है और न किसी निश्चित अंक-समूह की पुनरावृत्ति करता है। परिमेय संख्या का प्रसार समाप्त या आवर्ती होता है। परीक्षा टिप: बढ़ता हुआ पैटर्न देखकर जाँचें कि कोई निश्चित आवर्त बन रहा है या नहीं। / It is irrational because its decimal expansion neither terminates nor repeats a fixed block of digits. A rational number has a terminating or recurring decimal expansion. Exam tip: check whether a fixed repeating block occurs; an ever-growing pattern is non-recurring.
सांत दशमलव में दशमलव के बाद अंकों की संख्या सीमित होती है। परिमेय संख्या का दशमलव सांत या असांत आवर्ती हो सकता है। / A terminating decimal has a finite number of digits after the decimal point. A rational number can have terminating or non-terminating recurring decimal expansion.
\(0.272727\ldots\) आवर्ती दशमलव है और \(0.272727\ldots=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), इसलिए यह परिमेय है। \(\sqrt{2}\) और \(\pi\) अपरिमेय हैं। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होता है। / \(0.272727\ldots\) is recurring, and \(0.272727\ldots=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), so it is rational. \(\sqrt{2}\) and \(\pi\) are irrational. Exam tip: every recurring decimal represents a rational number.
\(0.\overline{3}\) अनवसानी आवर्ती दशमलव है, पर \(0.\overline{3}=\frac{1}{3}\), इसलिए यह परिमेय है। \(\sqrt{2}\) और \(\pi\) अनवसानी अनावर्ती तथा अपरिमेय हैं। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होता है। / \(0.\overline{3}\) is non-terminating but recurring, and \(0.\overline{3}=\frac{1}{3}\); hence it is rational. \(\sqrt{2}\) and \(\pi\) are non-terminating, non-recurring irrational numbers. Exam tip: every recurring decimal is rational.
C. \(3.14159\ldots\) बिना निश्चित दोहराव/\(3.14159\ldots\) without fixed repetition
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती होता है। बिना निश्चित दोहराव वाला असांत दशमलव अपरिमेय हो सकता है। / An irrational number has a non-terminating non-recurring decimal expansion. A non-terminating decimal without fixed repetition can be irrational.
0.25 के दशमलव अंक दो स्थानों के बाद समाप्त हो जाते हैं, इसलिए यह सांत दशमलव है। अतः यह असांत आवर्ती दशमलव नहीं है। जबकि 0.121212\ldots, 0.777\ldots और 3.454545\ldots में अंक या अंकों का समूह अनंत तक दोहराया जाता है। परीक्षा टिप: जिन दशमलवों में \ldots के साथ कोई निश्चित पैटर्न बार-बार आए, वे असांत आवर्ती होते हैं। / The decimal 0.25 ends after two decimal places, so it is a terminating decimal. Hence, it is not a non-terminating recurring decimal. In contrast, 0.121212\ldots, 0.777\ldots, and 3.454545\ldots repeat a digit or block of digits indefinitely. Exam tip: A decimal with \ldots and a repeating fixed pattern is non-terminating recurring.
एक विद्यार्थी कहता है कि सरलतम रूप में जिस भिन्न के हर में 2 और 5 के अलावा कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड हो, उसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है। निम्नलिखित में से कौन-सा भिन्न उसके कथन का उदाहरण है?
\(\frac{7}{12}\) के हर में \(12=2^2\times3\) है, इसलिए 3 होने के कारण इसका दशमलव \(0.58\overline{3}\) असांत आवर्ती है। \(40,125,50\) में केवल 2 और 5 के गुणनखंड हैं। परीक्षा टिप: हर को पहले सरलतम रूप में जाँचें। / For \(\frac{7}{12}\), \(12=2^2\times3\). Since 3 occurs in the denominator, its decimal form is \(0.58\overline{3}\), which is non-terminating recurring. The other denominators contain only 2 and 5. Exam tip: first reduce the fraction to lowest terms.
\(\frac{7}{24}\) में हर \(24=2^3\times3\) है। सरलतम रूप के हर में 2 और 5 के अलावा 3 होने से दशमलव प्रसार अनंत आवर्ती होता है। \(\frac{3}{40}\) सांत है। परीक्षा-युक्ति: हर का गुणनखंड करें। / For \(\frac{7}{24}\), \(24=2^3\times3\). A reduced denominator containing a prime other than 2 or 5 gives a non-terminating recurring decimal. \(\frac{3}{40}\) terminates. Exam tip: factor the denominator.
