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मान लें कि \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\) है। यदि \(A=\{x:x\in\mathbb{N},\ 2\le x\le5\}\) और \(B=\{y:y\in\mathbb{N},\ y<4\}\) हैं, तो \(n(A\times B)\) का मान क्या है?
यहाँ \(A=\{2,3,4,5\}\), इसलिए \(n(A)=4\), और \(B=\{1,2,3\}\), इसलिए \(n(B)=3\)। कार्तीय गुणनफल के लिए \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)\), अतः \(4\times3=12\)। इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प D तब मिलता यदि \(\mathbb{N}\) में 0 को शामिल करके \(B\) में 0 भी लिया जाता; प्रश्न में प्राकृतिक संख्याओं को धनात्मक माना गया है। परीक्षा-टिप: \(A\times B\) के क्रमित युग्मों की संख्या हमेशा दोनों समुच्चयों की संख्याओं के गुणनफल के बराबर होती है। / Here, \(A=\{2,3,4,5\}\), so \(n(A)=4\), and \(B=\{1,2,3\}\), so \(n(B)=3\). For a Cartesian product, \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)\); therefore, \(4\times3=12\). Hence, option C is correct. Option D would result only if 0 were included in \(\mathbb{N}\) and consequently in \(B\); in this question, natural numbers are explicitly taken as positive integers. Exam tip: The number of ordered pairs in \(A\times B\) is always the product of the cardinalities of the two sets.
A के प्रत्येक मान के लिए y=2x जाँचते हैं: x=1 पर y=2, x=3 पर y=6 और x=5 पर y=10 मिलता है। ये सभी मान B में हैं, इसलिए युग्म (1,2), (3,6) और (5,10) हैं और कुल 3 युग्म मिलते हैं। केवल दो युग्म गिनना अधूरा होगा, क्योंकि x=5 से भी मान्य युग्म बनता है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में A के प्रत्येक अवयव के लिए y=2x निकालकर यह जाँचें कि y, B में उपस्थित है या नहीं। / Check y=2x for every element of A: x=1 gives y=2, x=3 gives y=6, and x=5 gives y=10. All three resulting values belong to B, so the valid ordered pairs are (1,2), (3,6), and (5,10), giving a total of 3. Counting only two pairs overlooks the valid pair obtained from x=5. In an exam, compute y for each element of A and then verify that the result lies in B.
B. रेखा \(y=3\) पर \(2\le x\le5\) वाला रेखाखंड/A line segment on \(y=3\) with \(2\le x\le5\)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणनफल \(A\times B\) में पहला निर्देशांक \(A\) से और दूसरा निर्देशांक \(B\) से लिया जाता है। इसलिए \(A\times B=\{(x,3):2\le x\le5\}\), जो \(y=3\) पर स्थित क्षैतिज रेखाखंड है। विकल्प A में निर्देशांकों की भूमिकाएँ उलट दी गई हैं, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: यदि दूसरा समुच्चय एकल अवयव \(\{c\}\) हो, तो गुणनफल \(y=c\) पर रेखाखंड देता है। / In the Cartesian product \(A\times B\), the first coordinate comes from \(A\) and the second coordinate comes from \(B\). Thus, \(A\times B=\{(x,3):2\le x\le5\}\), which is a horizontal line segment on \(y=3\). Option A incorrectly interchanges the roles of the coordinates. Exam tip: when the second set is a singleton \(\{c\}\), the Cartesian product lies on the line \(y=c\).
\(A\) में 3, \(B\) में 2 और \(C\) में 1 अवयव है। इसलिए \(A\times B\) में \(3\times2=6\) क्रमित युग्म होंगे। अब \((A\times B)\times C\) में प्रत्येक ऐसे युग्म को \(C\) के एकमात्र अवयव 6 के साथ जोड़ा जाएगा, अतः अवयवों की संख्या \(6\times1=6\) होगी। 12 चुनना \(C\) के एक से अधिक अवयव मान लेने की भूल है। परीक्षा-युक्ति: \(n(X\times Y)=n(X)\times n(Y)\) का प्रयोग करें। / Set \(A\) has 3 elements, \(B\) has 2, and \(C\) has 1. Thus, \(A\times B\) contains \(3\times2=6\) ordered pairs. Each of these pairs is combined with the only element of \(C\), so \((A\times B)\times C\) has \(6\times1=6\) elements. Choosing 12 incorrectly treats \(C\) as if it had more than one element. Exam tip: use \(n(X\times Y)=n(X)\times n(Y)\).
शर्त x+y=7 के अनुसार x=2 पर y=5, x=4 पर y=3 और x=6 पर y=1 मिलता है। इसलिए मान्य क्रमित युग्म (2,5), (4,3) और (6,1) हैं, कुल 3। x=0 के लिए y=7 चाहिए, लेकिन 7, B का सदस्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रत्येक x के लिए y=7−x निकालें और फिर जाँचें कि y, B में है या नहीं। / Using x+y=7, we get y=5 for x=2, y=3 for x=4, and y=1 for x=6. Thus the valid ordered pairs are (2,5), (4,3), and (6,1), giving a total of 3. For x=0, y would be 7, but 7 is not in B. Exam tip: calculate y=7−x for each x and then check whether y belongs to B.
शर्त x−y=2 से x=y+2 प्राप्त होता है। B के प्रत्येक मान के लिए युग्म मिलते हैं: y=1 पर (3,1), y=2 पर (4,2), और y=3 पर (5,3)। ये तीनों युग्म A×B में हैं, इसलिए सही उत्तर 3 है। 4 चुनना गलत है, क्योंकि A में चार अवयव होने मात्र से सभी के लिए उपयुक्त युग्म नहीं बनते। परीक्षा-युक्ति: ऐसी शर्त में पहले छोटे समुच्चय के प्रत्येक मान को रखकर दूसरा मान जाँचें। / From x−y=2, we get x=y+2. For each value of y in B, the valid pairs are (3,1), (4,2), and (5,3). All three first components belong to A, so there are 3 ordered pairs. Choosing 4 is incorrect because the number of elements in A alone does not determine the number of valid pairs. Exam tip: substitute each value from the smaller set and check whether the resulting value belongs to the other set.
A\(\times\)B के युग्मों में x=1 के लिए योग 3, 5 और 7 होते हैं, इसलिए कोई युग्म मान्य नहीं है। x=2 के लिए केवल (2,6) का योग 8 है, तथा x=5 के लिए (5,4) और (5,6) के योग क्रमशः 9 और 11 हैं। इसलिए कुल 3 युग्म मान्य हैं। ध्यान रखें कि शर्त x+y>7 है, अतः x+y=7 वाले युग्म शामिल नहीं किए जाते। / For x=1, the sums with elements of B are 3, 5, and 7, so none qualifies. For x=2, only (2,6) has a sum greater than 7. For x=5, the pairs (5,4) and (5,6) have sums 9 and 11. Thus, there are 3 valid ordered pairs. Exam tip: a strict inequality such as x+y>7 excludes pairs whose sum is exactly 7.
संबंध \(R\) में वही क्रमित युग्म \((x,y)\) होगा जिसमें \(x\), \(A\) का सम तत्व और \(y\), \(B\) का तत्व हो। \(4\in A\) सम है तथा \(b\in B\), इसलिए \((4,b)\in R\)। विकल्प \((3,b)\) में पहला तत्व विषम है, जबकि \((a,2)\) में तत्वों का क्रम और समुच्चयों की सदस्यता सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले क्रमित युग्म के पहले घटक की शर्त जाँचें, फिर दूसरे घटक की। / A pair \((x,y)\) belongs to \(R\) only when \(x\) is an even element of \(A\) and \(y\) is an element of \(B\). Since \(4\in A\) is even and \(b\in B\), \((4,b)\in R\). The pair \((3,b)\) fails because 3 is odd, while \((a,2)\) has the elements in the wrong sets and order. Exam tip: check the condition on the first component first, then verify that the second component belongs to \(B\).
कार्तीय गुणनफल \(A \times B\) के क्रमित युग्म हैं \((1,2),(1,5),(2,2),(2,5)\)। इनके घटकों के योग क्रमशः \(3,6,4,7\) हैं, इसलिए योगों का समुच्चय \(\{3,4,6,7\}\) है। विकल्प D केवल \(3\) और \(7\) देता है तथा \(4\) और \(6\) छोड़ देता है। परीक्षा-टिप: कार्तीय गुणनफल में पहले समुच्चय के प्रत्येक अवयव को दूसरे समुच्चय के प्रत्येक अवयव के साथ युग्मित करें। / The ordered pairs in \(A \times B\) are \((1,2),(1,5),(2,2),(2,5)\). Their component sums are \(3,6,4,7\), so the set of sums is \(\{3,4,6,7\}\). Option D includes only \(3\) and \(7\), omitting \(4\) and \(6\). Exam tip: In a Cartesian product, pair every element of the first set with every element of the second set.
