Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
परिभाषा क्षेत्र में ordered pairs के पहले घटक लिए जाते हैं। इसलिए (R) का परिभाषा क्षेत्र ( {1,2,3} ) है। / The domain contains the first components of the ordered pairs. Hence the domain of (R) is ( {1,2,3} ).
परिसर में ordered pairs के दूसरे घटक लिए जाते हैं। इसलिए (R) का परिसर ( {5,7,9} ) है। / The range contains the second components of the ordered pairs. Hence the range of (R) is ( {5,7,9} ).
हर क्रमित युग्म \((x,y)\) में दूसरा घटक पहले घटक का वर्ग है: \(4=2^2\), \(9=3^2\) और \(16=4^2\)। इसलिए सही नियम \(y=x^2\) है। विकल्प \(y=x+2\) केवल पहले युग्म पर सही है, जबकि \(y=2x\) और \(x=y^2\) सभी युग्मों को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा-युक्ति: किसी नियम की जाँच करने के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म में \(x\) और \(y\) के मान रखकर देखें। / In every ordered pair \((x,y)\), the second component is the square of the first: \(4=2^2\), \(9=3^2\), and \(16=4^2\). Hence, the correct rule is \(y=x^2\). The rule \(y=x+2\) works only for the first pair, while \(y=2x\) and \(x=y^2\) do not satisfy all the pairs. Exam tip: Test a proposed relation by substituting the values of \(x\) and \(y\) from each ordered pair.
B. क्योंकि \((4,4)\) संबंध में नहीं है/Because \((4,4)\) does not belong to the relation
Explanation
Simple Explanation
किसी संबंध \(R\) के \(A\) पर स्वपरावर्ती होने के लिए प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) होना आवश्यक है। यहाँ \((1,1),(2,2)\) और \((3,3)\) तो \(R\) में हैं, लेकिन \((4,4)\) नहीं है; इसलिए \(R\) स्वपरावर्ती नहीं है। परीक्षा-युक्ति: स्वपरावर्तिता जाँचने के लिए समुच्चय के प्रत्येक अवयव का विकर्ण युग्म \((a,a)\) देखें। / A relation \(R\) on \(A\) is reflexive only if \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\). Here \((1,1),(2,2)\), and \((3,3)\) are present, but \((4,4)\) is missing; therefore, \(R\) is not reflexive. Exam tip: To test reflexivity, check the diagonal pair \((a,a)\) for every element of the set.
संक्रमणीयता के लिए यदि \((a,b)\) और \((b,c)\) संबंध में हों, तो \((a,c)\) भी संबंध में होना चाहिए। यहाँ \((1,2)\) और \((2,3)\) उपस्थित हैं, इसलिए \((1,3)\) भी होना चाहिए; लेकिन यह \(R\) में नहीं है। अतः \(R\) संक्रमणीय नहीं है। परीक्षा-युक्ति: लगातार जुड़े दो ordered pairs देखकर उनके पहले और अंतिम तत्वों का pair जाँचें। / For transitivity, whenever \((a,b)\) and \((b,c)\) belong to the relation, \((a,c)\) must also belong to it. Here, \((1,2)\) and \((2,3)\) are present, so \((1,3)\) must be present, but it is missing from \(R\). Therefore, \(R\) is not transitive. Exam tip: Check the pair formed by the first element of the first ordered pair and the second element of the next pair.
यदि समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) दिया गया है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा गुण \(R\) निश्चित रूप से संतुष्ट करता है?
स्वपरावर्ती संबंध के लिए प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) होना चाहिए। यहाँ \((1,1),(2,2)\) और \((3,3)\) तीनों युग्म मौजूद हैं, इसलिए \(R\) स्वपरावर्ती है। यह स्वविरोधी नहीं हो सकता, क्योंकि स्वविरोधी संबंध में कोई भी \((a,a)\) नहीं होता; साथ ही यह सार्वत्रिक भी नहीं है, क्योंकि \((1,3)\) जैसे सभी संभव युग्म इसमें नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: diagonal pairs \((a,a)\) जाँचकर सबसे पहले reflexive property निर्धारित करें। / A relation is reflexive if \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\). Here, all three diagonal pairs \((1,1),(2,2)\), and \((3,3)\) are present, so \(R\) is reflexive. It is not irreflexive because an irreflexive relation contains no pair of the form \((a,a)\), and it is not universal because pairs such as \((1,3)\) are missing. Exam tip: check the diagonal pairs \((a,a)\) first when testing reflexivity.
C. दोनों आवश्यक स्वपरावर्ती युग्म अनुपस्थित हैं/Both required reflexive pairs are absent
Explanation
Simple Explanation
स्वपरावर्ती संबंध में आधार समुच्चय के प्रत्येक तत्व \(a\) के लिए \((a,a)\) संबंध में होना चाहिए। यहाँ \(A=\{1,2\}\) है, इसलिए \((1,1)\) और \((2,2)\) दोनों आवश्यक हैं, लेकिन वे \(R\) में नहीं हैं। \((1,2)\) और \((2,1)\) का उपस्थित होना स्वपरावर्तिता सिद्ध नहीं करता। परीक्षा में स्वपरावर्ती जाँचने के लिए हमेशा सभी diagonal pairs \((a,a)\) देखें। / For a relation to be reflexive, \((a,a)\) must belong to the relation for every element \(a\) of the base set. Since \(A=\{1,2\}\), both \((1,1)\) and \((2,2)\) are required, but neither is in \(R\). The presence of \((1,2)\) and \((2,1)\) does not make the relation reflexive. Exam tip: to test reflexivity, check all diagonal pairs \((a,a)\).
