संबंध (A) से (B) तक हमेशा \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। परीक्षा में पहले कार्तीय गुणनफल पहचानें। / A relation from (A) to (B) is always a subset of \(A\times B\). In exams, identify the Cartesian product first.
A. समुच्चय \(A\) से समुच्चय \(A\) का संबंध/a relation from set \(A\) to set \(A\)
Explanation
Simple Explanation
संबंध \(R\) के प्रत्येक क्रमित युग्म के प्रथम और द्वितीय दोनों घटक समुच्चय \(A\) के सदस्य हैं। इसलिए \(R\subseteq A\times A\), अतः \(R\), \(A\) से \(A\) का संबंध है। यह \(R\) से \(R\) का संबंध नहीं है, क्योंकि संख्याएँ \(R\) के सदस्य नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: संबंध \(A\) पर होने के लिए उसके सभी क्रमित युग्म \(A\times A\) में होने चाहिए। / In every ordered pair of \(R\), both the first and second components belong to set \(A\). Therefore, \(R\subseteq A\times A\), so \(R\) is a relation from \(A\) to \(A\). It is not a relation from \(R\) to \(R\), because the numbers are not elements of \(R\). Exam tip: To identify a relation on \(A\), check whether every ordered pair belongs to \(A\times A\).
युग्म \((a,b)\) तभी \(R\) में होगा जब \(a\ge b\) हो। \((5,3)\) के लिए \(5\ge3\) सत्य है, इसलिए \((5,3)\in R\)। अन्य विकल्पों में पहला घटक दूसरे से छोटा है, इसलिए वे संबंध में नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले युग्म के पहले घटक को \(a\) और दूसरे घटक को \(b\) मानकर दी गई असमता जाँचें। / An ordered pair \((a,b)\) belongs to \(R\) only when \(a\ge b\). For \((5,3)\), the inequality \(5\ge3\) is true, so \((5,3)\in R\). In all the other options, the first component is smaller than the second, so they do not satisfy the relation. Exam tip: Treat the first and second entries as \(a\) and \(b\), respectively, and then test the given inequality.
\(2\cdot3=6\), इसलिए ( (2,3) ) relation में है। product condition में दोनों घटकों का गुणनफल देखें। / Since \(2\cdot3=6\), ( (2,3) ) belongs to the relation. In a product condition, check the product of both components.
इस condition से ( (2,3) ) और ( (3,2) ) मिलते हैं। ordered pairs में दोनों अलग माने जाते हैं। / This condition gives ( (2,3) ) and ( (3,2) ). In ordered pairs, these two are considered different.
यदि समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) दिया गया है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा गुण \(R\) निश्चित रूप से संतुष्ट करता है?
स्वपरावर्ती संबंध के लिए प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) होना चाहिए। यहाँ \((1,1),(2,2)\) और \((3,3)\) तीनों युग्म मौजूद हैं, इसलिए \(R\) स्वपरावर्ती है। यह स्वविरोधी नहीं हो सकता, क्योंकि स्वविरोधी संबंध में कोई भी \((a,a)\) नहीं होता; साथ ही यह सार्वत्रिक भी नहीं है, क्योंकि \((1,3)\) जैसे सभी संभव युग्म इसमें नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: diagonal pairs \((a,a)\) जाँचकर सबसे पहले reflexive property निर्धारित करें। / A relation is reflexive if \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\). Here, all three diagonal pairs \((1,1),(2,2)\), and \((3,3)\) are present, so \(R\) is reflexive. It is not irreflexive because an irreflexive relation contains no pair of the form \((a,a)\), and it is not universal because pairs such as \((1,3)\) are missing. Exam tip: check the diagonal pairs \((a,a)\) first when testing reflexivity.
समुच्चय \(A\) पर सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) के सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय होता है। यहाँ दिए गए युग्म ठीक \(\{1,2\}\times\{1,2\}\) के सभी चार युग्म हैं, इसलिए \(A=\{1,2\}\) सही है। \(\{1,2,3\}\) पर \(3\) से जुड़े युग्म भी होने चाहिए, जो दिए नहीं गए हैं। परीक्षा-युक्ति: सार्वत्रिक संबंध पहचानने के लिए पहले \(|A|^2\) युग्मों की संख्या जाँचें। / The universal relation on a set \(A\) is the set of all ordered pairs in \(A\times A\). The given relation contains exactly the four pairs of \(\{1,2\}\times\{1,2\}\), so \(A=\{1,2\}\) is correct. For \(\{1,2,3\}\), pairs involving 3 would also be required, but they are absent. Exam tip: for a universal relation, check that the number of ordered pairs is \(|A|^2\).
\(A\times A\) के प्रत्येक क्रमित युग्म के लिए \(a+b>5\) जाँचना है। केवल \((3,3)\) के लिए \(3+3=6>5\) होता है। \((2,3)\) और \((3,2)\) का योग 5 है, इसलिए वे शामिल नहीं होंगे। अतः \(R=\{(3,3)\}\)। परीक्षा-युक्ति: ‘से बड़ा’ \((>)\) में बराबर का मान शामिल नहीं किया जाता। / Check the condition \(a+b>5\) for every ordered pair in \(A\times A\). Only \((3,3)\) satisfies it because \(3+3=6>5\). The pairs \((2,3)\) and \((3,2)\) have sum exactly 5, so they are not included. Hence, \(R=\{(3,3)\}\). Exam tip: the symbol \(>\) excludes equality.
A×A के युग्मों में शर्त a+b<3 जाँचते हैं। केवल (1,1) के लिए 1+1=2<3 है। (1,2) और (2,1) के लिए योग 3 है, जो 3 से छोटा नहीं है; इसलिए वे शामिल नहीं होंगे। अतः R={(1,1)}। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में सभी क्रमित युग्म बनाकर दिए गए असमिकता-प्रतिबंध की जाँच करें। / Check the condition a+b<3 for the ordered pairs in A×A. Only (1,1) satisfies it because 1+1=2<3. The pairs (1,2) and (2,1) have sum 3, which is not less than 3, so they are excluded. Therefore, R={(1,1)}. Exam tip: List the ordered pairs and test the given inequality one pair at a time.
