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\(A\cup B\) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। परीक्षा में दोहराए गए अवयव एक बार ही लिखें। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of both sets. In exams, write repeated elements only once.
\(A\cap B\) में केवल वे अवयव आते हैं जो दोनों में समान हों। समान अवयव पहचानना सबसे पहला कदम है। / \(A\cap B\) contains only elements common to both sets. First identify the common elements carefully.
(A-B) में (A) के वे अवयव आते हैं जो (B) में नहीं हैं। अंतर निकालते समय पहले (B) के समान अवयव हटाएं। / (A-B) contains elements of (A) that are not in (B). While finding difference, remove the common elements from (A).
(B-A) में (B) के वे अवयव रहते हैं जो (A) में नहीं हैं। (A-B) और (B-A) अलग हो सकते हैं। / (B-A) keeps elements of (B) that are not in (A). Remember that (A-B) and (B-A) may be different.
यहां \(A=\{2,4,6,8\}\) है और केवल (2) दोनों में है। पहले समुच्चय को सूची रूप में लिखना उपयोगी है। / Here \(A=\{2,4,6,8\}\), and only (2) is common. Converting set-builder form to roster form helps.
दोनों समुच्चयों में कोई समान अवयव नहीं है इसलिए प्रतिच्छेद \( \varnothing \) है। असंयुक्त समुच्चयों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है। / There is no common element, so the intersection is \( \varnothing \). Disjoint sets always have an empty intersection.
क्योंकि \(A\subseteq B\), इसलिए \(A\cup B=B\) होगा। उपसमुच्चय वाले प्रश्नों में बड़ा समुच्चय संघ होता है। / Since \(A\subseteq B\), \(A\cup B=B\). In subset cases, the larger set is the union.
क्योंकि (A) के सभी अवयव (B) में हैं, इसलिए \(A\cap B=A\) है। उपसमुच्चय में प्रतिच्छेद छोटा समुच्चय होता है। / All elements of (A) are in (B), so \(A\cap B=A\). In subset cases, the smaller set is the intersection.
(A) से (B) के अवयव (2) और (4) हटाने पर ({1,3,5}) बचता है। अंतर में क्रम का ध्यान रखें। / Removing (2) and (4) from (A) gives ({1,3,5}). Pay attention to the order in set difference.
दोनों समुच्चय समान हैं इसलिए (A) का कोई नया अवयव नहीं बचता। याद रखें \(A-A=\varnothing\) होता है। / The two sets are equal, so no element of (A) remains. Remember that \(A-A=\varnothing\).
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता इसलिए \(A\cup \varnothing=A\) है। पहचान सूत्रों को याद रखना आसान अंक दिलाता है। / The empty set has no elements, so \(A\cup \varnothing=A\). Knowing identity rules helps in quick scoring.
\(\varnothing\) में कोई अवयव नहीं है, इसलिए कोई सामान्य अवयव नहीं होगा। हमेशा \(A\cap \varnothing=\varnothing\) होता है। / Since \(\varnothing\) has no element, there is no common element. Always \(A\cap \varnothing=\varnothing\).
(A-A) में (A) के वे अवयव चाहिए जो (A) में नहीं हैं, ऐसा कोई अवयव नहीं है। समान समुच्चय का अंतर रिक्त होता है। / (A-A) asks for elements of (A) not in (A), and none exist. Difference of a set from itself is empty.
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से उत्तर (5+4-2=7) है। सामान्य भाग को एक बार घटाना जरूरी है। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), the answer is (5+4-2=7). Subtract the common part once.
सूत्र से (n\(A\cap B\)=7+8-12=3) होगा। संघ वाला सूत्र उल्टा लगाते समय चिन्ह सही रखें। / From the formula, (n\(A\cap B\)=7+8-12=3). Keep signs correct when using the union formula backward.
(A-B) में (A) से सामान्य (4) अवयव हटते हैं, इसलिए (10-4=6)। अंतर में केवल पहले समुच्चय की गिनती देखें। / In (A-B), the (4) common elements are removed from (A), so (10-4=6). For difference, count only from the first set.
क्योंकि \(B\subseteq A\), (B) का कोई अवयव (A) के बाहर नहीं है। इसलिए \(B-A=\varnothing\) है। / Since \(B\subseteq A\), no element of (B) lies outside (A). Therefore \(B-A=\varnothing\).
यहां \(A=\{1,2,3,4,5\}\) है, इसलिए संघ ({1,2,3,4,5,6}) है। प्राकृतिक संख्याओं को सूचीबद्ध करके हल करें। / Here \(A=\{1,2,3,4,5\}\), so the union is ({1,2,3,4,5,6}). List the natural numbers first.
(A) में से (B) के अवयव (2) और (3) हटाने पर ({0,1}) बचता है। (A-B) में केवल (A) से शुरू करें। / Removing (2) and (3) from (A) leaves ({0,1}). For (A-B), start only with set (A).
तीनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव लेने पर ({1,2,3,4,5}) मिलता है। संघ में पुनरावृत्ति नहीं लिखी जाती। / Taking all distinct elements from the three sets gives ({1,2,3,4,5}). Repetition is not written in a union.
(3) तीनों समुच्चयों में है, इसलिए \(A\cap B\cap C={3}\) है। तीन समुच्चयों में सामान्य अवयव को सभी में जांचें। / The element (3) is in all three sets, so \(A\cap B\cap C={3}\). Check common elements in every set.
\(B\cup C={2,4,5,6}\) है और (A) से इन्हें हटाने पर ({1,3}) बचता है। पहले कोष्ठक हल करें। / \(B\cup C={2,4,5,6}\), and removing these from (A) leaves ({1,3}). Solve the bracket first.
\(B\cup C={b,c,d,e}\) है और (A) से इसका सामान्य भाग ({b,c,d}) है। संयुक्त क्रियाओं में क्रम से हल करें। / \(B\cup C={b,c,d,e}\), and its common part with (A) is ({b,c,d}). Solve combined operations step by step.
\(A\cap B={3,4}\) है, फिर इसे (C) से मिलाने पर ({3,4,5,6}) मिलता है। कोष्ठक पहले करें। / \(A\cap B={3,4}\), and its union with (C) gives ({3,4,5,6}). Do the bracket first.
(B) से (A) के अवयव (1,3,5) हटाने पर ({2,4}) बचता है। (B-A) में शुरुआत (B) से करें। / Removing (1,3,5) from (B) leaves ({2,4}). For (B-A), start with (B).
\(A\cup B={1,2,3,4,5,6,8,10}\) है, इसलिए अवयव (8) हैं। गिनते समय समान अवयव दो बार न गिनें। / \(A\cup B={1,2,3,4,5,6,8,10}\), so it has (8) elements. Do not count common elements twice.
सामान्य अवयव (20) और (40) हैं, इसलिए संख्या (2) है। प्रतिच्छेद में केवल समान अवयव गिने जाते हैं। / The common elements are (20) and (40), so the number is (2). In intersection, count only common elements.
\(A=\{a,e,i,o,u\}\) है और (B) हटाने पर ({o,u}) बचता है। पहले वर्णनात्मक समुच्चय को सूची रूप में बदलें। / \(A=\{a,e,i,o,u\}\), and removing (B) leaves ({o,u}). First convert the descriptive set into roster form.
(8) समुच्चय (B) में है, इसलिए वह \(A\cup B\) में भी होगा। संघ में किसी भी एक समुच्चय का अवयव शामिल होता है। / (8) is in set (B), so it is also in \(A\cup B\). A union includes elements from either set.
(3) (A) में है लेकिन (B) में नहीं है, इसलिए \(3\in A-B\) है। अंतर में केवल पहले समुच्चय के बाहर वाले सामान्य अवयव हटते हैं। / (3) is in (A) but not in (B), so \(3\in A-B\). In difference, keep elements of the first set not in the second.
दोनों समुच्चयों में केवल (blue) समान है। प्रतिच्छेद में सिर्फ समान अवयव लिखें। / Only (blue) is common to both sets. Write only common elements in the intersection.
संघ में सभी अलग-अलग नाम आते हैं, इसलिए ({cat,dog,cow,goat}) है। समान नाम (dog) को एक बार लिखें। / The union contains all distinct names, so it is ({cat,dog,cow,goat}). Write the repeated name (dog) only once.
(A) के (4) और (16) (B) में भी हैं, इसलिए हटते हैं। बचे अवयव ({1,9}) हैं। / The elements (4) and (16) of (A) are also in (B), so they are removed. The remaining elements are ({1,9}).
दोनों समुच्चय असंयुक्त हैं, इसलिए (A) से कुछ नहीं हटेगा। असंयुक्त होने पर (A-B=A) होता है। / The sets are disjoint, so nothing is removed from (A). For disjoint sets, (A-B=A).
असंयुक्त समुच्चयों का संघ भी दोनों के सभी अवयवों का समुच्चय होता है। यहां उत्तर ({1,2,3,4,5}) है। / The union of disjoint sets contains all elements of both sets. Here the answer is ({1,2,3,4,5}).
(A-B={2,3}) और (B-A={6,7}) है, इसलिए संघ ({2,3,6,7}) है। यह सामान्य भाग हटाकर बचे भागों का संघ है। / (A-B={2,3}) and (B-A={6,7}), so the union is ({2,3,6,7}). This is the union of non-common parts.
\(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\) है और (A) हटाने पर ({5,6}) बचता है। यह (B-A) के बराबर है। / \(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\), and removing (A) leaves ({5,6}). This is equal to (B-A).
संघ ({a,b,c,d,e}) है और (B) हटाने पर ({a,b}) बचता है। यह (A-B) जैसा परिणाम देता है। / The union is ({a,b,c,d,e}), and removing (B) leaves ({a,b}). This gives the same result as (A-B).
पहले (A-B={1,3,5}) है और यह (A) का ही भाग है। इसलिए प्रतिच्छेद ({1,3,5}) है। / First (A-B={1,3,5}), and it is already a part of (A). Therefore the intersection is ({1,3,5}).
\(A\cup B\) में (A) के सभी अवयव हैं, इसलिए (A\cap \(A\cup B\)=A) है। इसे अवशोषण नियम कहते हैं। / \(A\cup B\) contains all elements of (A), so (A\cap \(A\cup B\)=A). This is called the absorption law.
\(A\cap B={4}\) है और \(A\cup {4}=A\) होगा। यह भी अवशोषण नियम का उदाहरण है। / \(A\cap B={4}\), and \(A\cup {4}=A\). This is also an example of the absorption law.
(B) में से (C) का समान अवयव (2) हटता है, इसलिए ({4,6}) बचता है। तीसरा समुच्चय होने पर भी चुनी गई क्रिया पर ध्यान दें। / The common element (2) is removed from (B), so ({4,6}) remains. Even with three sets, focus on the asked operation.
एक कक्षा में (18) विद्यार्थी क्रिकेट खेलते हैं, (12) फुटबॉल खेलते हैं और (5) दोनों खेलते हैं। कम से कम एक खेल खेलने वाले विद्यार्थियों की संख्या क्या है?
कम से कम एक खेल (n\(A\cup B\)=18+12-5=25) होगा। दोनों खेलने वालों को दो बार गिनने से बचने के लिए घटाएं। / At least one game means (n\(A\cup B\)=18+12-5=25). Subtract those who play both to avoid double counting.
केवल गणित (=20-8=12) है। केवल वाले प्रश्न में संबंधित समुच्चय से सामान्य भाग घटाएं। / Only Mathematics is (20-8=12). For only-type questions, subtract the common part from the related set.
\(A\cup B\) में (A) और (B) के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। (U) केवल संदर्भ समुच्चय है, हर बार पूरा (U) उत्तर नहीं होता। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of (A) and (B). (U) is only the universal set; the answer is not always the whole (U).
(A) से (B) का समान अवयव (b) हटता है और ({a,d}) बचता है। सार्वत्रिक समुच्चय दिए होने पर भी अंतर केवल दिए गए दो समुच्चयों से निकालें। / The common element (b) is removed from (A), leaving ({a,d}). Even when a universal set is given, find the difference only between the asked sets.
पहले (B-C={3,4}) है, फिर (A) के साथ सामान्य भाग ({3,4}) मिलता है। कोष्ठक वाली क्रिया हमेशा पहले करें। / First (B-C={3,4}), then the common part with (A) is ({3,4}). Always solve the operation inside brackets first.
संघ से समान भाग (5) और (11) हटाने पर ({1,2,8,9}) बचता है। यह सामान्य भाग को हटाकर अलग-अलग भाग देता है। / Removing the common elements (5) and (11) from the union leaves ({1,2,8,9}). This gives the non-common parts.
सूत्र से (n\(A\cap B\)=16+13-21=8) होगा। संघ के सूत्र में सामान्य भाग दो बार गिना जाता है, इसलिए उसे घटाया जाता है। / Using the formula, (n\(A\cap B\)=16+13-21=8). The common part is counted twice in the union formula, so it is subtracted.
एक सर्वे में (24) विद्यार्थियों ने हिंदी चुनी, (18) विद्यार्थियों ने अंग्रेजी चुनी और (10) विद्यार्थियों ने दोनों चुनी। केवल अंग्रेजी चुनने वाले कितने विद्यार्थी हैं?
केवल अंग्रेजी (=18-10=8) है। केवल वाले प्रश्न में उस समुच्चय से प्रतिच्छेद घटाएं। / Only English is (18-10=8). In only-type questions, subtract the intersection from that set.
