किसी संबंध का domain उसके सभी क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय होता है। यहाँ प्रथम घटक 1, 2, 2 और 3 हैं; दोहराए गए 2 को एक ही बार लिखने पर domain \(\{1,2,3\}\) मिलता है। विकल्प A range है, जबकि विकल्प C और D domain के सभी प्रथम घटकों को सही रूप से नहीं दर्शाते। परीक्षा-युक्ति: domain के लिए प्रत्येक युग्म का पहला घटक और range के लिए दूसरा घटक लें। / The domain of a relation is the set of all first components of its ordered pairs. Here the first components are 1, 2, 2 and 3; removing the repeated 2 gives \(\{1,2,3\}\). Option A is the range, while options C and D do not correctly include all first components. Exam tip: use the first coordinate for the domain and the second coordinate for the range.
किसी संबंध का परास उसके क्रमित युग्मों के दूसरे घटकों का समुच्चय होता है। यहाँ दूसरे घटक 4, 4, 5 और 6 हैं; समुच्चय में 4 को दोहराया नहीं जाता, इसलिए परास \(\{4,5,6\}\) है। विकल्प A पहले घटकों का समुच्चय है। परीक्षा-युक्ति: क्रमित युग्म \((a,b)\) में range के लिए हमेशा दूसरे घटक \(b\) चुनें। / The range of a relation is the set of the second components of its ordered pairs. Here the second components are 4, 4, 5, and 6; since repeated elements are written only once in a set, the range is \(\{4,5,6\}\). Option A is the set of first components, or the domain. Exam tip: in an ordered pair \((a,b)\), select the second component \(b\) to find the range.
\(x^2=x^2\), \(x^2=y^2\Rightarrow y^2=x^2\), और बराबरी की शर्त संक्रमी है। इसलिए यह समतुल्य संबंध है। / \(x^2=x^2\), \(x^2=y^2\Rightarrow y^2=x^2\), and equality is transitive. Hence it is an equivalence relation.
तीनों domain अवयवों को किसी न किसी युग्म में आना होगा, इसलिए कम से कम (3) युग्म चाहिए। range के (2) अवयव इन्हीं (3) युग्मों में कवर किए जा सकते हैं। / All three domain elements must appear in some pair, so at least (3) pairs are needed. The (2) range elements can be covered within these (3) pairs.
किसी संबंध का परास उसके क्रमित युग्मों के दूसरे घटकों का समुच्चय होता है। R में दूसरे घटक x, x और y हैं, इसलिए अलग-अलग दूसरे घटकों का समुच्चय {x, y} होगा। {1, 2, 3} डोमेन है, जबकि केवल {x} या {y} परास का अपूर्ण भाग है। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म का दूसरा घटक लिखें और दोहराए गए अवयवों को केवल एक बार रखें। / The range of a relation is the set of all second components of its ordered pairs. The second components in R are x, x, and y; removing the repetition gives {x, y}. The set {1, 2, 3} is the domain, while {x} and {y} omit one of the attained values. Exam tip: To find the range, collect the second element from every ordered pair and write repeated elements only once.
संबंध में \(a+b=6\) और \(a,b\in A\) होना चाहिए। इसलिए मान्य क्रमित युग्म \((2,4),(3,3),(4,2)\) हैं। इन युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय \(\{2,3,4\}\) है, अतः domain विकल्प B है। विकल्प C में 4 छूट गया है, जबकि 1 के लिए \(b=5\) चाहिए, जो \(A\) में नहीं है। परीक्षा-टिप: किसी संबंध का domain उसके सभी क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय होता है। / The relation requires \(a+b=6\) with \(a,b\in A\). The valid ordered pairs are \((2,4),(3,3),(4,2)\). Therefore, the set of their first components is \(\{2,3,4\}\), so option B is correct. Option C incorrectly omits 4, while 1 cannot be included because it would require \(b=5\), which is not in \(A\). Exam tip: The domain of a relation is the set of all first components of its ordered pairs.
समुच्चय \(A\) के अवयवों से बनने वाले क्रमित युग्मों में समीकरण \(a^2+b^2=25\) की जाँच करें। \(3^2+4^2=9+16=25\) और \(4^2+3^2=16+9=25\), इसलिए \((3,4)\) तथा \((4,3)\) संबंध \(R\) में हैं। अन्य किसी युग्म के लिए यह समीकरण संतुष्ट नहीं होता। अतः \(R\) में कुल \(2\) क्रमित युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: संबंधों में \((a,b)\) और \((b,a)\) को अलग-अलग क्रमित युग्म माना जाता है, जब तक कि दोनों समान न हों। / Check the ordered pairs formed from elements of \(A\) against \(a^2+b^2=25\). Since \(3^2+4^2=9+16=25\) and \(4^2+3^2=16+9=25\), the pairs \((3,4)\) and \((4,3)\) belong to \(R\). No other pair from \(A\times A\) satisfies the equation. Hence, \(R\) contains \(2\) ordered pairs. Exam tip: In a relation, \((a,b)\) and \((b,a)\) are counted separately because order matters, unless the two entries are equal.
संक्रमिता का नियम है: यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\)। यहाँ \(a=1\), \(b=4\) और \(c=6\) रखने पर \((1,6)\in R\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A और B क्रमित युग्मों का क्रम उलट देते हैं, जबकि विकल्प D के लिए कोई आवश्यक आधार नहीं दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: संक्रमणिता में पहले युग्म का पहला अवयव और दूसरे युग्म का दूसरा अवयव लेकर नया युग्म बनाइए। / Transitivity states that if \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\). Substituting \(a=1\), \(b=4\), and \(c=6\) gives \((1,6)\in R\), so option C is correct. Options A and B reverse the direction of the given ordered pairs, while option D is not required by transitivity. Exam tip: in a transitive chain, match the second element of the first pair with the first element of the second pair, then join the remaining outer elements.
A के अवयवों में a+b=7 को संतुष्ट करने वाले क्रमित युग्म केवल (3,4) और (4,3) हैं। अतः range, अर्थात् क्रमित युग्मों के दूसरे घटकों का समुच्चय, {3,4} है। विकल्प A में सभी अवयव लेने की गलती की गई है; उदाहरण के लिए 2 के साथ 5 चाहिए, लेकिन 5∉A। परीक्षा-युक्ति: किसी संबंध का range क्रमित युग्मों के दूसरे घटकों से बनता है। / The only ordered pairs from A satisfying a+b=7 are (3,4) and (4,3). Therefore, the range—the set of second components of the ordered pairs—is {3,4}. Option A incorrectly includes every element of A; for instance, pairing 2 would require 5, but 5∉A. Exam tip: the range of a relation is formed from the second coordinates of its ordered pairs.
मान लें कि समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) है और संबंध \(R\), \(A\) के अवयवों के क्रमित युग्मों पर इस प्रकार परिभाषित है कि \((a,b)\in R\) तब और केवल तब जब \(a+b\) अभाज्य हो। निम्नलिखित में से कौन-सा क्रमित युग्म \(R\) में है?
किसी युग्म \((a,b)\) के \(R\) में होने के लिए \(a+b\) अभाज्य होना चाहिए। विकल्प D में \(3+4=7\), और 7 अभाज्य संख्या है; इसलिए \((3,4)\in R\)। अन्य विकल्पों के योग क्रमशः 4, 8 और 6 हैं, जो अभाज्य नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक युग्म के अवयवों का योग निकालकर केवल यह जाँचें कि वह अभाज्य है या नहीं। / For an ordered pair \((a,b)\) to belong to \(R\), the sum \(a+b\) must be prime. In option D, \(3+4=7\), and 7 is prime; hence \((3,4)\in R\). The sums for the other options are 4, 8, and 6, none of which is prime. Exam tip: calculate the sum of the two entries and then test whether the sum is prime.
