Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
P(A) अर्थात् power set में A के सभी उपसमुच्चय आते हैं — इनमें शून्य-समुच्चय (empty set) और स्वयं A भी शामिल हैं। यदि किसी समुच्चय में n अवयव हों तो उसके उपसमुच्चयों की संख्या देने का सूत्र है \(2^n\)। यहाँ n = 3 है, अतः उपसमुच्चयों की संख्या \(2^3=8\)। विकल्प B (6) अक्सर 3 के व्यतिक्रम (permutations) 3! = 6 से भ्रमित होने पर चुन लिया जाता है — पर वह उपसमुच्चयों की संख्या नहीं है। विकल्प D (9) केवल 3 का वर्ग है और तर्कसंगत नहीं; विकल्प A (3) मूल अवयवों की संख्या है न कि उपसमुच्चयों की। एक छोटा परीक्षा सुझाव: किसी समुच्चय के उपसमुच्चयों की त्वरित गिनती के लिए हमेशा सूत्र \(2^n\) याद रखें और खाली समुच्चय को गिनना न भूलें। / P(A), the power set of A, contains all subsets of A including the empty set and A itself. For a set with n elements the number of subsets is given by the formula \(2^n\). Here n = 3, so the count is \(2^3=8\). Option B (6) is a common distractor from 3! = 6 (permutations), which is unrelated to counting subsets. Option D (9) is just 3 squared and not relevant; option A (3) is the number of original elements, not the number of subsets. Exam tip: always apply \(2^n\) for the power set size and remember to include the empty subset.
यदि \(A\subseteq B\) है तो प्रत्येक तत्व जो \(A\) में है वह पहले से ही \(B\) में मौजूद है। संघ \(A\cup B\) उन दोनों सेटों के सभी तत्वों का समूह है; चूँकि \(A\) के तत्व \(B\) में हैं, संघ से कोई नया तत्व नहीं जुड़ता और परिणाम \(B\) ही होगा। निकट विकल्प \(A\cap B\) गलत है क्योंकि वह केवल दोनों में सामान्य तत्व देता है, न कि पूरे \(B\) को। परीक्छा सुझाव: जब शर्त \(A\subseteq B\) दी हो तो याद रखें \(A\cup B=B\) और इसी तरह \(A\cap B=A\)। / If \(A\subseteq B\), every element of \(A\) is already in \(B\). The union \(A\cup B\) contains all elements of both sets; since \(A\)'s elements are included in \(B\), the union adds nothing new and equals \(B\). The closest distractor \(A\cap B\) is incorrect because the intersection gives only common elements, not all elements of \(B\). Exam tip: with \(A\subseteq B\) remember \(A\cup B=B\) (and \(A\cap B=A\)).
समुच्चय में चार अवयव हैं, तो कुल उपसमुच्चयों की संख्या
i.e. \\(2^4=16\\). "कम से कम एक अवयव" का अर्थ है सभी उपसमुच्चयों में से रिक्त समुच्चय को निकालना। इसलिए संख्या = \\(16-1=15\\)। विकल्प B (16) गलत है क्योंकि वह रिक्त समुच्चय को भी गिनता है; विकल्प C (8) और D (4) भी गलत हैं क्योंकि वे कुल उपसमुच्चयों की पूरी गिनती नहीं दे रहे। परीक्षा टिप: किसी n‑तत्व समुच्चय के गैर‑रिक्त उपसमुच्चयों की संख्या हमेशा \\(2^n-1\\) होती है। / A has 4 elements, so total subsets = \\(2^4=16\\). "At least one element" excludes the empty set, hence number = \\(16-1=15\\). Option B (16) is incorrect because it includes the empty set; options C (8) and D (4) undercount the subsets. Exam tip: for an n‑element set the number of nonempty subsets is always \\(2^n-1\\).
शर्त के अनुसार हम 5 को बाहर रख देते हैं और शेष तत्वों {1,2,3,4} में से ठीक 2 चुनने हैं। इसका योगात्मक सूत्र है \\(\binom{4}{2}=6\\)। इसलिए उत्तर 6 है। विकल्प A (4) गलत है क्योंकि कोई गलती से \\({4 \choose 1}\\) या किसी अन्य ग़लत गणना कर सकता है; विकल्प D (10) गलत है क्योंकि \\({5 \choose 2}=10\\) उन सभी जोड़ों की संख्या देता है जिसमें 5 शामिल हो सकता है — पर प्रश्न ने 5 को न रखने को कहा है। परीक्षा सुझाव: ऐसी समस्याओं में पहले प्रतिबंधित तत्वों को हटा दें और फिर सीधे \(nCk\) सूत्र लगाएँ। / Exclude 5 first; then choose exactly 2 elements from the remaining set {1,2,3,4}. The count is given by \\(\binom{4}{2}=6\\), so 6 is correct. Option A (4) is incorrect — some may mistakenly compute the wrong combination like \(4\) instead of \(\binom{4}{2}\). Option D (10) equals \(\binom{5}{2}\) which counts pairs including 5, so it violates the restriction. Exam tip: remove forbidden elements first, then apply the \(n\text{C}k\) formula to count k-element subsets.</explanation_english
समाधान: \(2x+1<10\) से \(2x<9\) और इसलिए \(x<4.5\). यदि हम सामान्य भारतीय पाठ्यक्रम के अनुसार \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\) मानते हैं तो \(x\) के व्यवहार्य मान 1,2,3,4 हैं। अतः \(A=\{1,2,3,4\}\). निकटतम गलत विकल्पों का विश्लेषण: विकल्प B में 0 शामिल है — यह केवल तभी सही होगा जब प्रश्न में \(\mathbb{N}\) में 0 शामिल करने का स्पष्ट उल्लेख हो; विकल्प C में 5 है, परन्तु \(5\not<4.5\); विकल्प D में 1 की कमी है। परिक्षा-टिप: \(\mathbb{N}\) की परिभाषा (0 शामिल है या नहीं) परीक्षा के संदर्भ में याद रखें। / Solution: From \(2x+1<10\) we get \(2x<9\) so \(x<4.5\). Taking the standard convention in most Indian exams that \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\), the natural-number solutions are 1,2,3,4. Thus \(A=\{1,2,3,4\}\). Why other options fail: B adds 0 (only valid if \(\mathbb{N}\) is defined to include 0, which is not assumed here); C wrongly includes 5 which does not satisfy \(x<4.5\); D omits 1. Exam tip: check the convention for \(\mathbb{N}\) in the exam — many problems assume \(\mathbb{N}\) starts at 1 unless stated otherwise.
गणितीय परिभाषा के अनुसार \(P(A)\) (A का पावर सेट) के अवयव A के सभी उपसमुच्चय होते हैं। \(\{1,2\}\) A का उपसमुच्चय है इसलिए यह \(P(A)\) का अवयव है। विकल्प A (1) केवल A का एक तत्व है, उपसमुच्चय नहीं; विकल्प C \(\{4\}\) में 4 A का तत्व नहीं है; विकल्प D \(\{1,4\}\) में 4 A में नहीं है इसलिए वह भी उपसमुच्चय नहीं। परीक्षा-सुझाव: किसी सेट के पावर सेट में तभी सदस्य होता है जब वह सेट A के सभी तत्व A में से ही लिए गए हों — प्रत्येक विकल्प को उपसमुच्चय होने की शर्त से जाँचें। / By definition, \(P(A)\), the power set of A, consists of all subsets of A. \(\{1,2\}\) is a subset of A, so it belongs to \(P(A)\). Option A (1) is an element of A but not a subset; option C \(\{4\}\) contains 4 which is not in A; option D \(\{1,4\}\) includes 4 and thus is not a subset. Exam tip: To check membership in \(P(A)\), verify every element of the candidate set is also an element of A (i.e., check subset relation).
