Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
जिन (x)-मानों पर (p(x)=0) है वही कटान देते हैं। टिप: (p(a)=0) को सीधे (x=a) कटान मानें। / The (x)-values where (p(x)=0) give the intersections. Tip: read (p(a)=0) directly as an (x=a) cut.
A. यह y-अक्ष पर स्थित कटान है और इसमें y\neq0 है, इसलिए 7 शून्यक नहीं है/It is a y-axis intercept with y\neq0, so 7 is not a zero
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (root) का अर्थ वह x‑मान है जहाँ ग्राफ का y‑मान शून्य हो यानी बिंदु का दूसरा निर्देशांक 0 होना चाहिए (उदा. (a,0)). बिंदु (0,7) में y=7 है, इसलिए यह x‑अक्ष पर नहीं है बल्कि y‑अक्ष कटान (y‑intercept) है; 7 y‑सह‑निर्देशांक है न कि शून्यक। नज़दीकी भ्रम (विकल्प C) गलत है क्योंकि x=0 होना शर्त नहीं है कि y वह शून्यक हो—शून्यक के लिये y=0 चाहिए। परीक्षा सुझाव: रूट देखने के लिये हमेशा बिंदु का दूसरा निर्देशांक (y) 0 है या नहीं जांचें। / A zero (root) of a polynomial is an x‑value where the graph meets the x‑axis, so the point must have y=0 (e.g. (a,0)). The point (0,7) has y=7, so it is a y‑axis intercept (y‑intercept), not an x‑intercept; 7 is the y‑coordinate, not a root. The closest distractor (option C) is wrong because x=0 alone does not make 7 a root—the y coordinate must be 0. Exam tip: to identify a root from a point, always check that the second coordinate equals 0.
दोहराया शून्यक होने पर अलग (x)-मान केवल (2) है। टिप: अलग शून्यक गिनते समय समान बिंदु दो बार न गिनें। / For a repeated zero the only distinct (x)-value is (2). Tip: do not count the same point twice for distinct zeroes.
बहुपद के शून्यक वे x‑मान होते हैं जहाँ ग्राफ़ y=0 को काटता है (यानी x‑अक्ष के छेद)। दिए गए बिंदुओं में (1,0) और (4,0) x‑अक्ष पर हैं इसलिए शून्यक 1 और 4 हैं। (0,6) y‑अक्ष पर है (y=6), इसलिए 6 शून्यक नहीं है। निकटतम भ्रमित विकल्प C गलत है क्योंकि उसने 6 को भी शामिल किया जो y‑मान है न कि कोई x‑मान जहाँ y=0। टिप: शून्यक खोजते समय हमेशा बिंदु का y‑मान चेक करें — केवल y=0 वाले बिंदु दें। / Zeros (roots) of a polynomial are the x‑values where the graph meets y=0 (the x‑axis). Here (1,0) and (4,0) lie on the x‑axis, so the zeros are 1 and 4. The point (0,6) is a y‑intercept (y=6), so 6 is not a zero. The closest distractor (C) is wrong because it incorrectly includes 6, which is a y‑coordinate, not an x‑coordinate with y=0. Exam tip: verify y=0 for any intercept before calling its x‑value a root.
शून्यक (-7) और (-3) हैं और (-3) बड़ा है। टिप: संख्या रेखा पर दाईं ओर वाली संख्या बड़ी होती है। / The zeroes are (-7) and (-3) and (-3) is greater. Tip: the number to the right on the number line is greater.
x-2-9=0 हल करने पर x-2=9 ⇒ x=±3 मिलता है। इसलिए x-अक्ष पर कटबिंदु (-3, 0) और (3, 0) होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि (0,-9) y-अक्ष पर कटबिंदु है और (9,0) यहाँ किसी भी मान्य हल से सम्बंधित नहीं है (x=9 नहीं आता)। विकल्प C गलत है क्योंकि p(3)=0 है, p(3)=3 नहीं। परीक्षा-टिप: x-अक्ष के कटबिंदु पाने के लिए हमेशा p(x)=0 हल करें या p(x)= (x-3)(x+3) की तरह फैक्टरिंग पहचानें। / Solve x-2-9=0 ⇒ x-2=9 ⇒ x=±3, so the x-intercepts are (-3, 0) and (3, 0). Option B is incorrect because (0, -9) is the y-intercept and (9, 0) does not follow from the equation (x is not 9). Option C is wrong since p(3)=0, not 3. Option D is wrong because real x-intercepts do exist. Exam tip: set p(x)=0 or factor p(x) as (x-3)(x+3) to find x-intercepts quickly.
A. मूल बिंदु पर स्पर्श करता है \(x=0\)/It touches the x-axis at the origin
Explanation
Simple Explanation
\(p(x)=x^2\) के लिए x-अक्ष से मिलने के लिए \(p(x)=0\) हल करें: \(x^2=0\) से केवल \(x=0\) मिलता है। यह शून्य दोहराया शून्य है (multiplicity 2), इसलिए ग्राफ x-अक्ष पर पार न करके उस पर स्पर्श करता है। विकल्प B गलत है क्योंकि वह दो अलग शून्य मान मानता है; विकल्प C गलत है क्योंकि आलेख वास्तव में x-अक्ष से मिलता है; विकल्प D गलत है क्योंकि \(x=1\) पर \(p(1)\neq0\)। परीक्षा टिप: शून्य की multiplicity देखिए — सम multiplicity पर स्पर्श, विषम पर कटता है। / Set \(p(x)=0\): for \(p(x)=x^2\) we get \(x^2=0\), so the only root is \(x=0\). The root has multiplicity 2, so the parabola touches the x-axis at the origin and does not cross it. Option B is wrong because it assumes two distinct zeros; C is wrong because the graph does meet the axis; D is wrong because \(x=1\) is not a root. Exam tip: check the multiplicity of a zero — even multiplicity means the graph touches (tangent), odd multiplicity means it crosses.
x-अक्ष पर कटाव के लिए y-अर्थात् \(p(x)=0\) होना चाहिए। \(p(x)=(x-2)(x+5)\) में प्रत्येक कारक को शून्य रखें: \(x-2=0\) से \(x=2\) और \(x+5=0\) से \(x=-5\)। अतः x-अक्ष पर कटाव के बिंदु (2,0) और (-5,0) हैं। विकल्प B में संकेतों को उल्टा लिया गया है (सामान्य गलती), विकल्प C में x- और y-अक्ष की जगह बदल दी गयी है — वास्तव में \(p(0)= -10\) इसलिए y-अक्ष पर कटाव (0,-10) होगा, और विकल्प D अर्थहीन जोड़ी है। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर कटाव ज्ञात करने के लिए \(p(x)=0\) में प्रत्येक कारक को अलग से शून्य मानें; y-अक्ष के लिए x=0 लगाएँ। / x-axis intersections occur where \(p(x)=0\). For \(p(x)=(x-2)(x+5)\), set each factor to zero: \(x-2=0\) gives \(x=2\); \(x+5=0\) gives \(x=-5\). Hence the x-intercepts are (2,0) and (-5,0). Option B shows the signs reversed (common sign-error). Option C confuses x- and y-intercepts — in fact \(p(0)=-10\), so the y-intercept is (0,-10). Option D is an incorrect pair of points. Exam tip: To find x-intercepts set \(p(x)=0\); to find y-intercept put \(x=0\).
A. वास्तविक शून्यकों की संख्या जानना/To know the number of real zeroes
Explanation
Simple Explanation
(x)-अक्ष कटान वास्तविक शून्यकों की संख्या बताते हैं। टिप: ग्राफ से पहले कटान गिनें। / The (x)-axis intersections tell the number of real zeroes. Tip: first count intersections from the graph.
A. उसका एक वास्तविक शून्यक (-8) है/It has one real zero (-8)
Explanation
Simple Explanation
केवल एक कटान है और उसका (x)-मान (-8) है। टिप: कटान की संख्या और (x)-मान दोनों देखें। / There is only one intersection and its (x)-value is (-8). Tip: check both the count and the (x)-value.
