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Class 10 Mathematics - Real Numbers - Proof of irrationality of √2, √3, √5 Expert Quiz

Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Expert Class 10 Level 14

Level 14 • 3/50 questions • 25 seconds per question.

Level readiness 3/50 Questions
Time Left 01:15 25 sec/question
RewardsCoins + XP
ModeClassic Quiz
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Question 1 / 3 0 score
Answered 0/3 Correct 0 Time 01:15
Question 1/3 Expert Mathematics Real Numbers Irrational numbers Class 10 Level 14

यदि (p) और (q) सहअभाज्य पूर्णांक हैं तथा \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मान लिया जाए, तो विरोध किस रूप में मिलता है?

If (p) and (q) are coprime integers and \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) is assumed, in what form does the contradiction appear?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैंBoth (p) and (q) turn out divisible by (5)

Step 1

Concept

\(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने से \(p^2=5q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=5q^2\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (p) और फिर (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / This makes both (p) and (q) divisible by (5), contradicting that they are coprime.

Step 3

Exam Tip

प्रमाण में साझा गुणनखंड मिलना ही मुख्य विरोध है। / Finding a common factor is the key contradiction in the proof.

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Question 2/3 Expert Mathematics Real Numbers Irrational numbers Class 10 Level 14

यदि \(x=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\), तो (x-1) की प्रकृति क्या है?

If \(x=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\), what is the nature of (x-1)?

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Correct Answer

A. अपरिमेयIrrational

Step 1

Concept

\(x-1=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) है। / \(x-1=\sqrt{2}+\sqrt{3}\).

Step 2

Why this answer is correct

\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है, क्योंकि इसे परिमेय मानने पर वर्ग करने से \(\sqrt{6}\) परिमेय निकलने का विरोध आता है। / \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational, because assuming it rational and squaring would force \(\sqrt{6}\) to be rational.

Step 3

Exam Tip

अलग-अलग मूलों का योग सावधानी से जाँचें। / Check sums of different surds carefully.

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Question 3/3 Expert Mathematics Real Numbers Irrational numbers Class 10 Level 14

कौन-सा विकल्प \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}\) के परिमेय होने के दावे को गलत दिखाने में मदद करता है?

Which option helps show that the claim \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}\) is rational is false?

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Correct Answer

A. विभिन्न अपूर्ण वर्गों के मूल स्वतंत्र अपरिमेय भाग देते हैंRoots of different non-perfect squares give independent irrational parts

Step 1

Concept

\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{6}\) अलग-अलग अपूर्ण वर्गों से जुड़े हैं। / \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{6}\) are linked to different non-perfect squares.

Step 2

Why this answer is correct

इनके अपरिमेय भाग सामान्य जोड़ से पूरी तरह नहीं कटते, इसलिए योग परिमेय नहीं बनता। / Their irrational parts do not cancel through ordinary addition, so the sum is not rational.

Step 3

Exam Tip

ऐसे दावों में गलत पहचान जैसे \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) से बचें। / Avoid false identities such as \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\).

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