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Class 10 Mathematics - Real Numbers - Proof of irrationality of √2, √3, √5 Expert Quiz

Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Expert Class 10 Level 13

Level 13 • 3/50 questions • 25 seconds per question.

Level readiness 3/50 Questions
Time Left 01:15 25 sec/question
RewardsCoins + XP
ModeClassic Quiz
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Question 1 / 3 0 score
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Question 1/3 Expert Mathematics Real Numbers Irrational numbers Class 10 Level 13

यदि (p) अभाज्य संख्या है, तो \(\sqrt{p}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने में कौन-सा मुख्य विचार काम आता है?

If (p) is a prime number, which main idea is used to prove that \(\sqrt{p}\) is irrational?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. यदि \(p\mid a^2\), तो \(p\mid a\)If \(p\mid a^2\), then \(p\mid a\)

Step 1

Concept

प्रमाण में \(\sqrt{p}=\frac{a}{b}\) मानकर वर्ग किया जाता है। / In the proof, assume \(\sqrt{p}=\frac{a}{b}\) and square both sides.

Step 2

Why this answer is correct

\(a^2=pb^2\) से \(p\mid a^2\) मिलता है, इसलिए \(p\mid a\) का विचार प्रयोग होता है। / From \(a^2=pb^2\), we get \(p\mid a^2\), so the idea \(p\mid a\) is used.

Step 3

Exam Tip

अभाज्य गुणनखंड वाला तर्क विरोध तक पहुँचाता है। / The prime factor argument leads to a contradiction.

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Question 2/3 Expert Mathematics Real Numbers Irrational numbers Class 10 Level 13

कौन-सा विकल्प बताता है कि \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है?

Which option explains why \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational?

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Correct Answer

A. यदि यह परिमेय हो, तो वर्ग करने पर \(5+2\sqrt{6}\) परिमेय होगा और \(\sqrt{6}\) परिमेय निकल आएगाIf it were rational, squaring would make \(5+2\sqrt{6}\) rational and then \(\sqrt{6}\) would be rational

Step 1

Concept

मान लें \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) परिमेय है। / Assume \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is rational.

Step 2

Why this answer is correct

वर्ग करने पर \(5+2\sqrt{6}\) परिमेय होगा, जिससे \(\sqrt{6}\) परिमेय मानना पड़ेगा, जो गलत है। / Squaring gives \(5+2\sqrt{6}\) rational, which would force \(\sqrt{6}\) to be rational, impossible.

Step 3

Exam Tip

दो अलग मूलों के योग में वर्ग विधि उपयोगी होती है। / Squaring is useful for sums of two different surds.

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Question 3/3 Expert Mathematics Real Numbers Irrational numbers Class 10 Level 13

कौन-सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में गलत कदम है?

Which option is a wrong step in the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)?

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Correct Answer

D. \(p^2=2q^2\) से (q) सम है, सीधे मान लेनाDirectly assuming from \(p^2=2q^2\) that (q) is even

Step 1

Concept

\(p^2=2q^2\) से पहले \(p^2\) सम और फिर (p) सम मिलता है। / From \(p^2=2q^2\), first \(p^2\) is even and hence (p) is even.

Step 2

Why this answer is correct

(p=2k) रखने के बाद \(q^2=2k^2\) से (q) सम निकलता है। / After writing (p=2k), we get \(q^2=2k^2\), so (q) is even.

Step 3

Exam Tip

प्रमाण में क्रम छोड़ने से तर्क अधूरा हो जाता है। / Skipping this order makes the proof incomplete.

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