Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
ठीक दो (=(36-14)+(33-14)+(31-14)=58) है। हर जोड़ी में केंद्रीय भाग शामिल होता है, इसलिए उसे घटाएं। / Exactly two (=(36-14)+(33-14)+(31-14)=58). Each pairwise intersection includes the central part, so subtract it.
सूत्र में (162=82+76+70-34-30-27+x) होगा, इसलिए (x=15)। अज्ञात केंद्रीय भाग के लिए समीकरण बनाएं। / In the formula (162=82+76+70-34-30-27+x), so (x=15). Form an equation for the unknown central part.
तीन समुच्चयों के लिए (n(A)=72), (n(B)=66), (n(C)=59), (n\(A\cap B\)=28), (n\(B\cap C\)=24), (n\(C\cap A\)=22) और (n\(A\cap B\cap C\)=9) है। (n\(A\cup B\cup C\)) कितना है?
तीन समुच्चयों का संघ (72+66+59-28-24-22+9=132) है। जोड़ी प्रतिच्छेद घटाने के बाद केंद्रीय भाग वापस जोड़ें। / The union of three sets is (72+66+59-28-24-22+9=132). After subtracting pairwise intersections, add the central part back.
क्योंकि (A) पूरा (C) में है, इसलिए (n(C-A)=132-37=95)। हटाए गए समुच्चय को ही घटाएं। / Since (A) lies completely inside (C), (n(C-A)=132-37=95). Subtract only the set being removed.
\(B^c\) में (U) के वे तत्व हैं जो (B) में नहीं हैं, इसलिए (150-108=42)। उपसमुच्चय जानकारी यहां जाल है। / \(B^c\) contains elements of (U) that are not in (B), so (150-108=42). The subset information is a trap here.
प्रतिच्छेद किसी भी समुच्चय से बड़ा नहीं हो सकता, इसलिए अधिकतम मान (74) है। अधिकतम के लिए छोटे समुच्चय का मान देखें। / The intersection cannot be larger than either set, so the maximum value is (74). For maximum, use the smaller set.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (n(A)+n(B)-n(U)=92+83-160=15) है। कुल संख्या (U) से अधिक हो तो अतिरिक्त भाग साझा होना जरूरी है। / The minimum intersection is (n(A)+n(B)-n(U)=92+83-160=15). If the total exceeds (U), the extra part must be common.
संघ के तीन अलग भाग होते हैं, इसलिए (n\(A\cap B\)=148-52-43=53)। अलग क्षेत्रों को केवल एक बार गिनें। / The union has three separate parts, so (n\(A\cap B\)=148-52-43=53). Count each separate region only once.
पहले (n\(A\cup B\)=210-58=152), फिर (n\(A\cap B\)=96+88-152=32)। बाहर का भाग मिले तो पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=210-58=152), then (n\(A\cap B\)=96+88-152=32). If the outside part is given, find the union first.
संघ के भागों से (x+2x+15=75), इसलिए (3x=60) और (x=20)। अज्ञात क्षेत्र को समीकरण से हल करें। / From the union regions, (x+2x+15=75), so (3x=60) and (x=20). Solve unknown regions by forming an equation.
संघ (=) ठीक एक (+) ठीक दो (+) तीनों होता है। इसलिए ठीक एक (180-70-20=90)। / The union equals exactly one plus exactly two plus all three. Therefore exactly one is (180-70-20=90).
पहले (n\(A\cap B\)=73+67-115=25)। फिर (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (150-25=125), अतः दिए गए विकल्पों में कोई सही नहीं है। / First (n\(A\cap B\)=73+67-115=25). Then (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (150-25=125), hence none of the given options is correct.
(A\triangle B=\(A\cap B^c\)\cup\(A^c\cap B\)), इसलिए इसका मान (44+36=80) होना चाहिए। (92) दिया है, इसलिए आंकड़े असंगत हैं। / (A\triangle B=\(A\cap B^c\)\cup\(A^c\cap B\)), so its value should be (44+36=80). Since (92) is given, the data are inconsistent.
तीन अंदरूनी भागों का योग (33+27+18=78) है, इसलिए बाहर (110-78=32)। चार क्षेत्र मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / The sum of the three inside regions is (33+27+18=78), so outside is (110-78=32). The four regions together form the whole (U).
वितरण नियम से (\(A\cup B\)\cap\(A\cup B^c\)=A\cup\(B\cap B^c\)=A)। क्योंकि \(B\cap B^c=\varnothing\)। / By distributive law, (\(A\cup B\)\cap\(A\cup B^c\)=A\cup\(B\cap B^c\)=A). This is because \(B\cap B^c=\varnothing\).
(A) दो भागों में बंटता है, \(A\cap B\) और \(A\cap B^c\)। दोनों का संघ पूरा (A) बनाता है। / (A) splits into two parts, \(A\cap B\) and \(A\cap B^c\). Their union forms the whole of (A).
(A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (120-22=98)। साझा भाग का पूरक पूरे (U) से साझा भाग घटाकर मिलता है। / (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (120-22=98). The complement of the common part is found by subtracting it from (U).
\(A^c\) में (B-A) और बाहर का भाग आएगा, इसलिए (30+15=45)। (A) के बाहर के सभी क्षेत्रों को जोड़ें। / \(A^c\) includes (B-A) and the outside region, so (30+15=45). Add all regions outside (A).
डी मॉर्गन से (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए इसका मान (170-44=126) होना चाहिए। (146) मिलने से आंकड़े असंगत हैं। / By De Morgan's law, (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so its value should be (170-44=126). Since (146) is given, the data are inconsistent.
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), इसलिए (160-125=35)। डी मॉर्गन नियम से बाहर का क्षेत्र पहचानें। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), so (160-125=35). Use De Morgan's law to identify the outside region.
पहले (n(B-A)=104-37-26=41), फिर (n(B)=41+26=67)। (B) में केवल (B) और साझा भाग दोनों जोड़ें। / First (n(B-A)=104-37-26=41), then (n(B)=41+26=67). Add only (B) and the common part to get (B).
कुल सदस्यता (82+76+70=228) है। यह ठीक एक \(+2\times54+3\times18\) के बराबर है, इसलिए ठीक एक (228-108-54=66)। / Total memberships are (82+76+70=228). This equals exactly one \(+2\times54+3\times18\), so exactly one is (228-108-54=66).
संघ में ठीक एक, ठीक दो और तीनों वाले सभी भाग आते हैं। इसलिए (71+46+15=132)। / The union includes the regions of exactly one, exactly two, and all three. Hence (71+46+15=132).
तीन समुच्चयों में (n\(A\cup B\cup C\)=150), केवल (A=32), केवल (B=28), केवल (C=24), केवल \(A\cap B=18\), केवल \(B\cap C=16\) और केवल \(C\cap A=14\) हैं। (n\(A\cap B\cap C\)) कितना होगा?
ज्ञात छह अंदरूनी क्षेत्रों का योग (32+28+24+18+16+14=132) है, इसलिए केंद्रीय भाग (150-132=18)। संघ में सभी सात अंदरूनी क्षेत्र आते हैं। / The sum of six known inside regions is (32+28+24+18+16+14=132), so the central part is (150-132=18). The union contains all seven inside regions.
एक सर्वे में (n(U)=200), (n(A)=96), (n(B)=88), (n(C)=74), (n\(A\cap B\)=40), (n\(B\cap C\)=31), (n\(C\cap A\)=29) और (n\(A\cap B\cap C\)=12) हैं। किसी भी समुच्चय में नहीं आने वाले कितने हैं?
संघ (96+88+74-40-31-29+12=170) है, इसलिए कोई नहीं (200-170=30)। पहले तीन-समुच्चय संघ निकालें। / The union is (96+88+74-40-31-29+12=170), so none is (200-170=30). First find the three-set union.
(A) से साझा भाग (55-20=35), लेकिन (B) से (50-18=32) मिलता है। दोनों बराबर नहीं हैं, इसलिए आंकड़े असंगत हैं। / From (A), the common part is (55-20=35), but from (B), it is (50-18=32). Since these are not equal, the data are inconsistent.
