यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x-3 -5), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x-3 -5), what is (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#cubic-transformation
#injective
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D वर्ग फलन / Quadratic function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x^3\) बढ़ता हुआ फलन है। / \(x^3\) is an increasing function.
Step 2
Why this answer is correct
\(2x^3-5\) में गुणा और स्थिरांक घटाने से क्रम नहीं टूटता। / Multiplication by (2) and subtracting a constant do not break the order.
Step 3
Exam Tip
\(2a^3-5=2b^3-5\) से (a=b) मिलेगा। / From \(2a^3-5=2b^3-5\), we get (a=b).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-5 ), तो (f) की एकैकीता के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-5 ), what is the correct statement about the one-one nature of (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#odd-power
#injective
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल पूर्णांकों पर एकैकी है / It is one-one only on integers
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Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
विषम घात \(x^5\) वास्तविक संख्याओं पर बढ़ती रहती है। / The odd power \(x^5\) keeps increasing on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(a^5=b^5\) होने पर (a=b) ही होगा। / If \(a^5=b^5\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
विषम घात वाले सरल फलन अक्सर एकैकी होते हैं जब उनका क्षेत्र पूरा वास्तविक समुच्चय हो। / Simple odd-power functions are often one-one on the whole real set.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +1) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option about \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +1).
#relations-functions
#one-one-function
#cubic
#injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल धनात्मक क्षेत्र में परिभाषित है / Defined only on positive domain
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x^3\) वास्तविक संख्याओं पर बढ़ता हुआ है। / \(x^3\) is increasing on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
किसी बढ़ते फलन में स्थिरांक (1) जोड़ने से एकैकीता नहीं बदलती। / Adding the constant (1) does not change one-one nature.
Step 3
Exam Tip
\(a^3+1=b^3+1\) से (a=b) मिल जाता है। / From \(a^3+1=b^3+1\), we get (a=b).
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=2x), तो (f) के लिए सही विकल्प कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=2x), which option is correct for (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#integers
#injective
A एकैकी नहीं क्योंकि केवल सम मान मिलते हैं / Not one-one because only even values are obtained
B एकैकी है क्योंकि (2a=2b) से (a=b) / One-one because (2a=2b) gives (a=b)
C स्थिर फलन है / It is constant
D फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
B. एकैकी है क्योंकि (2a=2b) से (a=b) / One-one because (2a=2b) gives (a=b)
Step 1
Concept
एकैकीता में सहप्रांत के सभी मान मिलना जरूरी नहीं होता। / For one-one nature, it is not necessary to get every value of the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
(f(a)=f(b)) देने पर (2a=2b) और इसलिए (a=b)। / If (f(a)=f(b)), then (2a=2b), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
परास छोटा हो सकता है फिर भी फलन एकैकी हो सकता है। / The range may be smaller, yet the function can still be one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 ) की एकैकीता के बारे में सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option about the one-one nature of \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 ).
#relations-functions
#one-one-function
#cubic-function
#injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है क्योंकि \(x^3\) में घात विषम है / It is not one-one because the power is odd
C केवल शून्य पर परिभाषित है / Defined only at zero
D स्थिर फलन है / It is constant
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x^3\) बढ़ता हुआ फलन है। / \(x^3\) is an increasing function.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^3=b^3\) तो (a=b) ही होगा। / If \(a^3=b^3\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
पूरे वास्तविक समुच्चय पर \(x^3\) एकैकी का अच्छा उदाहरण है। / On the whole real set, \(x^3\) is a good example of a one-one function.
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यदि फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=3x-7) से परिभाषित किया गया है तो यह कैसा फलन है?
If the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=3x-7), what type of function is it?
#relations-functions
#one-one-function
#injective
#linear-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C केवल स्थिर / Constant only
D परिभाषित नहीं / Not defined
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
एकैकी जाँच के लिए (f(a)=f(b)) मानते हैं। / To test one-one, assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(3a-7=3b-7) से (a=b) मिलता है इसलिए अलग-अलग मानों की छवि अलग होगी। / From (3a-7=3b-7), we get (a=b), so different inputs have different images.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में रैखिक फलन (mx+c) में \(m\neq 0\) हो तो वह एकैकी होता है। / In exams, a linear function (mx+c) with \(m\neq 0\) is one-one.
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यदि \(f:A\to B\) एकैकी है और (f(a)=f(b)), तो क्या निष्कर्ष निकलेगा?
If \(f:A\to B\) is one-one and (f(a)=f(b)), what conclusion follows?
#one-one function
#definition
#injective
#class 12
A (a=b)
B \(a\neq b\)
C (f(a)=0)
D (A=B)
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Step 1
Concept
एकैकी फलन की मूल पहचान यही है कि समान निर्गत तभी मिले जब निवेश समान हों। / The main property of a one-one function is that equal outputs come only from equal inputs.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(a)=f(b)) से सीधे (a=b) मिलता है। / Therefore (f(a)=f(b)) directly gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
परिभाषा आधारित प्रश्नों में इसी विचार को तुरंत लागू करें। / In definition-based questions, apply this property first.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=ax+b) एकैकी है, तो (a) के लिए कौन सी शर्त जरूरी है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=ax+b) is one-one, which condition on (a) is necessary?
#linear-function
#injective
#parameter
A (a=0)
B \(a\neq 0\)
C (b=0)
D (a=b)
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Correct Answer
B. \(a\neq 0\)
Step 1
Concept
यदि (a=0), तो (f(x)=b) स्थिर फलन बन जाएगा। / If (a=0), then (f(x)=b) becomes a constant function.
Step 2
Why this answer is correct
स्थिर फलन एकैकी नहीं हो सकता। / A constant function cannot be one-one.
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन (ax+b) के एकैकी होने के लिए \(a\neq 0\) जरूरी है। / Therefore, a linear function (ax+b) is one-one only when \(a\neq 0\).
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यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) दोनों एक-एकी हैं, तो \(g\circ f\) कैसा होगा?
If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) are both one-one, what can be said about \(g\circ f\)?
#composition
#one one functions
#injective
#medium
A एक-एकी / One-one
B आच्छादक ही होगा / Must be onto
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एक-एकी / One-one
Step 1
Concept
मान लें (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\))। / Suppose (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)).
Step 2
Why this answer is correct
(g) एक-एकी है, इसलिए (f\(a_1\)=f\(a_2\))। / Since (g) is one-one, (f\(a_1\)=f\(a_2\)).
Step 3
Exam Tip
(f) एक-एकी है, इसलिए \(a_1=a_2\), अतः संयुक्त फलन एक-एकी है। / Since (f) is one-one, \(a_1=a_2\), so the composite is one-one.
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फलन \(f:R\to R\), (f(x)=5x-2) एक-एकी क्यों है?
Why is \(f:R\to R\), (f(x)=5x-2), one-one?
#one one proof
#linear function
#injective
A क्योंकि (f(a)=f(b)) से (a=b) मिलता है / Because (f(a)=f(b)) gives (a=b)
B क्योंकि सभी छवियाँ समान हैं / Because all images are the same
C क्योंकि यह स्थिर है / Because it is constant
D क्योंकि इसका परास ({-2}) है / Because its range is ({-2})
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(a)=f(b)) से (a=b) मिलता है / Because (f(a)=f(b)) gives (a=b)
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (5a-2=5b-2), इसलिए (5a=5b)। / Then (5a-2=5b-2), so (5a=5b).
Step 3
Exam Tip
इससे (a=b) मिलता है, इसलिए फलन एक-एकी है। / This gives (a=b), so the function is one-one.
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यदि अलग-अलग आगतों की छवियाँ हमेशा अलग हों, तो फलन कैसा कहलाता है?
If different inputs always have different images, what is the function called?
#one one function
#injective
#function property
#basic
A एक-एकी फलन / One-one function
B स्थिर फलन / Constant function
C बहु-एकी फलन / Many-one function
D शून्य फलन / Zero function
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Correct Answer
A. एक-एकी फलन / One-one function
Step 1
Concept
एक-एकी फलन की मुख्य पहचान अलग आगतों की अलग छवि है। / The main feature of a one-one function is that different inputs have different images.
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है दो अलग अवयव एक ही छवि नहीं देंगे। / This means two different elements do not map to the same image.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ऐसा फलन एक-एकी कहलाता है। / Therefore such a function is called one-one.
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फलन \(f:R\to R\), (f(x)=3x+1) एक-एकी क्यों है?
Why is \(f:R\to R\), (f(x)=3x+1), one-one?
#one one proof
#linear function
#injective
#easy
A क्योंकि (f(a)=f(b)) से (a=b) मिलता है / Because (f(a)=f(b)) gives (a=b)
B क्योंकि सभी मान समान हैं / Because all values are the same
C क्योंकि यह स्थिर है / Because it is constant
D क्योंकि इसका परास केवल ({1}) है / Because its range is only ({1})
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(a)=f(b)) से (a=b) मिलता है / Because (f(a)=f(b)) gives (a=b)
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (3a+1=3b+1), इसलिए (3a=3b) और (a=b)। / Then (3a+1=3b+1), so (3a=3b) and (a=b).
Step 3
Exam Tip
इसलिए अलग आगतों की छवियाँ अलग होंगी और फलन एक-एकी है। / Hence different inputs have different images, so the function is one-one.
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यदि \(f:A\to B\) एक-एकी है, तो कौन-सा कथन सही है?
If \(f:A\to B\) is one-one, which statement is correct?
#one one function
#injective
#function property
#basic
A अलग-अलग आगतों की छवियाँ अलग होती हैं / Different inputs have different images
B सभी आगतों की छवि समान होती है / All inputs have the same image
C सहप्रान्त हमेशा रिक्त होता है / The codomain is always empty
D हर छवि के दो पूर्वछवि होते हैं / Every image has two preimages
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Correct Answer
A. अलग-अलग आगतों की छवियाँ अलग होती हैं / Different inputs have different images
Step 1
Concept
एक-एकी फलन में दो अलग आगत एक ही छवि नहीं दे सकते। / In a one-one function, two different inputs cannot have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए अलग-अलग आगतों की छवियाँ अलग होती हैं। / Therefore different inputs have different images.
Step 3
Exam Tip
यदि दो अलग आगतों की छवि समान मिले, तो फलन एक-एकी नहीं होगा। / If two different inputs give the same image, the function is not one-one.
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