Make the first pair a block giving \(2\cdot5!\), then subtract cases where the second pair is adjacent, \(2\cdot2\cdot4!\). Use block and subtraction together in mixed circular constraints.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (360). Make the first pair a block giving \(2\cdot5!\), then subtract cases where the second pair is adjacent, \(2\cdot2\cdot4!\). Use block and subtraction together in mixed circular constraints.
Step 3
Exam Tip
पहली जोड़ी को ब्लॉक बनाकर कुल \(2\cdot5!\) हैं और दूसरी जोड़ी साथ हो तो \(2\cdot2\cdot4!\) घटाएँ। मिश्रित वृत्तीय शर्तों में block और subtraction साथ प्रयोग करें।
(12) अलग-अलग पुरस्कारों को (5) विद्यार्थियों में बाँटना है, यदि एक विद्यार्थी को (4) पुरस्कार और बाकी (4) विद्यार्थियों को (2)-(2) पुरस्कार मिलें। वितरण के कितने तरीके हैं?
Choose the student receiving (4) prizes in (5) ways and distribute as (\frac{12!}{4!(2!)4}). For distinct objects in fixed group sizes, divide by group factorials.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (207900). Choose the student receiving (4) prizes in (5) ways and distribute as (\frac{12!}{4!(2!)4}). For distinct objects in fixed group sizes, divide by group factorials.
Step 3
Exam Tip
(4) पुरस्कार पाने वाला विद्यार्थी (5) तरीकों से चुनेगा और वितरण (\frac{12!}{4!(2!)4}) से होगा। वस्तुएँ अलग हों तो समूह-आकारों से भाग दें।
There are (11) letters and (B,I) each repeat (2) times, so the count is \(\frac{11!}{2!2!}\). Count letter frequencies carefully in long words.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1814400). There are (11) letters and (B,I) each repeat (2) times, so the count is \(\frac{11!}{2!2!}\). Count letter frequencies carefully in long words.
Step 3
Exam Tip
कुल (11) अक्षर हैं और (B,I) प्रत्येक (2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{2!2!}\) है। बड़े शब्दों में अक्षर आवृत्ति सावधानी से गिनें।
Any chosen set of (5) digits has only (1) increasing order, so the count is (8C5). If the order is fixed, count only selection.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (56). Any chosen set of (5) digits has only (1) increasing order, so the count is (8C5). If the order is fixed, count only selection.
Step 3
Exam Tip
किसी भी चुने गए (5) अंकों का बढ़ता हुआ क्रम केवल (1) होता है, इसलिए संख्या (8C5) है। क्रम निश्चित हो तो केवल चयन गिनें।
Total arrangements are \(\frac{8!}{2!}\), and adjacent (C) cases are (7!), so separated cases are (20160-5040). For separated objects, subtract adjacent cases from total.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (10080). Total arrangements are \(\frac{8!}{2!}\), and adjacent (C) cases are (7!), so separated cases are (20160-5040). For separated objects, subtract adjacent cases from total.
Step 3
Exam Tip
कुल \(\frac{8!}{2!}\) और (C) साथ वाले (7!) हैं, इसलिए अलग रहने वाली (20160-5040) हैं। अलग रहने पर कुल से साथ वाला case घटाएँ।
Fix one particular student; the other is fixed opposite, and the remaining (6) students can be seated in (6!) ways. For opposite-seat circular problems, fix one person.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (720). Fix one particular student; the other is fixed opposite, and the remaining (6) students can be seated in (6!) ways. For opposite-seat circular problems, fix one person.
Step 3
Exam Tip
एक निश्चित विद्यार्थी को स्थिर करें, दूसरा उसके सामने निश्चित होगा और बाकी (6) विद्यार्थी (6!) तरीकों से बैठेंगे। सामने की सीट वाली वृत्तीय समस्या में एक व्यक्ति स्थिर करें।
(10) अलग-अलग लोगों को एक पंक्ति में बैठाया जाता है। दो निश्चित लोग साथ-साथ बैठें और तीसरा निश्चित व्यक्ति उनके किसी भी सिरे पर न बैठे, ऐसे कितने क्रम हैं?
Treat the adjacent pair as a block giving \(9!\cdot2\), then subtract cases where the third person is at an end, \(2\cdot8!\cdot2\). For combined conditions, count a simple total and subtract forbidden cases.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (580608). Treat the adjacent pair as a block giving \(9!\cdot2\), then subtract cases where the third person is at an end, \(2\cdot8!\cdot2\). For combined conditions, count a simple total and subtract forbidden cases.
Step 3
Exam Tip
दो साथ बैठे लोगों को ब्लॉक मानकर \(9!\cdot2\) से वे cases घटाएँ जहाँ तीसरा व्यक्ति सिरों पर है, जो \(2\cdot8!\cdot2\) हैं। संयुक्त शर्तों में पहले आसान कुल बनाकर निषिद्ध घटाएँ।
Place (T,E) at the two ends in (2!) ways and arrange the remaining (6) letters in (6!) ways. For endpoint constraints, fill endpoints first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (10080). Place (T,E) at the two ends in (2!) ways and arrange the remaining (6) letters in (6!) ways. For endpoint constraints, fill endpoints first.
Step 3
Exam Tip
दो सिरों पर (T,E) को (2!) तरीकों से रखें और बीच के (6) अक्षर (6!) तरीकों से सजाएँ। सिरों की शर्त में endpoints पहले भरें।
Choose the other (4) digits from (8); (0) can occupy (4) non-first positions, and the rest arrange in (4!) ways. Count zero positions separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (6720). Choose the other (4) digits from (8); (0) can occupy (4) non-first positions, and the rest arrange in (4!) ways. Count zero positions separately.
Step 3
Exam Tip
बाकी (4) अंक (8) में से चुनें और (5) स्थानों में (0) पहले स्थान को छोड़कर (4) स्थानों पर हो सकता है, फिर (4!) क्रम हैं। शून्य के स्थानों को अलग गिनें।
The two particular letters are selected, choose (3) more from (7), and arrange the block and others in \(4!\cdot2!\) ways. In partial selection, fix chosen objects first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3360). The two particular letters are selected, choose (3) more from (7), and arrange the block and others in \(4!\cdot2!\) ways. In partial selection, fix chosen objects first.
Step 3
Exam Tip
दोनों निश्चित अक्षर चुने जाते हैं, बाकी (3) अक्षर (7) में से चुनें और ब्लॉक सहित \(4!\cdot2!\) क्रम बनते हैं। आंशिक चयन में पहले चुनी हुई वस्तुएँ तय करें।
(5) अलग-अलग गणित की और (4) अलग-अलग भौतिकी की पुस्तकों को शेल्फ पर सजाना है। किसी भी दो भौतिकी पुस्तकों के बीच कम से कम एक गणित पुस्तक हो, ऐसे कितने क्रम हैं?
Arrange mathematics books in (5!) ways and place (4) physics books in (6) gaps in (6P4) ways. Use the gaps method for separation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (86400). Arrange mathematics books in (5!) ways and place (4) physics books in (6) gaps in (6P4) ways. Use the gaps method for separation.
Step 3
Exam Tip
पहले गणित पुस्तकों को (5!) तरीकों से रखें और (6) खाली स्थानों में (4) भौतिकी पुस्तकें (6P4) तरीकों से रखें। बीच में अलगाव के लिए gaps method लगाएं।
Subtract adjacent cases \(2\cdot7!\) from total (8!). For two special objects not adjacent, subtract the block case from total.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (35280). Subtract adjacent cases \(2\cdot7!\) from total (8!). For two special objects not adjacent, subtract the block case from total.
Step 3
Exam Tip
कुल (8!) व्यवस्थाओं से (E,O) साथ वाले \(2\cdot7!\) घटाएँ। दो विशेष वस्तुओं के न-साथ होने पर कुल से ब्लॉक-केस घटाएँ।
The particular flag is fixed at the first position, and the remaining (3) places are filled in (9P3) ways. Lock the fixed position first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (504). The particular flag is fixed at the first position, and the remaining (3) places are filled in (9P3) ways. Lock the fixed position first.
Step 3
Exam Tip
विशेष झंडा पहले स्थान पर तय है और बाकी (3) स्थान (9P3) तरीकों से भरेंगे। तय स्थान को पहले लॉक करें।
There are (7) letters with (S,C) repeated (3,2) times, so the count is \(\frac{7!}{3!2!}\). Do not count repeated letters as distinct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (420). There are (7) letters with (S,C) repeated (3,2) times, so the count is \(\frac{7!}{3!2!}\). Do not count repeated letters as distinct.
Step 3
Exam Tip
कुल (7) अक्षर हैं और (S,C) क्रमशः (3,2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{7!}{3!2!}\) है। पुनरावृत्त अक्षरों को अलग-अलग न गिनें।
The last two digits can only be (25,75), and the first two places are filled in (6P2) ways. For divisibility by (25), fix the last two digits.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (60). The last two digits can only be (25,75), and the first two places are filled in (6P2) ways. For divisibility by (25), fix the last two digits.
Step 3
Exam Tip
अंतिम दो अंक केवल (25,75) हो सकते हैं और पहले दो स्थान (6P2) तरीकों से भरते हैं। (25) से विभाज्यता में अंतिम दो अंक तय करें।
The row may start with a boy or a girl, giving (2) patterns, each with \(6!\cdot6!\) orders. Equal numbers create two alternating patterns.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\cdot6!\cdot6!\). The row may start with a boy or a girl, giving (2) patterns, each with \(6!\cdot6!\) orders. Equal numbers create two alternating patterns.
Step 3
Exam Tip
शुरुआत लड़के या लड़की से हो सकती है, इसलिए (2) पैटर्न हैं और हर पैटर्न में \(6!\cdot6!\) क्रम हैं। बराबर संख्या पर दो वैकल्पिक पैटर्न बनते हैं।
Total arrangements are \(\frac{7!}{2!}\) and together cases are (6!), so the difference is (2520-720). For not-together cases, subtract together cases from total.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1800). Total arrangements are \(\frac{7!}{2!}\) and together cases are (6!), so the difference is (2520-720). For not-together cases, subtract together cases from total.
Step 3
Exam Tip
कुल \(\frac{7!}{2!}\) और साथ वाले (6!) हैं, इसलिए अंतर (2520-720) है। न-साथ वाली स्थिति में कुल से साथ वाली घटाएँ।
Treat the three people as one block; (6) units around a circle give (5!), and the block has (3!) internal orders. Circular blocks reduce the number of units.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (4320). Treat the three people as one block; (6) units around a circle give (5!), and the block has (3!) internal orders. Circular blocks reduce the number of units.
Step 3
Exam Tip
तीन लोगों को एक ब्लॉक मानकर (6) इकाइयों की वृत्तीय व्यवस्था (5!) है और ब्लॉक के अंदर (3!) क्रम हैं। वृत्तीय ब्लॉक में इकाइयों की संख्या घटती है।
(9) अलग-अलग विद्यार्थियों में से (6) को एक पंक्ति में बैठाना है। एक निश्चित विद्यार्थी अवश्य बैठे और दूसरा निश्चित विद्यार्थी न बैठे, ऐसे कितने क्रम हैं?
With the compulsory student, choose (5) more from the remaining (7) and arrange (6!) ways. Apply inclusion and exclusion conditions first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (15120). With the compulsory student, choose (5) more from the remaining (7) and arrange (6!) ways. Apply inclusion and exclusion conditions first.
Step 3
Exam Tip
अनिवार्य विद्यार्थी के साथ बाकी (5) विद्यार्थी (7) में से चुनें और (6!) तरीकों से सजाएँ। शामिल और बाहर वाली शर्तें पहले लगाएं।
There are (14) valid ordered endings; endings without (0) give \(5\cdot5P2\) and endings with (0) give (6P3). For divisibility by (4), check the last two digits.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (780). There are (14) valid ordered endings; endings without (0) give \(5\cdot5P2\) and endings with (0) give (6P3). For divisibility by (4), check the last two digits.
Step 3
Exam Tip
अंतिम दो अंकों के (14) वैध क्रम हैं; जिनमें (0) नहीं है उनके लिए \(5\cdot5P2\) और जिनमें (0) है उनके लिए (6P3) गिनें। (4) से विभाज्यता में अंतिम दो अंक देखें।
The two particular people are selected, choose (3) more from (6), then arrange the block and others in \(4!\cdot2!\) ways. Choose first, then arrange.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1440). The two particular people are selected, choose (3) more from (6), then arrange the block and others in \(4!\cdot2!\) ways. Choose first, then arrange.
Step 3
Exam Tip
दोनों विशेष लोग चुने जाएँगे, बाकी (3) लोग (6) में से चुने जाएँगे और ब्लॉक सहित \(4!\cdot2!\) क्रम होंगे। पहले चयन, फिर व्यवस्था करें।
Total arrangements are \(\frac{7!}{2!}\), and the (3) distinct vowels have (3!) equally likely orders, so divide by (3!). For order restrictions, divide by possible orders.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (840). Total arrangements are \(\frac{7!}{2!}\), and the (3) distinct vowels have (3!) equally likely orders, so divide by (3!). For order restrictions, divide by possible orders.
Step 3
Exam Tip
कुल \(\frac{7!}{2!}\) व्यवस्थाएँ हैं और (3) अलग स्वरों के (3!) क्रम समान रूप से संभव हैं, इसलिए भाग दें। क्रम-प्रतिबंध में अक्सर कुल को संभव क्रमों से बाँटते हैं।
For a necklace, the count is (\frac{(7-1)!}{2}) because reflection is also identical. Remember the difference between circular arrangements and necklaces.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (360). For a necklace, the count is (\frac{(7-1)!}{2}) because reflection is also identical. Remember the difference between circular arrangements and necklaces.
Step 3
Exam Tip
माला के लिए संख्या (\frac{(7-1)!}{2}) होती है क्योंकि पलटाव भी समान है। वृत्त और माला में अंतर याद रखें।
If both are selected, count \(8C2\cdot4!\); if both are not selected, count \(8C4\cdot4!\). Split such problems into cases and add.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (4368). If both are selected, count \(8C2\cdot4!\); if both are not selected, count \(8C4\cdot4!\). Split such problems into cases and add.
Step 3
Exam Tip
दोनों चुने जाने पर \(8C2\cdot4!\) और दोनों न चुने जाने पर \(8C4\cdot4!\) मिलते हैं। ऐसे प्रश्नों में cases अलग करके जोड़ें।
The thousands digit is (3,4,5,6), and the remaining (3) places can be filled in (7P3) ways. For range questions, fix the first digit first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (840). The thousands digit is (3,4,5,6), and the remaining (3) places can be filled in (7P3) ways. For range questions, fix the first digit first.
Step 3
Exam Tip
हजारों का अंक (3,4,5,6) होगा और बाकी (3) स्थान (7P3) तरीकों से भरेंगे। सीमा वाली संख्या में पहला अंक तय करने से काम आसान होता है।
Treat the two (N)s as one block; among (5) units, (A) repeats (3) times, so the count is \(\frac{5!}{3!}\). Track both blocks and repeated letters.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (20). Treat the two (N)s as one block; among (5) units, (A) repeats (3) times, so the count is \(\frac{5!}{3!}\). Track both blocks and repeated letters.
Step 3
Exam Tip
दो (N) को एक ब्लॉक मानने पर (5) इकाइयों में (A) तीन बार है, इसलिए \(\frac{5!}{3!}\) है। समान अक्षर और ब्लॉक दोनों का ध्यान रखें।
With the particular letter included, choose (4) more from (7) and arrange the (5) in (5!) ways. Separate the compulsory object first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (6720). With the particular letter included, choose (4) more from (7) and arrange the (5) in (5!) ways. Separate the compulsory object first.
Step 3
Exam Tip
निश्चित अक्षर के साथ बाकी (4) अक्षर (7) में से चुनकर (5!) तरीकों से सजते हैं। अनिवार्य वस्तु को पहले अलग कर लें।
Treat the (5) vowels as one block, giving (5!) outside arrangements and (5!) internal arrangements. When vowels are together, make one vowel block.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (120960). Treat the (5) vowels as one block, giving (5!) outside arrangements and (5!) internal arrangements. When vowels are together, make one vowel block.
Step 3
Exam Tip
(5) स्वरों को एक ब्लॉक मानें, फिर (5!) बाहरी और (5!) आंतरिक व्यवस्थाएँ मिलती हैं। स्वर साथ हों तो पूरे स्वर-समूह को एक इकाई बनाएं।
The last digit can be (0,2,4); separating the (0) and nonzero last-digit cases gives (120+96). Handle zero carefully at the first and last positions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (216). The last digit can be (0,2,4); separating the (0) and nonzero last-digit cases gives (120+96). Handle zero carefully at the first and last positions.
Step 3
Exam Tip
अंतिम अंक (0,2,4) हो सकता है; (0) और गैर-शून्य अंतिम अंक के मामले अलग करके कुल (120+96) मिलता है। शून्य को अंतिम और प्रथम स्थान पर सावधानी से संभालें।
