Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
महिलाओं को एक ब्लॉक मानकर (8!) क्रम बनते हैं और ब्लॉक के अंदर (3!) क्रम हैं। लगातार रहने पर ब्लॉक विधि लगती है। / Treat the women as one block giving (8!) orders and (3!) internal orders. Use the block method for consecutive objects.
कुल (9) अक्षर हैं और (M,T,E) प्रत्येक (2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{9!}{2!2!2!}\) है। समान अक्षर permutation को घटाते हैं। / There are (9) letters and (M,T,E) each repeat (2) times, so the count is \(\frac{9!}{2!2!2!}\). Identical letters reduce permutations.
दो विशेष लोगों के स्थान (4) दूरी पर होंगे, ऐसे (5) जोड़े हैं और उनका क्रम (2) तरीकों से होगा, फिर बाकी (7!) हैं। दूरी वाले प्रश्नों में स्थान-जोड़े गिनें। / The two particular people occupy positions (4) apart, giving (5) position pairs and (2) orders, then arrange the remaining (7!). Count position pairs for distance constraints.
बाकी (3) अंक (7) अंकों से चुनें और कुल (5) अंकों को (5!) तरीकों से सजाएँ। आवश्यक अंकों को पहले शामिल करें। / Choose the remaining (3) digits from (7) digits and arrange all (5) digits in (5!) ways. Include compulsory digits first.
पहले (4) कुर्सियाँ चुनने और क्रम देने का संयुक्त परिणाम (7P4) है। अलग स्थानों पर अलग व्यक्तियों के लिए permutation प्रयोग करें। / Choosing and ordering (4) chairs together gives (7P4). Use permutation when distinct people occupy distinct positions.
कुल (11) अक्षर हैं और (M,A,T) प्रत्येक (2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{2!2!2!}\) है। दोहराव की संख्या सही पहचानना जरूरी है। / There are (11) letters and (M,A,T) each repeat (2) times, so the count is \(\frac{11!}{2!2!2!}\). Correctly identify repeated letters.
अंतिम अंक (1,3,5) में से होगा और पहले अंक में (0) नहीं आ सकता, इसलिए कुल \(3\cdot5\cdot5\cdot4\) है। शून्य वाले प्रश्नों में पहला स्थान अलग देखें। / The last digit is one of (1,3,5), and the first digit cannot be (0), giving \(3\cdot5\cdot5\cdot4\). Handle the leading zero condition separately.
पहले लड़कों को (5!) तरीकों से रखें और (6) खाली स्थानों में (4) लड़कियाँ (6P4) तरीकों से रखें। ऐसी समस्याओं में खाली स्थान विधि सबसे उपयोगी है। / Arrange boys in (5!) ways and place (4) girls in (6) gaps in (6P4) ways. The gap method is most useful here.
कुल (11) अक्षर हैं और (I,S,P) क्रमशः (4,4,2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{4!4!2!}\) है। समान अक्षरों की पुनरावृत्ति को अलग न गिनें। / There are (11) letters with (I,S,P) repeated (4,4,2) times, so the count is \(\frac{11!}{4!4!2!}\). Do not count identical letters separately.
अंतिम अंक केवल (5) होगा और बाकी (3) स्थानों पर (6P3) व्यवस्थाएँ होंगी। विभाज्यता की शर्त पहले लगाएं। / The last digit must be (5), and the remaining (3) places have (6P3) arrangements. Apply divisibility conditions first.
कुल वृत्तीय व्यवस्थाएँ (7!) हैं और साथ बैठने वाली \(2\cdot6!\) हैं, इसलिए उत्तर \(7!-2\cdot6!\) है। वृत्तीय क्रम में एक स्थान स्थिर मानें। / Total circular arrangements are (7!) and adjacent cases are \(2\cdot6!\), so the answer is \(7!-2\cdot6!\). In circular order, fix one position.
कुल (7) अक्षर हैं और (R) दो बार आता है, इसलिए संख्या \(\frac{7!}{2!}\) है। दोहराए अक्षरों के लिए फैक्टरियल से भाग दें। / There are (7) letters and (R) repeats twice, so the count is \(\frac{7!}{2!}\). Divide by factorials of repeated letters.
(6) अलग-अलग पुस्तकों को एक शेल्फ पर इस प्रकार सजाना है कि (2) निश्चित पुस्तकें साथ-साथ रहें लेकिन उनका आपसी क्रम बदला जा सके। कुल व्यवस्थाओं की संख्या क्या होगी?
दो पुस्तकों को एक ब्लॉक मानकर \(5!\times2!\) व्यवस्थाएँ मिलती हैं। परीक्षा में साथ रहने वाली वस्तुओं को ब्लॉक बनाएं। / Treat the two books as one block giving \(5!\times2!\) arrangements. In exams, make a block for objects that must stay together.
व्यवस्थाएँ \(\frac{5!}{2!2!}=30\) होंगी। repeated letters के factorial से भाग देना जरूरी है। / The arrangements are \(\frac{5!}{2!2!}=30\). It is necessary to divide by factorials of repeated letters.
\({}^{11}P_{3}=11\times10\times9=990\) है। क्रम वाले चयन में \({}^{n}P_{r}\) लगाएं। / \({}^{11}P_{3}=11\times10\times9=990\). Use \({}^{n}P_{r}\) in ordered selection.
इकाई स्थान पर (2,4,6) में से (3) विकल्प और दहाई पर (4) विकल्प हैं, कुल (12)। even number में इकाई स्थान पहले देखें। / The units place has (3) choices from (2,4,6), and the tens place has (4) choices, total (12). For even numbers, check the units place first.
बाएँ से दाएँ (7) अलग पोस्टकार्डों की व्यवस्था (7!=5040) है। linear arrangement में factorial लें। / The left-to-right arrangement of (7) distinct postcards is (7!=5040). Use factorial in linear arrangement.
\({}^{12}P_{0}=1\) और \({}^{12}P_{1}=12\), इसलिए योग (13) है। standard values याद रखें। / \({}^{12}P_{0}=1\) and \({}^{12}P_{1}=12\), so the sum is (13). Remember standard values.
व्यवस्थाएँ \(\frac{5!}{2!2!}=30\) होंगी। समान अक्षरों को अलग-अलग न गिनें। / The arrangements are \(\frac{5!}{2!2!}=30\). Do not count identical letters as different.
प्रदर्शन क्रम महत्त्वपूर्ण है इसलिए \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\)। order बदलने से कार्यक्रम बदल जाता है। / Performance order matters, so \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\). Changing order changes the programme.
चार स्थानों के लिए \(6\times5\times4\times3=360\) तरीके हैं। बिना पुनरावृत्ति में विकल्प घटते हैं। / For four places, there are \(6\times5\times4\times3=360\) ways. Without repetition, choices decrease.
(5) अलग घंटियाँ (5) स्थानों पर (5!=120) तरीकों से लगेंगी। निर्धारित स्थानों की arrangement factorial से होती है। / (5) different bells can be placed at (5) positions in (5!=120) ways. Arrangements at fixed positions use factorial.
(MOUSE) में (5) अलग अक्षर हैं इसलिए (5!=120)। अलग अक्षरों में factorial ही कुल व्यवस्था देता है। / The word (MOUSE) has (5) distinct letters, so (5!=120). For distinct letters, factorial gives total arrangements.
पहले स्लॉट के लिए (9) और दूसरे के लिए (8) विकल्प हैं इसलिए (72)। स्लॉट अलग हों तो permutation गिनें। / There are (9) choices for the first slot and (8) for the second, so (72). Count permutation when slots are distinct.
\({}^{5}P_{0}=1\) और \({}^{5}P_{2}=20\), इसलिए योग (21) है। पहले अलग-अलग values निकालें। / \({}^{5}P_{0}=1\) and \({}^{5}P_{2}=20\), so the sum is (21). Find the values separately first.
सीधी रेखा में (6) अलग मोतियों की व्यवस्था (6!=720) है। इसे circular arrangement न मानें। / In a straight line, the arrangement of (6) distinct beads is (6!=720). Do not treat it as a circular arrangement.
दोनों स्थानों पर (3) विकल्प हैं इसलिए \(3^2=9\)। repetition allowed हो तो विकल्प वही रहते हैं। / There are (3) choices at both places, so \(3^2=9\). With repetition allowed, choices remain the same.
तीन rank क्रम वाले हैं इसलिए \({}^{15}P_{3}=15\times14\times13=2730\)। rank वाले प्रश्न permutation के होते हैं। / The three ranks are ordered, so \({}^{15}P_{3}=15\times14\times13=2730\). Rank questions use permutation.
(C) दो बार और (O) दो बार हैं इसलिए \(\frac{4!}{2!2!}=6\)। दो repeated letters हों तो दोनों से भाग दें। / (C) occurs twice and (O) occurs twice, so \(\frac{4!}{2!2!}=6\). Divide by both repeated letters.
\({}^{6}P_{2}=6\times5=30\) कोड बनेंगे। कोड में अक्षर का स्थान बदलने से कोड बदलता है। / \({}^{6}P_{2}=6\times5=30\) codes are possible. In a code, changing the position of letters changes the code.
