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(2(3a+6)=(5a-2)+(a+18)) से (a=2) मिलता है। तब पद (8,12,20) नहीं बल्कि (8,12,20) समान अंतर नहीं देते, इसलिए सही जांच से कोई अंकगणितीय श्रेणी नहीं बनती। / (2(3a+6)=(5a-2)+(a+18)) gives (a=2). Then the terms (8,12,20) do not have equal differences, so no arithmetic progression is formed.
तीन क्रमागत पदों में (2) गुना मध्य पद बाकी दो पदों के योग के बराबर होता है। इसलिए (2(x+8)=(2x+1)+(3x-4)) से (x=3)। / In three consecutive terms, twice the middle term equals the sum of the other two terms. So (2(x+8)=(2x+1)+(3x-4)) gives (x=3).
(5,9,13,20) में पहले दो अंतर (4,4) हैं लेकिन तीसरा अंतर (7) है। सभी लगातार अंतर जांचना जरूरी है। / In (5,9,13,20), the first two differences are (4,4), but the third difference is (7). It is necessary to check all consecutive differences.
(2(2x+1)=13+(4x-5)) से (2=8) असंभव है। इसलिए ऐसा सामान्य अंतर नहीं होगा। / From (2(2x+1)=13+(4x-5)), we get (2=8), which is impossible. Therefore no such common difference exists.
हर लगातार अंतर (8) है और (x) कट जाता है। समान चर वाले पदों में स्थिर भाग का अंतर देखें। / Every consecutive difference is (8), and (x) cancels out. For terms with the same variable part, compare the constant parts.
पहला अंतर (-2y+8) और दूसरा अंतर (-2y+8) है। दोनों हर (y) के लिए बराबर हैं। / The first difference is (-2y+8), and the second difference is also (-2y+8). They are equal for every (y).
सभी पद समान हों तो हर अंतर (0) होता है। स्थिर क्रम भी समांतर श्रेणी होता है। / When all terms are equal, every difference is (0). A constant sequence is also an arithmetic progression.
अंतर (x-1, 2x+3, 2x+3) हैं। पहले दो बराबर करने पर (x=-4), लेकिन तब सभी अंतर बराबर नहीं बनते। / The differences are (x-1, 2x+3, 2x+3). Equating the first two gives (x=-4), but then all differences do not stay equal.
अंतर (t+2) और (t+5) नहीं, सही दूसरा अंतर (5+2t) है। (t+2=5+2t) से (t=-3). / The differences are not (t+2) and (t+5); the correct second difference is (5+2t). From (t+2=5+2t), (t=-3).
बराबर अंतर के लिए (-x+8=-2x+16), जिससे (x=8). तब दोनों अंतर (0) हैं। / For equal differences, (-x+8=-2x+16), which gives (x=8). Then both differences are (0).
अंतर (-x+8) और (-2x+16) हैं। बराबर करने पर (x=8), इसलिए (d=0) नहीं बल्कि (d=0) आता है। / The differences are (-x+8) and (-2x+16). Equating them gives (x=8), so (d=0), not (8).
पहला अंतर \(\frac{s}{2}+3\) और दूसरा अंतर (2s-4) है। बराबर करने पर (s=8) मिलता है। / The first difference is \(\frac{s}{2}+3\), and the second is (2s-4). Equating them gives (s=8).
(2(x+6)=x+(3x-2)) से (x=9). तीसरा पद (3x-2=25) नहीं, इसलिए विकल्पों में सही मान नहीं है। / From (2(x+6)=x+(3x-2)), (x=7). The third term is (3x-2=19), so none of the options is correct.
C. यह समांतर श्रेणी नहीं है क्योंकि अंतर (3,5,7) हैं/It is not an arithmetic progression because the differences are (3,5,7)
Explanation
Simple Explanation
समांतर श्रेणी के लिए हर लगातार अंतर समान होना चाहिए। यहाँ (3,5,7) समान नहीं हैं। / For an arithmetic progression, every consecutive difference must be equal. Here (3,5,7) are not equal.
B. अनुपात समान है, अंतर समान नहीं/The ratio is constant, not the difference
Explanation
Simple Explanation
इस क्रम में अनुपात \(\frac{1}{3}\) है, पर अंतर (-54, -18, -6) बराबर नहीं हैं। समांतर श्रेणी में अनुपात नहीं, अंतर देखें। / This sequence has ratio \(\frac{1}{3}\), but differences (-54, -18, -6) are not equal. In an arithmetic progression, check difference, not ratio.
हर अगला पद पिछले पद से (d) कम है। इसलिए सामान्य अंतर (-d) है। / Each next term is (d) less than the previous term. Therefore the common difference is (-d).
(2y=9+(2y+6)) से (0=15) नहीं, इसलिए यह कभी समांतर श्रेणी नहीं बनती। सही विकल्पों में ऐसा कोई सामान्य अंतर नहीं है। / From (2y=9+(2y+6)), we get (0=15), so it never forms an arithmetic progression. None of the listed values can be its common difference.
तीन पदों वाली समांतर श्रेणी में पहला और तीसरा पद मिलकर दूसरे पद का दोगुना देते हैं। यहाँ (2(a+d)=0). / In a three-term arithmetic progression, the first and third terms sum to twice the middle term. Here (2(a+d)=0).
पहले से चौथे पद तक तीन समान अंतर हैं, इसलिए (d=9). दूसरा पद (12+9=21), अतः (b=21). / From the first to the fourth term, there are three equal gaps, so (d=9). The second term is (12+9=21), hence (b=21).
पहला अंतर हमेशा (7) है। (x-2=7) से (x=9) और अंतिम अंतर भी (7) हो जाता है। / The first difference is always (7). From (x-2=7), (x=9), and the last difference also becomes (7).
अंतर (t, 2t, 3t) हैं और तीनों बराबर तभी होंगे जब (t=0). ऐसे प्रश्नों में सभी लगातार अंतर जांचें। / The differences are (t, 2t, 3t), and all are equal only when (t=0). In such questions, check every consecutive difference.
पहला अंतर (u) है और दूसरा अंतर (2+2u) है। बराबर करने पर (u=-2) मिलता है। / The first difference is (u), and the second difference is (2+2u). Equating them gives (u=-2).
चार पदों में पहले से चौथे तक तीन समान अंतर हैं, इसलिए \(d=\frac{31-4}{3}=9\). अतः (s-r=d=9). / From the first to the fourth term, there are three equal gaps, so \(d=\frac{31-4}{3}=9\). Therefore (s-r=d=9).
वाक्य गलत तब होगा जब तीनों पद समांतर श्रेणी में हों। (2(3m-2)=(m+1)+(6m-8)) से (m=2). / The statement becomes false when the three terms form an arithmetic progression. From (2(3m-2)=(m+1)+(6m-8)), (m=2).
पहले (2(2p+1)=(p-4)+(4p-2)) से (p=8) मिलता है। तब सामान्य अंतर ((2p+1)-(p-4)=13) है। / First, (2(2p+1)=(p-4)+(4p-2)) gives (p=8). Then the common difference is ((2p+1)-(p-4)=13).
पहले और पांचवें पद के बीच चार समान अंतर हैं, इसलिए (d=8). तब (x=15) और (y=31). / There are four equal gaps between the first and fifth terms, so (d=8). Hence (x=15) and (y=31).
B. यह कभी समांतर श्रेणी नहीं है/It is never an arithmetic progression
Explanation
Simple Explanation
लगातार अंतर (2d) और (3d) हैं, जो \(d \neq 0\) पर बराबर नहीं हो सकते। परीक्षा में पदों के अंतर अलग-अलग निकालें। / The consecutive differences are (2d) and (3d), which cannot be equal when \(d \neq 0\). In exams, compare consecutive differences directly.
समांतर श्रेणी में बीच का पद दोनों सिरों का औसत होता है, इसलिए (2(5k+1)=(3k-2)+(8k-3)). परीक्षा में तीन पदों के लिए यह सबसे तेज नियम है। / In an arithmetic progression, the middle term is the average of the extremes, so (2(5k+1)=(3k-2)+(8k-3)). For three terms, this is the fastest exam rule.
सार्व अंतर (19-28=-9) है। दूसरे पद से पहले पद को घटाकर (d) निकालें। / The common difference is (19-28=-9). Find (d) by subtracting the first term from the second term.
सार्व अंतर (18-11=7) है। (d) के लिए दूसरा पद घटा पहला पद करें। / The common difference is (18-11=7). For (d), subtract the first term from the second term.
लगातार पदों का अंतर ((a+1)-(a-2)=3) है। चर वाले पदों में समान पद कट जाते हैं। / The difference of consecutive terms is ((a+1)-(a-2)=3). Like terms cancel in variable terms.
(0.5-0.25=0.25) और आगे भी यही अंतर है। इसलिए यह सही समांतर श्रेढ़ी है। / (0.5-0.25=0.25), and the same difference continues. Hence this is the correct arithmetic progression.
\(\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\) है। भिन्नों में पहले दो पदों का अंतर निकालें। / \(\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\). For fractions, find the difference of the first two terms.
दूसरा पद (10+(-1.5)=8.5) है। दशमलव और ऋणात्मक चिन्ह दोनों का ध्यान रखें। / The second term is (10+(-1.5)=8.5). Take care of both decimals and negative signs.
यहाँ पहला पद (17) और (d=-4) है। इसलिए गुणनफल \(17\times(-4)=-68\) होगा। / Here the first term is (17) and (d=-4). Therefore, the product is \(17\times(-4)=-68\).
धनात्मक (d) का अर्थ हर बार जोड़ना है। इसलिए पद सामान्यतः बढ़ते जाते हैं। / Positive (d) means adding each time. Therefore, the terms generally keep increasing.
(35-40=-5) और आगे भी यही अंतर है। समान ऋणात्मक अंतर घटती समांतर श्रेढ़ी बनाता है। / (35-40=-5), and the same difference continues. Equal negative difference forms a decreasing arithmetic progression.
C. क्योंकि अंतर (5,6,7) समान नहीं हैं/Because the differences (5,6,7) are not equal
Explanation
Simple Explanation
समांतर श्रेढ़ी में लगातार अंतर समान होते हैं। यहाँ अंतर बदल रहे हैं इसलिए यह समांतर श्रेढ़ी नहीं है। / In an arithmetic progression, consecutive differences are equal. Here the differences change, so it is not an arithmetic progression.
लगातार पदों का अंतर ((x+4)-x=4) है। अक्षर वाले पदों में भी वही नियम लगता है। / The difference of consecutive terms is ((x+4)-x=4). The same rule applies to algebraic terms.
लगातार पदों का अंतर (4-4=0) है। समान पदों वाली श्रेढ़ी में (d=0) होता है। / The difference of consecutive terms is (4-4=0). A constant-term progression has (d=0).
पहले तीन पद (20,17,14) होंगे। ऋणात्मक (d) में हर बार घटाव होता है। / The first three terms are (20,17,14). With negative (d), subtraction occurs each time.
सार्व अंतर (25-18=7) है। लगातार पद दिए हों तो सीधे घटाव करें। / The common difference is (25-18=7). When consecutive terms are given, subtract directly.
पहला पद (12) है और हर बार (5) जोड़ना है। इसलिए पद (12,17,22,27) होंगे। / The first term is (12) and (5) is added each time. Hence the terms are (12,17,22,27).
सार्व अंतर (41-32=9) है। लगातार पद दिए हों तो कोई सूत्र लंबा लगाने की जरूरत नहीं होती। / The common difference is (41-32=9). When consecutive terms are given, no long formula is needed.
पहला पद (11) है और हर बार (6) जोड़ना है। इसलिए पहले चार पद (11,17,23,29) हैं। / The first term is (11) and (6) is added each time. Therefore, the first four terms are (11,17,23,29).
(42-49=-7) है इसलिए हर बार (7) घट रहा है। घटती श्रेढ़ी में (d) ऋणात्मक लिखा जाता है। / (42-49=-7) so (7) is subtracted each time. In a decreasing progression, (d) is written as negative.
सभी पद समान हैं इसलिए (d=0) है। इसे समान पदों वाली समांतर श्रेढ़ी कहते हैं। / All terms are equal, so (d=0). It is called an arithmetic progression with constant terms.
हर अगला पद पिछले पद से (7) अधिक है। यही इस श्रेढ़ी का सार्व अंतर है। / Each next term is (7) greater than the previous term. This is the common difference of this progression.
C. नहीं क्योंकि अंतर समान नहीं हैं/No because the differences are not equal
Explanation
Simple Explanation
इसके अंतर (4,5,6) हैं। समान अंतर न होने के कारण यह समांतर श्रेढ़ी नहीं है। / Its differences are (4,5,6). Since the differences are not equal, it is not an arithmetic progression.
सार्व अंतर (31-26=5) है। लगातार पद दिए हों तो सीधा अंतर निकालें। / The common difference is (31-26=5). When consecutive terms are given, directly find the difference.
(d=0) का अर्थ है कि लगातार पदों में कोई अंतर नहीं है। इसलिए सभी पद बराबर होंगे। / (d=0) means there is no difference between consecutive terms. Therefore, all terms will be equal.
C. क्योंकि लगातार अंतर (5,10,20) समान नहीं हैं/Because consecutive differences (5,10,20) are not equal
Explanation
Simple Explanation
समांतर श्रेढ़ी में सभी लगातार अंतर समान होते हैं। यहाँ अंतर समान नहीं हैं इसलिए यह समांतर श्रेढ़ी नहीं है। / In an arithmetic progression, all consecutive differences are equal. Here the differences are not equal, so it is not an arithmetic progression.
B. लगातार पदों का अंतर समान होता है/The difference of consecutive terms is equal
Explanation
Simple Explanation
समांतर श्रेढ़ी में \(a_2-a_1\) जैसा अंतर स्थिर रहता है। यही सबसे पहले जाँचना चाहिए। / In an arithmetic progression, differences like \(a_2-a_1\) remain constant. This should be checked first.
लिखे क्रम में तीसरा पद (15) है। पद की स्थिति गिनते समय पहला पद न छोड़ें। / In the written order, the third term is (15). Do not skip the first term while counting positions.
लगातार पदों का अंतर ((b+5)-b=5) है। अक्षर वाले पदों में भी घटाकर (d) निकालें। / The difference of consecutive terms is ((b+5)-b=5). For algebraic terms also, subtract to find (d).
\(8,8,8,8,\ldots\) में हर अंतर (0) है। इसलिए यह (d=0) वाली समांतर श्रेढ़ी है। / In \(8,8,8,8,\ldots\), every difference is (0). Hence it is an arithmetic progression with (d=0).
(28-31=-3) है। घटती श्रेढ़ी में सार्व अंतर ऋणात्मक लिखा जाता है। / (28-31=-3). In a decreasing progression, the common difference is written as negative.
\(\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) है। समान हर वाले भिन्नों में अंश घटाएँ। / \(\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\). For fractions with the same denominator, subtract the numerators.
सभी पद समान हैं इसलिए (d=0) है। इसे समान पदों वाली समांतर श्रेढ़ी कह सकते हैं। / All terms are equal, so (d=0). It can be called an arithmetic progression with constant terms.
लिखे हुए पद (18,21,24,27) हैं। (30) अगला पद हो सकता है पर दिए गए पदों में नहीं है। / The written terms are (18,21,24,27). (30) can be the next term but is not among the given terms.
हर अगला पद पिछले पद से (3) अधिक है। यही इस श्रेढ़ी का सार्व अंतर है। / Each next term is (3) greater than the previous term. This is the common difference of the sequence.
C. नहीं क्योंकि अंतर समान नहीं हैं/No because differences are not equal
Explanation
Simple Explanation
इसके अंतर (4,5,6) हैं। समान अंतर न होने से यह समांतर श्रेढ़ी नहीं है। / Its differences are (4,5,6). Since the differences are not equal, it is not an arithmetic progression.
\(3,8,13,18,\ldots\) में अंतर हमेशा (5) है। इसलिए यह समांतर श्रेढ़ी है। / In \(3,8,13,18,\ldots\), the difference is always (5). Hence it is an arithmetic progression.
(d=0) का अर्थ है कि कोई बदलाव नहीं हो रहा। इसलिए सभी पद समान होंगे। / (d=0) means there is no change between terms. Therefore, all terms will be equal.
लगातार पदों का अंतर (3-0=3) है। पहला पद (0) हो सकता है फिर भी श्रेढ़ी समांतर हो सकती है। / The difference of consecutive terms is (3-0=3). The first term can be (0), and the sequence can still be an arithmetic progression.
दूसरा पद (a+d=9+(-2)=7) है। ऋणात्मक अंतर जोड़ते समय चिन्ह सावधानी से लगाएँ। / The second term is (a+d=9+(-2)=7). Use signs carefully while adding a negative difference.
C. क्योंकि लगातार अंतर समान नहीं हैं/Because consecutive differences are not equal
Explanation
Simple Explanation
अंतर (3,6,12) हैं जो समान नहीं हैं। इसलिए यह समांतर श्रेढ़ी नहीं है। / The differences are (3,6,12), which are not equal. Hence it is not an arithmetic progression.
B. हर दो लगातार पदों का अंतर समान होता है/The difference between every two consecutive terms is equal
Explanation
Simple Explanation
समांतर श्रेढ़ी में लगातार पदों का अंतर स्थिर होता है। यही इसकी मुख्य पहचान है। / In an arithmetic progression, the difference between consecutive terms is constant. This is its main identity.
तीसरा लिखा हुआ पद (8) है। आसान प्रश्नों में पद की स्थिति ध्यान से गिनें। / The third written term is (8). In easy questions, count the position of the term carefully.
लगातार पदों का अंतर ((a+2)-a=2) है। अक्षर वाले पदों में भी घटाकर अंतर निकालें। / The difference of consecutive terms is ((a+2)-a=2). For algebraic terms also, subtract to find the difference.
\(4,7,10,13,\ldots\) में हर बार (3) जुड़ता है। इसलिए इसका सार्व अंतर (3) है। / In \(4,7,10,13,\ldots\), (3) is added each time. Hence its common difference is (3).
