Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. क्योंकि भिन्न को न्यूनतम रूप में लिखा जाता है/Because the fraction is written in lowest form
Step 1
Concept
A rational number can be written in lowest fractional form. So (a) and (b) are assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि भिन्न को न्यूनतम रूप में लिखा जाता है / Because the fraction is written in lowest form. A rational number can be written in lowest fractional form. So (a) and (b) are assumed coprime.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जा सकता है। इसलिए (a) और (b) सहभाज्य माने जाते हैं।
The square of an even number is also even. In the proof of \(\sqrt{2}\), this idea is also used in reverse direction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. सम / Even. The square of an even number is also even. In the proof of \(\sqrt{2}\), this idea is also used in reverse direction.
Step 3
Exam Tip
सम संख्या का वर्ग भी सम होता है। \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यह विचार उल्टी दिशा में भी प्रयोग होता है।
A. वह (3) से विभाज्य होगा/It will be divisible by (3)
Step 1
Concept
If a number has factor (3), its square also has factor (3). This is useful in the proof of \(\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वह (3) से विभाज्य होगा / It will be divisible by (3). If a number has factor (3), its square also has factor (3). This is useful in the proof of \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
यदि संख्या में (3) का गुणनखंड है तो उसके वर्ग में भी (3) का गुणनखंड होगा। यह \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में उपयोगी है।
A. यदि \(n^2\) सम है तो (n) सम है/If \(n^2\) is even then (n) is even
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), (p) is concluded even from \(p^2\) being even. This is the main argument.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यदि \(n^2\) सम है तो (n) सम है / If \(n^2\) is even then (n) is even. In the proof of \(\sqrt{2}\), (p) is concluded even from \(p^2\) being even. This is the main argument.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम होने से (p) सम निकाला जाता है। यह मुख्य तर्क है।
A. यदि \(n^2\) (3) से विभाज्य है तो (n) (3) से विभाज्य है/If \(n^2\) is divisible by (3) then (n) is divisible by (3)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{3}\), divisibility of (a) by (3) is concluded from \(a^2\). This is the key fact.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यदि \(n^2\) (3) से विभाज्य है तो (n) (3) से विभाज्य है / If \(n^2\) is divisible by (3) then (n) is divisible by (3). In the proof of \(\sqrt{3}\), divisibility of (a) by (3) is concluded from \(a^2\). This is the key fact.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(a^2\) से (a) के (3) से विभाज्य होने का निष्कर्ष लिया जाता है। यही मुख्य तथ्य है।
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है/\(\sqrt{2}\) is not rational
Step 1
Concept
The contradiction proves the rational assumption false. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है / \(\sqrt{2}\) is not rational. The contradiction proves the rational assumption false. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास से परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
B. \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है/\(\sqrt{3}\) is not rational
Step 1
Concept
The rational assumption leads to a contradiction. Therefore \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है / \(\sqrt{3}\) is not rational. The rational assumption leads to a contradiction. Therefore \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
Step 3
Exam Tip
परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिलता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होता है।
If both are even, they have common factor (2). So they cannot remain coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वे सहभाज्य नहीं हो सकते / They cannot be coprime. If both are even, they have common factor (2). So they cannot remain coprime.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होने पर उनका सामान्य गुणनखंड (2) होता है। इसलिए वे सहभाज्य नहीं रह सकते।
A. प्रारंभिक मान्यता को गलत दिखाना/To show the initial assumption is false
Step 1
Concept
In contradiction method the assumption leads to an impossible situation. This proves the initial assumption false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रारंभिक मान्यता को गलत दिखाना / To show the initial assumption is false. In contradiction method the assumption leads to an impossible situation. This proves the initial assumption false.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास विधि में मान्यता से असंभव स्थिति बनती है। इससे शुरुआती मान्यता गलत सिद्ध होती है।
