Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। फिर इसी मान्यता से विरोधाभास निकाला जाता है। / In contradiction method we first assume \(\sqrt{2}\) is rational. Then a contradiction is obtained from this assumption.
A. यह जनता को जवाबदेह सरकार देता है/It gives accountable government
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में सरकार जनता के प्रति जवाबदेह होती है। परीक्षा में जवाबदेही को लोकतंत्र का बड़ा गुण याद रखें। / In democracy government is accountable to people. Exam tip: remember accountability as a major merit of democracy.
परिमेय संख्या को न्यूनतम रूप में \(\frac{p}{q}\) लिखा जाता है। इसलिए (p) और (q) सहभाज्य माने जाते हैं। / A rational number is written in lowest form as \(\frac{p}{q}\). So (p) and (q) are assumed coprime.
B. निर्णय लेने में अधिक समय लग सकता है/Decision making may take more time
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में चर्चा और परामर्श के कारण निर्णय धीमे हो सकते हैं। परीक्षा में देरी को लोकतंत्र की आलोचना के रूप में याद रखें। / In democracy decisions may be slow because of discussion and consultation. Exam tip: remember delay as a criticism of democracy.
C. विचार विमर्श और परामर्श से/Through discussion and consultation
Explanation
Simple Explanation
विचार विमर्श से अलग अलग बातों पर ध्यान जाता है। परीक्षा में बेहतर निर्णय को परामर्श से जोड़ें। / Discussion brings different points into attention. Exam tip: connect better decisions with consultation.
क्योंकि \(p^2\) में (2) का गुणनखंड है इसलिए \(p^2\) सम है। समता पहचानना इस प्रमाण का मुख्य चरण है। / Since \(p^2\) has factor (2), \(p^2\) is even. Recognising evenness is a key step in this proof.
D. अगले चुनाव में सरकार बदलना/Changing government in next election
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में जनता गलत सरकार को बदल सकती है। परीक्षा में सुधार की क्षमता को लोकतंत्र का गुण मानें। / In democracy people can change a wrong government. Exam tip: treat ability to correct mistakes as a merit.
यदि किसी संख्या का वर्ग सम है तो वह संख्या भी सम होती है। यही तथ्य \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में उपयोग होता है। / If the square of a number is even then the number is also even. This fact is used in the proof for \(\sqrt{2}\).
A. हर नागरिक को महत्व देकर/By giving importance to every citizen
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में हर नागरिक की आवाज का महत्व माना जाता है। परीक्षा में गरिमा को समान भागीदारी से जोड़ें। / In democracy every citizen's voice is considered important. Exam tip: connect dignity with equal participation.
A. नेताओं और सरकारों के बदलने से/Change of leaders and governments
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में सरकार बदल सकती है इसलिए कुछ लोग इसे अस्थिर कहते हैं। परीक्षा में अस्थिरता को आलोचना के रूप में पहचानें। / In democracy government can change so some people call it unstable. Exam tip: identify instability as a criticism.
B. यह शांतिपूर्ण चर्चा और समझौते का रास्ता देता है/It gives a path of peaceful discussion and compromise
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र मतभेदों को बातचीत से हल करने की कोशिश करता है। परीक्षा में मतभेदों के समाधान को लोकतंत्र का गुण मानें। / Democracy tries to solve differences through dialogue. Exam tip: treat handling differences as a merit.
\(q^2\) सम है इसलिए (q) भी सम होगा। यह (p) और (q) दोनों को सम बना देता है। / Since \(q^2\) is even, (q) is also even. This makes both (p) and (q) even.
C. चुनावी प्रतियोगिता और सत्ता की दौड़ से/Electoral competition and race for power
Explanation
Simple Explanation
कुछ लोग कहते हैं कि चुनावी प्रतियोगिता भ्रष्टाचार बढ़ा सकती है। परीक्षा में भ्रष्टाचार को लोकतंत्र की आलोचना में रखें। / Some say electoral competition can increase corruption. Exam tip: place corruption under criticism of democracy.
A. (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं/Both (p) and (q) become even
Explanation
Simple Explanation
शुरू में (p) और (q) सहभाज्य माने गए थे। दोनों का सम निकलना इसी मान्यता से विरोधाभास है। / At the start (p) and (q) were assumed coprime. Both becoming even contradicts that assumption.
A. लोकतंत्र नागरिकों को भागीदारी देता है/Democracy gives participation to citizens
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में नागरिकों की भागीदारी महत्वपूर्ण होती है। परीक्षा में भागीदारी को लोकतंत्र की पहचान मानें। / Citizen participation is important in democracy. Exam tip: treat participation as a feature of democracy.
इस प्रमाण में पहले उल्टा मानकर अंत में विरोधाभास दिखाते हैं। इसलिए यह विरोधाभास विधि है। / In this proof the opposite is assumed first and a contradiction is shown at the end. So it is contradiction method.
A. क्योंकि चर्चा और परामर्श होता है/Because discussion and consultation happen
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में कई लोगों से राय ली जाती है इसलिए समय लग सकता है। परीक्षा में धीमी प्रक्रिया को आलोचना और विचार विमर्श दोनों से जोड़ें। / In democracy opinions of many people are considered so time may be needed. Exam tip: connect slow process with criticism and discussion.
C. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास के लिए पहले \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानते हैं। फिर यह मान्यता गलत सिद्ध होती है। / For contradiction \(\sqrt{3}\) is first assumed rational. Then this assumption is shown false.
B. वोट और आलोचना के माध्यम से/Through vote and criticism
Explanation
Simple Explanation
वोट और सार्वजनिक आलोचना सरकार पर दबाव बनाते हैं। परीक्षा में जवाबदेही को चुनाव और नागरिक आवाज से जोड़ें। / Vote and public criticism put pressure on government. Exam tip: connect accountability with elections and citizens' voice.
C. साधारण लोग हमेशा सही निर्णय नहीं जानते/Ordinary people may not always know the right decision
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र के आलोचक कभी कहते हैं कि आम लोग सही हित नहीं समझते। परीक्षा में इसे लोकतंत्र विरोधी तर्क के रूप में पहचानें। / Critics sometimes say common people do not know the right interest. Exam tip: identify this as an argument against democracy.
A. गलत सरकार बदली जा सकती है/A wrong government can be changed
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में गलती सुधारने का अवसर चुनाव और जनमत से मिलता है। परीक्षा में सुधार को लोकतंत्र की ताकत मानें। / Democracy gives chance to correct mistakes through elections and public opinion. Exam tip: treat correction as strength of democracy.
यदि किसी संख्या का वर्ग (3) से विभाज्य है तो वह संख्या भी (3) से विभाज्य होती है। यह अभाज्य गुणनखंड का उपयोग है। / If the square of a number is divisible by (3), the number is also divisible by (3). This uses prime factor property.
सरकार की जवाबदेही लोकतंत्र के पक्ष में तर्क है। परीक्षा में पक्ष और विपक्ष के तर्क अलग रखें। / Government accountability is an argument in favour of democracy. Exam tip: keep for and against arguments separate.
(3) से विभाज्य संख्या को (3) के गुणज के रूप में लिखते हैं। इसलिए (a=3k) रखा जाता है। / A number divisible by (3) is written as a multiple of (3). So (a=3k) is taken.
D. अधिक लोगों की राय और चर्चा/Opinions and discussion of more people
Explanation
Simple Explanation
अधिक राय से निर्णय में अलग पक्ष शामिल होते हैं। परीक्षा में बेहतर निर्णय को व्यापक चर्चा से जोड़ें। / More opinions include different sides in a decision. Exam tip: connect better decision with wider discussion.
A. निर्णय प्रक्रिया के भागीदार/Participants in decision process
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र नागरिकों को शासन में भागीदारी का अवसर देता है। परीक्षा में नागरिक को सक्रिय भागीदार समझें। / Democracy gives citizens a chance to participate in governance. Exam tip: understand citizen as active participant.
\(b^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (b) भी (3) से विभाज्य होगा। यही विरोधाभास पैदा करता है। / Since \(b^2\) is divisible by (3), (b) is also divisible by (3). This creates the contradiction.
B. राजनीति सत्ता की दौड़ बन सकती है/Politics may become a race for power
Explanation
Simple Explanation
कुछ आलोचक कहते हैं कि लोकतंत्र में सत्ता पाने की प्रतियोगिता बढ़ती है। परीक्षा में इसे विरोधी तर्क मानें। / Some critics say democracy increases competition for power. Exam tip: treat it as an argument against democracy.
A. (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/Both (a) and (b) become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
शुरू में (a) और (b) सहभाज्य थे। दोनों का (3) से विभाज्य होना इस बात से विरोधाभास है। / At the start (a) and (b) were coprime. Both being divisible by (3) contradicts this.
A. क्योंकि नागरिकों को बराबर मानता है/Because it treats citizens equally
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र नागरिकों को बराबरी और सम्मान देता है। परीक्षा में गरिमा को बराबरी से जोड़ें। / Democracy gives equality and respect to citizens. Exam tip: connect dignity with equality.
A. उन्हें पहले परिमेय मानते हैं/They are first assumed rational
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाणों में विरोधाभास विधि इस्तेमाल होती है। इसलिए पहले परिमेय मानकर आगे चलते हैं। / Both proofs use contradiction method. So they are first assumed rational and then examined.
A. यह जवाबदेह सरकार देता है/It gives accountable government
Explanation
Simple Explanation
जवाबदेह सरकार लोकतंत्र का प्रमुख लाभ है। परीक्षा में इसे पक्ष वाला तर्क याद रखें। / Accountable government is a major benefit of democracy. Exam tip: remember it as a pro-democracy argument.
A. क्योंकि शून्य से भाग परिभाषित नहीं है/Because division by zero is not defined
Explanation
Simple Explanation
भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए परिमेय रूप में \(q\neq0\) जरूरी है। / The denominator of a fraction cannot be zero. So \(q\neq0\) is necessary in rational form.
A. निर्णय में कई दृष्टिकोण आ जाते हैं/Many viewpoints come into decision
Explanation
Simple Explanation
बहस से निर्णय अधिक सोच समझकर हो सकता है। परीक्षा में चर्चा को निर्णय की गुणवत्ता से जोड़ें। / Debate can make decisions more thoughtful. Exam tip: connect discussion with quality of decision.
A. क्योंकि भिन्न को न्यूनतम रूप में लिखा जाता है/Because the fraction is written in lowest form
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जा सकता है। इसलिए (a) और (b) सहभाज्य माने जाते हैं। / A rational number can be written in lowest fractional form. So (a) and (b) are assumed coprime.
B. बहुत अधिक परामर्श और चर्चा पर/Too much consultation and discussion
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में परामर्श से निर्णय धीमा हो सकता है। परीक्षा में देरी को विरोधी तर्क मानें। / Consultation in democracy can slow decisions. Exam tip: treat delay as an argument against democracy.
सम संख्या का वर्ग भी सम होता है। \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यह विचार उल्टी दिशा में भी प्रयोग होता है। / The square of an even number is also even. In the proof of \(\sqrt{2}\), this idea is also used in reverse direction.
A. यह जनता को सरकार चुनने और बदलने देता है/It lets people choose and change government
Explanation
Simple Explanation
सरकार चुनने और बदलने की शक्ति लोकतंत्र का बड़ा लाभ है। परीक्षा में चुनाव और जवाबदेही याद रखें। / Power to choose and change government is a major benefit of democracy. Exam tip: remember elections and accountability.
A. वह (3) से विभाज्य होगा/It will be divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
यदि संख्या में (3) का गुणनखंड है तो उसके वर्ग में भी (3) का गुणनखंड होगा। यह \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में उपयोगी है। / If a number has factor (3), its square also has factor (3). This is useful in the proof of \(\sqrt{3}\).
A. शांतिपूर्ण और संवाद आधारित/Peaceful and dialogue-based
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र मतभेदों को बातचीत से हल करने का रास्ता देता है। परीक्षा में संवाद को लोकतांत्रिक तरीका समझें। / Democracy gives a way to solve differences through dialogue. Exam tip: understand dialogue as democratic method.
A. यदि \(n^2\) सम है तो (n) सम है/If \(n^2\) is even then (n) is even
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम होने से (p) सम निकाला जाता है। यह मुख्य तर्क है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), (p) is concluded even from \(p^2\) being even. This is the main argument.
C. यह निर्णय लेने में देरी कर सकता है/It can delay decision making
Explanation
Simple Explanation
निर्णय में देरी लोकतंत्र के विरुद्ध सामान्य आलोचना है। परीक्षा में आलोचना और गुण अलग रखें। / Delay in decision is a common criticism against democracy. Exam tip: separate criticism and merits.
A. यदि \(n^2\) (3) से विभाज्य है तो (n) (3) से विभाज्य है/If \(n^2\) is divisible by (3) then (n) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(a^2\) से (a) के (3) से विभाज्य होने का निष्कर्ष लिया जाता है। यही मुख्य तथ्य है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), divisibility of (a) by (3) is concluded from \(a^2\). This is the key fact.
A. क्योंकि जनता चुनाव में सरकार बदल सकती है/Because people can change government in elections
Explanation
Simple Explanation
चुनाव के माध्यम से जनता गलत नीतियों का जवाब दे सकती है। परीक्षा में चुनाव को सुधार का साधन मानें। / Through elections people can respond to wrong policies. Exam tip: treat elections as a tool of correction.
