On a four-element set, (4) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
To have exactly (7) pairs, choose (3) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
There are (16-4=12) non-diagonal pairs, so the number is \(\binom{12}{3}\). चरण 1: चार तत्वों पर (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल (7) युग्म चाहिए, इसलिए (3) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। चरण 3: अविकर्ण युग्म (16-4=12) हैं, इसलिए संख्या \(\binom{12}{3}\) है।
On a five-element set, the minimum reflexive relation has (5) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Having (6) more pairs means choosing (6) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
There are (25-5=20) non-diagonal pairs, so the count is \(\binom{20}{6}\). चरण 1: पांच तत्वों पर न्यूनतम प्रतिवर्ती संबंध में (5) विकर्ण युग्म होते हैं। चरण 2: न्यूनतम से (6) अधिक युग्म का मतलब (6) अविकर्ण युग्म चुनना है। चरण 3: अविकर्ण युग्म (25-5=20) हैं, इसलिए संख्या \(\binom{20}{6}\) है।
A reflexive relation must contain (n) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
To have exactly (n+2) pairs, choose (2) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
Since there are \(n^2-n\) non-diagonal pairs, the number is \(\binom{n^2-n}{2}\). चरण 1: प्रतिवर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: ठीक (n+2) युग्म चाहिए, इसलिए (2) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। चरण 3: अविकर्ण युग्म \(n^2-n\) हैं, अतः संख्या \(\binom{n^2-n}{2}\) है।
On a three-element set, the number of reflexive relations is \(2^{9-3}=2^6=64\).
Step 2
Why this answer is correct
This count includes the universal relation.
Step 3
Exam Tip
Excluding the universal relation gives (64-1=63). चरण 1: तीन तत्वों पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{9-3}=2^6=64\) है। चरण 2: इनमें सार्वत्रिक संबंध भी शामिल है। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध हटाने पर (64-1=63) संबंध बचते हैं।
On a four-element set, the number of reflexive relations is \(2^{16-4}=2^{12}\).
Step 2
Why this answer is correct
The identity relation is one of them.
Step 3
Exam Tip
Removing it leaves \(2^{12}-1\) relations. चरण 1: चार तत्वों पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{16-4}=2^{12}\) है। चरण 2: पहचान संबंध भी प्रतिवर्ती है। चरण 3: पहचान संबंध को हटाने पर \(2^{12}-1\) संबंध मिलते हैं।
Among the (12) non-diagonal pairs, ((1,2)) is compulsory and ((2,1)) is forbidden.
Step 3
Exam Tip
The remaining (10) non-diagonal pairs are optional, giving \(2^{10}\) relations. चरण 1: (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: (12) अविकर्ण युग्मों में से ((1,2)) अनिवार्य है और ((2,1)) वर्जित है। चरण 3: बाकी (10) अविकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{10}\) है।
On a three-element set, there are \(2^6=64\) reflexive relations.
Step 2
Why this answer is correct
The only one with no non-diagonal pair is the identity relation.
Step 3
Exam Tip
Hence the number with at least one non-diagonal pair is (64-1=63). चरण 1: तीन तत्वों पर कुल प्रतिवर्ती संबंध \(2^6=64\) हैं। चरण 2: जिनमें कोई अविकर्ण युग्म नहीं है, वह केवल पहचान संबंध है। चरण 3: इसलिए कम-से-कम एक अविकर्ण युग्म वाले संबंध (64-1=63) होंगे।
To have (9) total pairs, choose (5) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
Choosing (5) from (12) non-diagonal pairs gives \(\binom{12}{5}\). चरण 1: चार विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल (9) युग्म के लिए (5) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। चरण 3: (12) अविकर्ण युग्मों में से (5) चुनने के तरीके \(\binom{12}{5}\) हैं।
A reflexive relation must contain all five diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
If no non-diagonal pair is allowed, the relation is exactly the identity relation.
Step 3
Exam Tip
Therefore only (1) such relation exists. चरण 1: प्रतिवर्ती संबंध में पांचों विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कोई अविकर्ण युग्म न होने पर संबंध केवल पहचान संबंध होगा। चरण 3: ऐसा संबंध केवल (1) है।
