A reflexive relation needs every ((a,a)) for \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (a+a=2a) is always even, every diagonal pair is already present.
Step 3
Exam Tip
The exam trick is to check diagonal pairs first, not the whole relation. चरण 1: प्रतिवर्ती संबंध के लिए हर \(a\in A\) पर \((a,a)\in R\) होना चाहिए। चरण 2: ((a,a)) में (a+a=2a) हमेशा सम होता है, इसलिए सभी विकर्ण युग्म पहले से हैं। चरण 3: ध्यान से देखें कि यहां कोई युग्म जोड़ने की जरूरत नहीं है।
A reflexive relation must include the (n) diagonal pairs, while the remaining \(n^2-n\) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
Hence the number is \(2^{n^2-n}\). चरण 1: \(A\times A\) में कुल \(n^2\) युग्म होते हैं। चरण 2: प्रतिवर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, बाकी \(n^2-n\) युग्म चुने या छोड़े जा सकते हैं। चरण 3: स्वतंत्र चुनावों की संख्या \(2^{n^2-n}\) होती है।
The (3) diagonal pairs are compulsory, so (6) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
The number of reflexive relations is \(2^6=64\). चरण 1: (n=3) होने पर \(A\times A\) में (9) युग्म हैं। चरण 2: (3) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए (9-3=6) युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 3: कुल प्रतिवर्ती संबंध \(2^6=64\) होंगे।
The total number of relations is \(2^{4^2}=2^{16}\).
Step 2
Why this answer is correct
The number of reflexive relations is \(2^{16-4}=2^{12}\).
Step 3
Exam Tip
Non-reflexive relations are \(2^{16}-2^{12}\). चरण 1: कुल संबंध \(2^{4^2}=2^{16}\) होते हैं। चरण 2: प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{16-4}=2^{12}\) है। चरण 3: प्रतिवर्ती नहीं होने वाले संबंध \(2^{16}-2^{12}\) होंगे।
\(A\times A\) has (16) pairs and (4) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
To get exactly (10) pairs, choose (6) more from the (12) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
The count is \(\binom{12}{6}\). चरण 1: \(A\times A\) में (16) युग्म हैं और (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल (10) युग्म चाहिए, इसलिए बाकी (6) युग्म (12) अविकर्ण युग्मों में से चुनने होंगे। चरण 3: संख्या \(\binom{12}{6}\) होगी।
For five elements, (5) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
A relation with (9) pairs needs (9-5=4) additional non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
There are (25-5=20) non-diagonal pairs, so the answer is \(\binom{20}{4}\). चरण 1: पांच तत्वों के लिए (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल (9) युग्म चाहिए, इसलिए (9-5=4) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। चरण 3: अविकर्ण युग्म (25-5=20) हैं, अतः उत्तर \(\binom{20}{4}\) है।
