सार्वत्रिक संबंध के बारे में कौन-सा कथन सही है?
Which statement about the universal relation is correct?
#universal relation
#reflexive symmetric
#relations
A यह हमेशा स्वसम और सममित होता है / It is always reflexive and symmetric
B यह कभी स्वसम नहीं होता / It is never reflexive
C यह हमेशा रिक्त होता है / It is always empty
D यह अपने युग्म नहीं रखता / It does not contain self-pairs
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Correct Answer
A. यह हमेशा स्वसम और सममित होता है / It is always reflexive and symmetric
Step 1
Concept
सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी युग्म होते हैं। / The universal relation contains all pairs of \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर अपने युग्म और हर उल्टा युग्म भी मौजूद होता है। / Hence every self-pair and every reverse pair is present.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध को सभी युग्मों का पूरा संग्रह समझें। / Think of the universal relation as the complete collection of all pairs.
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यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर कुल संबंधों की संख्या कितनी है?
If (A) has (4) elements, how many total relations are possible on (A)?
#counting total relations
#cartesian product
#class 12
A \(2^4\)
B \(2^8\)
C \(2^{16}\)
D \(4^{16}\)
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Correct Answer
C. \(2^{16}\)
Step 1
Concept
\(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म होंगे। / \(A\times A\) has \(4^2=16\) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
हर संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है। / Every relation is a subset of \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
(16) युग्मों के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{16}\) है। / The number of subsets of (16) pairs is \(2^{16}\).
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यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर स्वसम संबंधों की संख्या कितनी है?
If (A) has (4) elements, how many reflexive relations are possible on (A)?
#number of reflexive relations
#counting
#mcq
A \(2^{12}\)
B \(2^{16}\)
C \(2^4\)
D \(4^2\)
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Correct Answer
A. \(2^{12}\)
Step 1
Concept
कुल युग्म \(4^2=16\) हैं। / Total pairs are \(4^2=16\).
Step 2
Why this answer is correct
स्वसम संबंध में (4) अपने युग्म निश्चित रहेंगे। / A reflexive relation fixes (4) self-pairs.
Step 3
Exam Tip
बाकी (16-4=12) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है। / The remaining (16-4=12) pairs are free, so the number is \(2^{12}\).
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यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर सममित संबंधों की संख्या कितनी है?
If (A) has (4) elements, how many symmetric relations are possible on (A)?
#number of symmetric relations
#counting formula
#class 12
A \(2^6\)
B \(2^{10}\)
C \(2^{12}\)
D \(2^{16}\)
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Correct Answer
B. \(2^{10}\)
Step 1
Concept
सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
(n=4) रखने पर \(\frac{4\cdot5}{2}=10\) स्वतंत्र चुनाव मिलते हैं। / For (n=4), \(\frac{4\cdot5}{2}=10\) independent choices.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संख्या \(2^{10}\) होगी। / Therefore the number is \(2^{10}\).
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यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर स्वसम और सममित दोनों संबंधों की संख्या क्या होगी?
If (A) has (4) elements, how many relations on (A) are both reflexive and symmetric?
#reflexive symmetric relations
#counting
#advanced mcq
A \(2^4\)
B \(2^6\)
C \(2^{10}\)
D \(2^{12}\)
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Correct Answer
B. \(2^6\)
Step 1
Concept
स्वसमता के कारण (4) अपने युग्म निश्चित हो जाते हैं। / Reflexivity fixes the (4) self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
असमान युग्मों के उल्टे-जोड़ी समूह \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) हैं। / The non-self reverse-pair groups are \(\frac{4\cdot3}{2}=6\).
Step 3
Exam Tip
ये (6) समूह स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं, इसलिए संख्या \(2^6\) है। / These (6) groups can be chosen independently, so the number is \(2^6\).
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यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो स्वसम और सममित दोनों संबंधों की संख्या क्या है?
If (A) has (n) elements, what is the number of relations that are both reflexive and symmetric?
#counting relations
#reflexive symmetric formula
#relations
A \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\)
B \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
C \(2^{n^2-n}\)
D \(2^{n^2}\)
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Correct Answer
A. \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\)
Step 1
Concept
स्वसमता सभी (n) अपने युग्मों को निश्चित कर देती है। / Reflexivity fixes all (n) self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के लिए केवल असमान युग्मों के उल्टे-जोड़ी समूह स्वतंत्र रहते हैं। / For symmetry, only non-self reverse-pair groups remain independent.
Step 3
Exam Tip
ऐसे समूहों की संख्या (\frac{n(n-1)}{2}) है, इसलिए कुल संख्या \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\) है। / There are (\frac{n(n-1)}{2}) such groups, so the count is \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\).
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यदि (R) सममित है और \((1,2),(2,3)\in R\), तो क्या \((1,3)\in R\) अवश्य होगा?
If (R) is symmetric and \((1,2),(2,3)\in R\), must \((1,3)\in R\)?
#symmetry vs transitivity
#concept mcq
#relations
A हाँ, सममितता से / Yes, by symmetry
B नहीं, सममितता से केवल उल्टे युग्म मिलते हैं / No, symmetry gives only reverse pairs
C हाँ, स्वसमता से / Yes, by reflexivity
D हाँ, हमेशा / Yes, always
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Correct Answer
B. नहीं, सममितता से केवल उल्टे युग्म मिलते हैं / No, symmetry gives only reverse pairs
Step 1
Concept
सममितता केवल ((1,2)) से ((2,1)) और ((2,3)) से ((3,2)) देती है। / Symmetry gives only ((2,1)) from ((1,2)) and ((3,2)) from ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) की गारंटी संक्रमणीयता से आती, सममितता से नहीं। / ((1,3)) would be guaranteed by transitivity, not symmetry.
Step 3
Exam Tip
गुणों को मिलाकर न पढ़ें, हर गुण का अलग काम है। / Do not mix properties; each property has a separate role.
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यदि (R) संक्रमणीय है और \((1,2),(2,1)\in R\), तो कौन-से युग्म अवश्य होंगे?
If (R) is transitive and \((1,2),(2,1)\in R\), which pairs must be present?
#transitive relation
#reverse pairs
#self pairs
A ((1,1)) और ((2,2)) / ((1,1)) and ((2,2))
B ((1,3)) और ((3,1)) / ((1,3)) and ((3,1))
C ((2,3)) और ((3,2)) / ((2,3)) and ((3,2))
D कोई युग्म नहीं / No pair
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Correct Answer
A. ((1,1)) और ((2,2)) / ((1,1)) and ((2,2))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) से संक्रमणीयता के अनुसार ((1,1)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,1)), transitivity requires ((1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। / From ((2,1)) and ((1,2)), it requires ((2,2)).
Step 3
Exam Tip
उल्टे युग्मों की जोड़ी होने पर संक्रमणीयता अपने युग्मों की मांग कर सकती है। / A pair of reverse pairs can force self-pairs through transitivity.
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यदि (R) स्वसम और सममित है, तो क्या (R) अवश्य तुल्यता संबंध होगा?
If (R) is reflexive and symmetric, must (R) be an equivalence relation?
#equivalence relation
#reflexive symmetric
#transitive needed
A हाँ, हमेशा / Yes, always
B नहीं, संक्रमणीयता भी चाहिए / No, transitivity is also needed
C हाँ, यदि समुच्चय में तीन अवयव हों / Yes, if the set has three elements
D नहीं, क्योंकि सममितता उपयोगी नहीं / No, because symmetry is useless
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Correct Answer
B. नहीं, संक्रमणीयता भी चाहिए / No, transitivity is also needed
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध के लिए तीन गुण चाहिए। / An equivalence relation needs three properties.
Step 2
Why this answer is correct
स्वसमता और सममितता के साथ संक्रमणीयता भी जरूरी है। / Along with reflexivity and symmetry, transitivity is also necessary.
Step 3
Exam Tip
दो गुण देखकर तुल्यता संबंध घोषित न करें। / Do not declare equivalence after checking only two properties.
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यदि (R) स्वसम और संक्रमणीय है, तो क्या (R) अवश्य तुल्यता संबंध होगा?
If (R) is reflexive and transitive, must (R) be an equivalence relation?
#equivalence relation
#symmetry needed
#relations
A हाँ, हमेशा / Yes, always
B नहीं, सममितता भी चाहिए / No, symmetry is also needed
C हाँ, यदि संबंध रिक्त हो / Yes, if the relation is empty
D नहीं, क्योंकि स्वसमता गलत गुण है / No, because reflexivity is the wrong property
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Correct Answer
B. नहीं, सममितता भी चाहिए / No, symmetry is also needed
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में स्वसमता और संक्रमणीयता के साथ सममितता भी चाहिए। / Equivalence relation needs symmetry along with reflexivity and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
कई संबंध जैसे \(\le\) स्वसम और संक्रमणीय होते हैं, पर सममित नहीं। / Many relations like \(\le\) are reflexive and transitive but not symmetric.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता के लिए तीनों गुण पूरे होने चाहिए। / All three properties are required for equivalence.
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