यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और (R) स्वतुल्य सम्बन्ध है, तो (R) में कम से कम कितने युग्म और अधिक से अधिक कितने युग्म हो सकते हैं?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and (R) is a reflexive relation, what are the minimum and maximum possible numbers of pairs in (R)?
#minimum maximum pairs
#reflexive relation
#counting
A कम से कम (4), अधिक से अधिक (16) / Minimum (4), maximum (16)
B कम से कम (1), अधिक से अधिक (4) / Minimum (1), maximum (4)
C कम से कम (8), अधिक से अधिक (16) / Minimum (8), maximum (16)
D कम से कम (4), अधिक से अधिक (8) / Minimum (4), maximum (8)
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Correct Answer
A. कम से कम (4), अधिक से अधिक (16) / Minimum (4), maximum (16)
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए चार अपने-आप वाले युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए न्यूनतम (4) है। / Reflexivity requires four self-pairs, so the minimum is (4).
Step 2
Why this answer is correct
अधिकतम सम्बन्ध \(A\times A\) होगा, जिसमें \(4^2=16\) युग्म हैं। / The maximum relation is \(A\times A\), which has \(4^2=16\) pairs.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम और अधिकतम दोनों के लिए अनिवार्य और कुल युग्म अलग-अलग गिनें। / Count compulsory pairs and total pairs separately.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(1,3),(3,1)\}\) दिया है। (R) को परावर्ती बनाने के लिए कौन-सा युग्म जोड़ना होगा?
On the set \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(1,3),(3,1)\}\) is given. Which ordered pair must be added to make (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive
#ordered-pair
A ( (3,3) )
B ( (1,2) )
C ( (2,3) )
D ( (3,2) )
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Correct Answer
A. ( (3,3) )
Step 1
Concept
परावर्ती संबंध में (A) के हर तत्व के लिए ((a,a)) होना चाहिए। / A reflexive relation must contain ((a,a)) for every element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (2) के लिए युग्म हैं, लेकिन (3) के लिए ((3,3)) नहीं है। / The pairs for (1) and (2) are present, but ((3,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले छूटा हुआ अपने-आप वाला युग्म खोजें। / In exams, first find the missing self-pair.
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यदि \(A=\{a,b,c,d\}\) है, तो (A) पर किसी परावर्ती संबंध में न्यूनतम कितने युग्म अवश्य होंगे?
If \(A=\{a,b,c,d\}\), what is the minimum number of ordered pairs that must be present in a reflexive relation on (A)?
#relations
#functions
#reflexive
#min-pairs
A (2)
B (4)
C (8)
D (16)
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Step 1
Concept
परावर्ती संबंध में हर तत्व अपने-आप से संबंधित होता है। / In a reflexive relation, every element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में चार तत्व हैं, इसलिए ((a,a),(b,b),(c,c),(d,d)) जरूरी हैं। / The set (A) has four elements, so ((a,a),(b,b),(c,c),(d,d)) are compulsory.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम संख्या पूछी हो तो केवल अनिवार्य युग्म गिनें। / When the minimum is asked, count only compulsory pairs.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर कौन-सा संबंध परावर्ती है लेकिन केवल पहचान संबंध नहीं है?
Which relation on \(A=\{1,2,3\}\) is reflexive but not only the identity relation?
#relations
#functions
#reflexive
#identity-relation
A \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\)
B \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\)
C \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2)\}\)
D \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\)
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Correct Answer
B. \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\)
Step 1
Concept
परावर्ती होने के लिए तीनों अपने-आप वाले युग्म चाहिए। / Reflexivity requires all three self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
दूसरे विकल्प में ये तीनों हैं और एक अतिरिक्त युग्म भी है, इसलिए यह केवल पहचान संबंध नहीं है। / The second option has all of them and also one extra pair, so it is not only the identity relation.
Step 3
Exam Tip
पहचान और परावर्ती संबंध के अंतर को अतिरिक्त युग्मों से समझें। / Understand the difference between identity and reflexive relations through extra pairs.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(a,b):a\le b\}\) है, तो (R) परावर्ती क्यों है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(a,b):a\le b\}\), why is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive
#inequality
A क्योंकि हर \(a\in A\) के लिए \(a\le a\) सत्य है / Because \(a\le a\) is true for every \(a\in A\)
B क्योंकि हर \(a\in A\) के लिए (a<a) सत्य है / Because (a<a) is true for every \(a\in A\)
C क्योंकि कोई युग्म नहीं बनता / Because no pair is formed
D क्योंकि केवल ((1,2)) जरूरी है / Because only ((1,2)) is required
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Correct Answer
A. क्योंकि हर \(a\in A\) के लिए \(a\le a\) सत्य है / Because \(a\le a\) is true for every \(a\in A\)
Step 1
Concept
परावर्ती होने के लिए हर तत्व का अपने-आप से संबंध होना चाहिए। / Reflexivity requires every element to be related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी (a) के लिए \(a\le a\) सत्य है, इसलिए ((a,a)) संबंध में आता है। / For any (a), \(a\le a\) is true, so ((a,a)) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
असमानता में बराबरी शामिल हो तो परावर्तिता जल्दी जांची जा सकती है। / When equality is included in an inequality, reflexivity can be checked quickly.
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\((A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a-b\) is divisible by 2}) है। (R) परावर्ती है या नहीं?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a-b\) is divisible by 2}). Is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive
#divisibility
A परावर्ती है / Reflexive
B परावर्ती नहीं है / Not reflexive
C केवल (1) और (2) के लिए परावर्ती / Reflexive only for (1) and (2)
D निर्णय नहीं हो सकता / Cannot be decided
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Correct Answer
A. परावर्ती है / Reflexive
Step 1
Concept
परावर्तिता के लिए (a-a) को जांचें। / To check reflexivity, test (a-a).
Step 2
Why this answer is correct
(a-a=0) होता है और (0) (2) से विभाज्य है। / (a-a=0), and (0) is divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
जब अपने-आप पर शर्त हर बार सत्य हो, तो संबंध परावर्ती होता है। / If the condition is true for every element with itself, the relation is reflexive.
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\((A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a+b\) is even}) है। (R) परावर्ती क्यों है?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a+b\) is even}). Why is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive
#even-sum
A क्योंकि (a+a=2a) हमेशा सम होता है / Because (a+a=2a) is always even
B क्योंकि (a+a) हमेशा विषम होता है / Because (a+a) is always odd
C क्योंकि (a+b=0) होता है / Because (a+b=0)
D क्योंकि \(a\ne b\) होता है / Because \(a\ne b\)
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Correct Answer
A. क्योंकि (a+a=2a) हमेशा सम होता है / Because (a+a=2a) is always even
Step 1
Concept
परावर्ती जांच में ((a,a)) रखें। / For reflexivity, put ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (a+a=2a) मिलता है, जो हमेशा सम है। / Then (a+a=2a), which is always even.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में सामान्य युग्म नहीं, अपने-आप वाला युग्म जांचें। / In such questions, check the self-pair, not a general pair first.
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\((A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a+b\) is odd}) है। सही निष्कर्ष क्या है?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a+b\) is odd}). What is the correct conclusion?
#relations
#functions
#non-reflexive
#odd-sum
A (R) परावर्ती है / (R) is reflexive
B (R) परावर्ती नहीं है / (R) is not reflexive
C (R) पहचान संबंध है / (R) is the identity relation
D \(R=A\times A\)
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Correct Answer
B. (R) परावर्ती नहीं है / (R) is not reflexive
Step 1
Concept
परावर्तिता के लिए (a+a) देखें। / For reflexivity, check (a+a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+a=2a) हमेशा सम है, विषम नहीं। / (a+a=2a) is always even, not odd.
Step 3
Exam Tip
यदि ((a,a)) शर्त पूरी नहीं करता, तो संबंध परावर्ती नहीं होता। / If ((a,a)) fails the condition, the relation is not reflexive.
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यदि (A) में (5) तत्व हैं, तो (A) पर कुल परावर्ती संबंधों की संख्या क्या होगी?
If (A) has (5) elements, what is the total number of reflexive relations on (A)?
#relations
#functions
#counting
#reflexive-relations
A \(2^{20}\)
B \(2^{25}\)
C \(2^5\)
D \(5^2\)
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Correct Answer
A. \(2^{20}\)
Step 1
Concept
\(A\times A\) में \(5^2=25\) युग्म होते हैं। / \(A\times A\) has \(5^2=25\) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(5) अपने-आप वाले युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए (20) युग्म स्वतंत्र हैं। / The (5) self-pairs are compulsory, so (20) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
कुल परावर्ती संबंध \(2^{20}\) होंगे। / Total reflexive relations are \(2^{20}\).
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यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो परावर्ती संबंध में स्वतंत्र रूप से चुने जा सकने वाले युग्मों की संख्या कितनी है?
If (A) has (n) elements, how many ordered pairs can be chosen freely in a reflexive relation?
#relations
#functions
#counting
#optional-pairs
A (n)
B \(n^2\)
C \(n^2-n\)
D \(2^n\)
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Correct Answer
C. \(n^2-n\)
Step 1
Concept
\(A\times A\) में कुल \(n^2\) युग्म होते हैं। / \(A\times A\) contains \(n^2\) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(n) युग्म ((a,a)) अनिवार्य हैं, इसलिए वे स्वतंत्र नहीं हैं। / The (n) pairs ((a,a)) are compulsory, so they are not freely chosen.
Step 3
Exam Tip
बची संख्या \(n^2-n\) है, जिन्हें चुना या छोड़ा जा सकता है। / The remaining number is \(n^2-n\), which may be included or excluded.
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