Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
समझना आसान है: \(U\) में नेचुरल नंबर्स 1 से 15 तक हैं, अतः \(n(U)=15\). \(A\) के सदस्यों को लिखें: \(A=\{5,10,15\}\), इसलिए \(n(A)=3\). परिशिष्ट (complement) \(A'\) का आकार \(n(A')=n(U)-n(A)=15-3=12\). क्यों विकल्प C (10) गलत है: कभी-कभी छात्र 5 के और गुणज (जैसे 20,25) भी गिन लेते हैं या गलत तौर पर मान लेते हैं कि \(n(A)=5\), तब वे 15-5=10 निकाल लेते हैं — यह गलत कवायद है क्योंकि हमें केवल \(U\) के भीतर के गुणज गिनने हैं। परीक्षा टिप: पहले \(U\) के तत्वों की संख्या तय करें, फिर \(A\) के तत्व सीधे लिखें और घटा दें। / Compute sizes directly: \(U\) contains natural numbers 1 through 15, so \(n(U)=15\). List multiples of 5 within \(U\): \(A=\{5,10,15\}\), thus \(n(A)=3\). Therefore \(n(A')=n(U)-n(A)=15-3=12\). Why option C (10) is wrong: a common mistake is to count multiples beyond 15 or assume there are five multiples of 5, leading to 15-5=10; only multiples ≤15 count. Exam tip: explicitly list elements of \(A\) when the universal set is small to avoid counting errors.
समुच्चय का पूरक (A') उस सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे तत्व होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। इसे गणितीय रूप से \(A'=U\setminus A\) लिखा जाता है। यहाँ \(U=\{a,b,c,d,e\}\) और \(A=\{b,d\}\) होने से \(A'=\{a,c,e\}\)। विकल्प B गलत है क्योंकि वह मूल समुच्चय \(A\) ही है, विकल्प C गलत है क्योंकि वह पूरा सार्वत्रिक समुच्चय है न कि केवल \(A\) का पूरक, और विकल्प D गलत है क्योंकि पूरक खाली समुच्चय तभी होगा जब \(A=U\) हो। परीक्षा-सुझाव: पूरक निकालने के लिए सीधे उन तत्वों को छाँटें जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। / The complement of a set \(A\) (denoted \(A'\)) consists of elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\); i.e. \(A'=U\setminus A\). Here \(U=\{a,b,c,d,e\}\) and \(A=\{b,d\}\), so \(A'=\{a,c,e\}\). Option B is just the original set \(A\), option C is the entire universal set \(U\) (not the complement), and option D would be correct only if \(A=U\). Exam tip: list elements of \(U\) and cross out those in \(A\); remaining elements form \(A'\).
पूरक का अर्थ है यूनिवर्सल समुच्चय के वे तत्व जो दिए हुए समुच्चय में नहीं हैं। संख्या माप (cardinality) के लिए सूत्र है \(n(A')=n(U)-n(A)\)। यहाँ \(n(U)=35\) और \(n(A)=12\) होने पर \(n(A')=35-12=23\)। विकल्प A (12) गलती से समुच्चय \(A\) की संख्या है, और विकल्प C (35) यूनिवर्सल समुच्चय की कुल संख्या है — दोनों पूरक का मान नहीं देते। परीक्षा टिप: पूरक निकालने के लिए हमेशा कुल से दिए हुए समुच्चय की संख्या घटाएँ। / The complement consists of elements in the universal set that are not in \(A\). For cardinalities use \(n(A')=n(U)-n(A)\). With \(n(U)=35\) and \(n(A)=12\), we get \(n(A')=35-12=23\), so 23 is correct. Option A (12) is just \(n(A)\), not the complement; option C (35) is \(n(U)\), the total. Exam tip: always subtract the size of the given set from the size of the universal set to get the complement's size.
किसी समुच्चय के परिपूरक की गणना का सूत्र है \(n(A')=n(U)-n(A)\)। यहाँ \(n(U)=60\) और \(n(A)=28\) हैं, अतः \(x=n(A')=60-28=32\)। विकल्प A (28) गलत है क्योंकि वह \(A\) का परिमाण है, न कि परिपूरक का। विकल्प C (60) गलत है — यह सर्वसमुच्चय \(U\) का कुल तत्व है, न कि परिपूरक का; विकल्प D (88) असंभव है क्योंकि किसी समुच्चय के परिपूरक के तत्वों की संख्या सर्वसमुच्चय के कुल से अधिक नहीं हो सकती। परीक्षा टिप: हमेशा याद रखें और तुरंत लागू करें \(n(A')=n(U)-n(A)\) और परिणामी संख्या \(\le n(U)\) होनी चाहिए। / Use the complement formula \(n(A')=n(U)-n(A)\). With \(n(U)=60\) and \(n(A)=28\), we get \(x=n(A')=60-28=32\). Option A (28) is just \(n(A)\), not the complement. Option C (60) is the total number in the universal set, not the complement count. Option D (88) is impossible because a complement cannot have more elements than the universal set. Exam tip: apply \(n(A')=n(U)-n(A)\) directly and check that the result is ≤ \(n(U)\).
समझ: समष्टि \(U\) में प्राकृतिक संख्याएँ \(1\) से \(12\) तक हैं। \(A=\{x\in U:3\mid x\}\) से \(A=\{3,6,9,12\}\) मिलता है। पूरक \(A'\) का अर्थ है \(U\) में से \(A\) के तत्व हटा देना। इसलिए \(A'=U\setminus A=\{1,2,4,5,7,8,10,11\}\)। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों पर टिप्पणी: विकल्प D (सभी सम संख्याएँ) में \(6,12\) जैसे तत्व हैं जो \(A\) में भी हैं, इसलिए गलत है; विकल्प C (विषम संख्याएँ) में \(3,9\) शामिल हैं जो \(A\) में आते हैं, इसलिए गलत है। परीक्षा टिप: पहले \(|U|=12\) और \(|A|=4\) देखकर \(|A'|=8\) की जांच कर लें — यह उत्तर में आठ तत्व होने की पुष्टि करता है। / Concept: The universal set \(U\) contains natural numbers from 1 to 12. Since \(A=\{x\in U:3\mid x\}\), we have \(A=\{3,6,9,12\}\). The complement \(A'\) is the set of elements of \(U\) not in \(A\), i.e. \(A'=U\setminus A=\{1,2,4,5,7,8,10,11\}\). Why other choices fail: option A is just \(A\) itself; option D (even numbers) includes \(6,12\) which belong to \(A\), and option C (odd numbers) includes \(3,9\) which belong to \(A\). Exam tip: check sizes — \(|U|=12,|A|=4\) so \(|A'|=8\); ensure your complement has that many elements.
पूरक निकालें: \(A'=U\setminus A=\{4,5,6\}\) और \(B'=U\setminus B=\{1,2,6\}\). अब दोनों का समाहार (intersection) \(A'\cap B'=\{6\}\) होगा। विकल्प B (\(\{4,5,6\}\)) केवल \(A'\) है, न कि दोनों पूरक का समाहार; विकल्प C (\(\{3\}\)) मूल सेटों का समाहार \(A\cap B\) दर्शाता है, न कि पूरक का। परीक्शा-सुझाव: पहले प्रत्येक सेट का पूरक लिखें, फिर उनके बीच समाहार लें — Venn आरेख से यह तेज़ी से सत्यापित होता है। / Compute complements first: \(A'=U\setminus A=\{4,5,6\}\) and \(B'=U\setminus B=\{1,2,6\}\). Their intersection is \(A'\cap B'=\{6\}\). Option B (\(\{4,5,6\}\)) is just \(A'\) and not the intersection; option C (\(\{3\}\)) is the intersection of \(A\) and \(B\), not of their complements. Exam tip: always form complements relative to the universal set, then take intersection (a quick Venn diagram helps avoid sign mistakes).
पहले \(A\cup B\) निकालें: \(A\cup B=\{1,2,4,7,8\}\). अब समूहीय पूरक \((A\cup B)'\) का अर्थ है यूनिवर्सल सेट \(U\) में से \(A\cup B\) के सभी तत्वों को हटाना। अतः \(U\setminus (A\cup B)=\{3,5,6,9\}\). विकल्प B गलत है क्योंकि वह संघ (union) स्वयं है, विकल्प D गलत है क्योंकि उसमें 9 गायब है, और C गलत है क्योंकि यह केवल एक सामान्य तत्व नहीं बल्कि पूरक पूरा सेट होना चाहिए। परीक्षा टिप: पहले यूनियन निकालें, फिर यूनिवर्सल सेट से घटाव करें। / Compute the union first: \(A\cup B=\{1,2,4,7,8\}\). The complement \((A\cup B)'\) means all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\cup B\). So \(U\setminus (A\cup B)=\{3,5,6,9\}\). Option B is just the union itself (not the complement); option D misses 9; option C is only a single element and not the complement. Exam tip: find the union, then subtract it from the universal set to get the complement.
यदि \(U=\{x: x\in\mathbb{N},\, x\le 20\}\) और \(A\) वह समुच्चय है जिसमें वे सभी प्राकृतिक संख्याएँ हों जो 20 के धनात्मक भाजक हैं, तो \(n(A')\) कितना होगा?
20 के धनात्मक भाजक हैं 1, 2, 4, 5, 10, 20 — कुल 6। इसलिए \(n(A)=6\)। सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) में 1 से 20 तक की 20 प्राकृतिक संख्याएँ हैं, यानी \(n(U)=20\)। पूरक का आकार \(n(A')=n(U)-n(A)=20-6=14\)। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प B (6) दरअसल \(A\) का आकार है न कि \(A'\) का; विकल्प A (4) और D (20) भी गलत अर्थ पर आधारित हैं (4 कुछ उप-भाजकों की गिनती है और 20 पूरे U का आकार है)। परीक्षा टिप: संख्याओं के भाजक गिनने के लिए पहले गुणनखंड निकालें — \(20=2^2\times5^1\) से भाजकों की संख्या \((2+1)(1+1)=6\) शीघ्र मिल जाती है। / The positive divisors of 20 are 1, 2, 4, 5, 10 and 20, so \(n(A)=6\). The universal set \(U\) contains the natural numbers 1 through 20, hence \(n(U)=20\). Therefore \(n(A')=n(U)-n(A)=20-6=14\). The closest distractor B (6) gives the size of A, not A'; A (4) and D (20) are incorrect interpretations (4 might arise from excluding 1 and 20, 20 is |U|). Exam tip: use prime factorization — \(20=2^2\times5^1\) so number of divisors is \((2+1)(1+1)=6\), then subtract from 20 for the complement size.
