क्योंकि (n\(A\times B\)=3\times 2=6) और संबंधों की संख्या \(2^6=64\) होती है। परीक्षा में पहले \(A\times B\) के अवयव गिनें। / Since (n\(A\times B\)=3\times 2=6), the number of relations is \(2^6=64\). In exams, first count the elements of \(A\times B\).
यदि संबंध \(R\), समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर इस प्रकार परिभाषित है कि \(aRb\) तभी और केवल तभी जब \(a-b\) सम हो, तो निम्नलिखित में से कौन-सा क्रमित युग्म \(R\) में होगा?
किसी क्रमित युग्म \((a,b)\) के \(R\) में होने के लिए \(a-b\) सम होना चाहिए। विकल्प C के लिए \(1-3=-2\), जो सम संख्या है; इसलिए \((1,3)\in R\)। इसके विपरीत, विकल्प D में \(4-1=3\), जो विषम है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में दोनों संख्याओं की सम-विषमता समान है या नहीं, यह शीघ्र जाँचें। / An ordered pair \((a,b)\) belongs to \(R\) when \(a-b\) is even. For option C, \(1-3=-2\), which is even; therefore, \((1,3)\in R\). In contrast, option D gives \(4-1=3\), which is odd. Exam tip: two numbers have an even difference exactly when they have the same parity.
A. \(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय/Any subset of \(A\times B\)
Explanation
Simple Explanation
(A) से (B) तक संबंध \(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय होता है। यह मूल परिभाषा अक्सर सीधे पूछी जाती है। / A relation from (A) to (B) is any subset of \(A\times B\). This basic definition is often asked directly.
किसी क्रमित युग्म \((a,b)\) के \(R\) में होने के लिए \(a+b\) विषम होना चाहिए। \((2,3)\) के लिए \(2+3=5\), जो विषम है; इसलिए \((2,3)\in R\)। इसके विपरीत, अन्य विकल्पों में योग \(4,6\) और \(6\) है, जो सम हैं। परीक्षा-युक्ति: दो संख्याओं का योग विषम तभी होता है जब एक संख्या सम और दूसरी विषम हो। / An ordered pair \((a,b)\) belongs to \(R\) only when \(a+b\) is odd. For \((2,3)\), \(2+3=5\), which is odd; therefore, \((2,3)\in R\). The sums for the other options are 4, 6, and 6, all of which are even. Exam tip: the sum of two numbers is odd exactly when one number is even and the other is odd.
\(1\cdot 3=3\) विषम है इसलिए \((1,3)\notin R\) है। गुणनफल सम तभी होगा जब कम से कम एक अवयव सम हो। / Since \(1\cdot 3=3\) is odd, \((1,3)\notin R\). A product is even when at least one component is even.
संबंध के क्रमित युग्म \(A\times A\) से लिए जाते हैं और उनके लिए \(a+b=6\) होना चाहिए। संभव युग्म \((2,4), (3,3), (4,2)\) हैं। \((1,5)\) मान्य नहीं है क्योंकि \(5\notin A\)। इसलिए संबंध में कुल 3 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए समुच्चय के प्रत्येक तत्व के लिए दूसरा तत्व \(6-a\) जाँचें। / The ordered pairs of the relation must come from \(A\times A\) and satisfy \(a+b=6\). The valid pairs are \((2,4), (3,3), (4,2)\). The pair \((1,5)\) is not valid because \(5\notin A\). Hence, the relation contains 3 pairs. Exam tip: For each \(a\in A\), check whether \(6-a\) also belongs to \(A\).
संबंध में \(a=b^2\) होना चाहिए और दोनों \(a,b\) का समुच्चय \(A\) में होना आवश्यक है। \(b=1\) के लिए \(a=1\), तथा \(b=2\) के लिए \(a=4\) मिलता है, इसलिए युग्म \((1,1)\) और \((4,2)\) हैं। \(b=3\) और \(b=4\) के लिए क्रमशः \(a=9\) और \(a=16\), जो \(A\) में नहीं हैं। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: संबंध के प्रत्येक युग्म के लिए पहले शर्त जाँचें और फिर देखें कि दोनों अवयव दिए गए समुच्चय में हैं या नहीं। / The relation requires \(a=b^2\), with both \(a\) and \(b\) belonging to \(A\). For \(b=1\), \(a=1\), giving \((1,1)\); for \(b=2\), \(a=4\), giving \((4,2)\). For \(b=3\) and \(b=4\), the values of \(a\) are 9 and 16, which are not in \(A\). Hence option A is correct. Exam tip: Check the defining condition and membership in the given set for every ordered pair.
