चिह्न \(\leq\) होने पर सीमा रेखा भी हल में आती है। परीक्षा में पहले सीमा रेखा का प्रकार देखें। / For \(\leq\), the boundary line is included in the solution. In exams, first check the boundary line type.
गुणन सिद्धांत से कुल तरीके \(4\times3=12\) हैं। परीक्षा में “और” आने पर सामान्यतः गुणा करें। / By the multiplication principle total ways are \(4\times3=12\). In exams, “and” usually indicates multiplication.
इस असमानता की सीमा रेखा \(2x-y=4\) है। चूँकि चिह्न \(<\) सख्त असमानता दर्शाता है, इसलिए सीमा रेखा के बिंदु हल-समुच्चय में शामिल नहीं होते और रेखा टूटी हुई खींची जाती है। ठोस रेखा \(\leq\) या \(\geq\) जैसी असमानताओं के लिए प्रयुक्त होती है। परीक्षा-युक्ति: < या > के लिए टूटी हुई, जबकि ≤ या ≥ के लिए ठोस सीमा रेखा बनाइए। / The boundary equation for this inequality is \(2x-y=4\). Since the symbol \(<\) represents a strict inequality, points on the boundary are not included in the solution set, so the boundary is drawn as a dashed line. A solid line is used for inequalities such as \(\leq\) or \(\geq\). Exam tip: use a dashed line for < or > and a solid line for ≤ or ≥.
हर नाश्ते के साथ 4 में से कोई भी एक पेय चुना जा सकता है। इसलिए गुणन सिद्धांत के अनुसार कुल तरीके \(5 \times 4 = 20\) हैं। विकल्प 9 जोड़ने से मिलता है, जो स्वतंत्र चुनावों के लिए सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: जब एक के बाद एक स्वतंत्र चुनाव किए जाएँ, तो उनके तरीकों को गुणा करें। / For each of the 5 snacks, any one of the 4 drinks can be selected. By the multiplication principle, the total number of ways is \(5 \times 4 = 20\). The value 9 results from addition, which is not appropriate for two successive independent choices. Exam tip: multiply the numbers of choices for independent selections made together.
A. रेखा के ऊपर तथा रेखा सहित/Above and including the line
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(y\geq 3\) में \(y\) का मान 3 या उससे अधिक होना चाहिए। इसकी सीमा-रेखा \(y=3\) है और \(\geq\) के कारण यह रेखा भी हल-क्षेत्र में शामिल होती है। इसलिए हल-क्षेत्र रेखा के ऊपर तथा रेखा सहित होगा। ध्यान रखें: \(\geq\) या \(\leq\) होने पर सीमा-रेखा को ठोस रेखा से दर्शाया जाता है। / In \(y\geq 3\), the value of \(y\) must be 3 or greater. The boundary is the line \(y=3\), and because the inequality is \(\geq\), the boundary line is included in the solution. Hence, the region is above and including the line. Exam tip: use a solid boundary line for \(\geq\) or \(\leq\), and a dashed line for strict inequalities.
पेंसिल चुनने के 6 तरीके हैं और प्रत्येक पेंसिल के साथ कॉपी चुनने के 2 तरीके उपलब्ध हैं। इसलिए गुणन सिद्धांत के अनुसार कुल तरीके \(6\times2=12\) होंगे। 8 या 10 जोड़ के परिणाम हैं, जबकि यहाँ दोनों चुनाव साथ किए जा रहे हैं, इसलिए तरीकों का गुणा किया जाता है। परीक्षा-युक्ति: स्वतंत्र क्रमिक चुनावों में कुल तरीकों को गुणा करें। / There are 6 ways to choose a pencil, and for each choice there are 2 ways to choose a notebook. By the multiplication principle, the total number of ways is \(6\times2=12\). The values 8 and 10 result from addition, but both choices are made together, so their possibilities must be multiplied. Exam tip: multiply the numbers of ways for independent successive choices.
असमानता \(y<-2\) में \(y\) का मान \(-2\) से कम होना चाहिए। सीमा रेखा \(y=-2\) एक क्षैतिज रेखा है, इसलिए इसके नीचे के सभी बिंदु हल देते हैं। चूँकि असमानता सख्त है, सीमा रेखा स्वयं शामिल नहीं होती और उसे सामान्यतः टूटी हुई रेखा से दर्शाया जाता है। परीक्षा-युक्ति: \(y\) की तुलना स्थिर संख्या से हो तो क्षैतिज सीमा रेखा बनाकर ऊपर या नीचे का क्षेत्र चुनें। / In \(y<-2\), the value of \(y\) must be less than \(-2\). The boundary \(y=-2\) is a horizontal line, so all points below it satisfy the inequality. Because the inequality is strict, the boundary line itself is not included and is usually drawn dashed. Exam tip: when \(y\) is compared with a constant, draw a horizontal boundary and choose the region above or below it.
गुणन सिद्धांत के अनुसार, यदि पहला चयन 3 तरीकों से और दूसरा चयन 5 तरीकों से किया जा सकता है, तो कुल चयन \(3 \times 5 = 15\) होंगे। 8 प्राप्त करने के लिए संख्याओं को जोड़ना होगा, जबकि यहाँ दोनों चयन साथ किए जा रहे हैं। परीक्षा में “एक वस्तु और एक वस्तु” जैसे स्वतंत्र चरण दिखें, तो गुणा का नियम लागू करें। / By the multiplication principle, the subject can be chosen in 3 ways and the game in 5 ways, so the total number of selections is \(3 \times 5 = 15\). The answer 8 would result from adding the choices, but both selections are made together, so multiplication is required. In an exam, use the multiplication rule when independent choices are made successively.
सीमा रेखा \(x=5\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। \(x\leq 5\) का अर्थ है कि x-निर्देशांक 5 से कम या उसके बराबर होना चाहिए, इसलिए हल-क्षेत्र रेखा के बाईं ओर होगा और सीमा रेखा भी इसमें शामिल होगी। दाईं ओर का क्षेत्र \(x>5\) को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: ऊर्ध्वाधर रेखा \(x=a\) में \(x\leq a\) के लिए बाईं ओर और \(x\geq a\) के लिए दाईं ओर छायांकन करें। / The boundary line \(x=5\) is vertical. The inequality \(x\leq 5\) requires the x-coordinate to be 5 or less, so the solution region lies to the left of the line and includes the boundary. The right side represents \(x>5\). Exam tip: for a vertical line \(x=a\), shade left for \(x\leq a\) and right for \(x\geq a\).
पहले स्थान के (5) और दूसरे के (10) विकल्प हैं इसलिए \(5\times10=50\)। हर स्थान के विकल्प अलग गिनें। / The first place has (5) choices and the second has (10), so \(5\times10=50\). Count choices for each position separately.
